Номер 40, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

40. Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству:

1) $\frac{x^2 - 81}{x} \ge 0;$

2) $\frac{7x - x^2}{x + 7} \le 0.$

1) Решим неравенство $\frac{x^2 - 81}{x} \ge 0$ методом интервалов.

Сначала найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $x^2 - 81 = 0 \implies (x-9)(x+9) = 0$. Отсюда $x_1 = 9$, $x_2 = -9$. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), эти точки являются решениями и на числовой оси будут отмечены закрашенными точками.

Нуль знаменателя: $x = 0$. Эта точка не входит в область определения функции, поэтому на числовой оси она будет отмечена выколотой (пустой) точкой, так как на ноль делить нельзя.

Отметим точки -9, 0, 9 на числовой оси и определим знаки выражения $\frac{(x-9)(x+9)}{x}$ в каждом из полученных интервалов.

Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю (отмечены знаком "+"). Это $x \in [-9, 0) \cup [9, +\infty)$.

Наименьшим целым числом, входящим в это множество, является -9.

Ответ: -9

2) Решим неравенство $\frac{7x - x^2}{x + 7} \le 0$.

Для удобства работы с методом интервалов преобразуем числитель так, чтобы коэффициент при старшей степени $x$ был положительным. Для этого вынесем -1 за скобки в числителе: $\frac{-(x^2 - 7x)}{x + 7} \le 0$.

Теперь умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $\frac{x^2 - 7x}{x + 7} \ge 0$.

Разложим числитель на множители: $\frac{x(x - 7)}{x + 7} \ge 0$.

Найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $x(x-7) = 0 \implies x_1 = 0$, $x_2 = 7$. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), эти точки являются решениями и будут закрашенными.

Нуль знаменателя: $x + 7 = 0 \implies x = -7$. Эта точка не входит в область определения и будет выколотой.

Отметим точки -7, 0, 7 на числовой оси и определим знаки выражения $\frac{x(x - 7)}{x + 7}$ в каждом интервале.

Решением преобразованного неравенства (а значит и исходного) являются промежутки, где выражение неотрицательно (знак "+"): $x \in (-7, 0] \cup [7, +\infty)$.

Целые числа, входящие в это решение: -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, а также 7, 8, 9, ... Наименьшее из этих целых чисел — это -6.

Ответ: -6