Номер 35, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

35. Решите неравенство:

1) $(x - 10)(x + 5)(x - 6) \ge 0;$

2) $(x + 2)(x - 7)(x + 11) \le 0;$

3) $\frac{x + 5}{x - 6} \ge 0;$

4) $\frac{x - 7}{x + 2} \le 0;$

5) $\frac{x}{x - 7} \ge 2;$

6) $\frac{x}{6 + x} \le -1;$

7) $(x - 1)(x - 2)^2 (x - 3) < 0;$

8) $(x + 3)^2 (x + 2) (x + 1) < 0.$

1) Решим неравенство $(x - 10)(x + 5)(x - 6) \ge 0$ методом интервалов.

Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(x - 10)(x + 5)(x - 6) = 0$. Корнями являются $x = 10$, $x = -5$ и $x = 6$.

Нанесем эти точки на числовую ось. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), все точки будут включены в решение (закрашенные кружки).

Точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -5]$, $[-5; 6]$, $[6; 10]$ и $[10; +\infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале. В крайнем правом интервале (при $x > 10$) все множители положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждый корень (все корни имеют нечетную кратность 1), знак выражения меняется.

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю (со знаком "+"). Это $[-5, 6]$ и $[10, +\infty)$.

Ответ: $x \in [-5, 6] \cup [10, +\infty)$.

2) Решим неравенство $(x + 2)(x - 7)(x + 11) \le 0$ методом интервалов.

Корни уравнения $(x + 2)(x - 7)(x + 11) = 0$: $x = -2$, $x = 7$, $x = -11$.

Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому точки на числовой оси будут закрашенными. Расположим их в порядке возрастания: -11, -2, 7.

Определим знаки на интервалах. При $x > 7$ выражение положительно. Знаки чередуются.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю (со знаком "-"). Это $(-\infty, -11]$ и $[-2, 7]$.

Ответ: $x \in (-\infty, -11] \cup [-2, 7]$.

3) Решим неравенство $\frac{x + 5}{x - 6} \ge 0$ методом интервалов.

Находим нуль числителя: $x + 5 = 0 \implies x = -5$. Эта точка входит в решение (закрашенная), так как неравенство нестрогое.

Находим нуль знаменателя: $x - 6 = 0 \implies x = 6$. Эта точка исключается из решения (выколотая), так как на ноль делить нельзя.

Отметим точки -5 и 6 на числовой оси. Определим знаки дроби в полученных интервалах.

Выбираем интервалы со знаком "+". Это $(-\infty, -5]$ и $(6, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup (6, +\infty)$.

4) Решим неравенство $\frac{x - 7}{x + 2} \le 0$ методом интервалов.

Нуль числителя: $x - 7 = 0 \implies x = 7$ (точка закрашенная).

Нуль знаменателя: $x + 2 = 0 \implies x = -2$ (точка выколотая).

Отметим точки -2 и 7 на числовой оси и определим знаки.

Выбираем интервал со знаком "-". Это $(-2, 7]$.

Ответ: $x \in (-2, 7]$.

5) Решим неравенство $\frac{x}{x - 7} \ge 2$.

Перенесем 2 в левую часть и приведем к общему знаменателю: $\frac{x}{x - 7} - 2 \ge 0 \implies \frac{x - 2(x - 7)}{x - 7} \ge 0 \implies \frac{x - 2x + 14}{x - 7} \ge 0 \implies \frac{14 - x}{x - 7} \ge 0$.

Нуль числителя: $14 - x = 0 \implies x = 14$ (точка закрашенная).

Нуль знаменателя: $x - 7 = 0 \implies x = 7$ (точка выколотая).

Отметим точки 7 и 14 на оси. При $x > 14$ дробь отрицательна ($-/+$). Знаки чередуются.

Выбираем интервал со знаком "+". Это $(7, 14]$.

Ответ: $x \in (7, 14]$.

6) Решим неравенство $\frac{x}{6 + x} \le -1$.

Перенесем -1 в левую часть: $\frac{x}{6 + x} + 1 \le 0 \implies \frac{x + (6 + x)}{6 + x} \le 0 \implies \frac{2x + 6}{x + 6} \le 0$.

Нуль числителя: $2x + 6 = 0 \implies x = -3$ (точка закрашенная).

Нуль знаменателя: $x + 6 = 0 \implies x = -6$ (точка выколотая).

Отметим точки -6 и -3 на оси и расставим знаки.

Выбираем интервал со знаком "-". Это $(-6, -3]$.

Ответ: $x \in (-6, -3]$.

7) Решим неравенство $(x - 1)(x - 2)^2(x - 3) < 0$.

Корни уравнения $(x - 1)(x - 2)^2(x - 3) = 0$: $x=1, x=2, x=3$. Неравенство строгое ($<$), поэтому все точки выколотые.

Множитель $(x-2)^2$ всегда неотрицателен. Корень $x=2$ имеет четную кратность (2), поэтому при переходе через эту точку знак выражения не меняется.

Расставим знаки на интервалах, помня о поведении в точке $x=2$.

Выбираем интервалы со знаком "-". Это $(1, 2)$ и $(2, 3)$. Точка $x=2$ не включается, так как в ней выражение равно нулю.

Ответ: $x \in (1, 2) \cup (2, 3)$.

8) Решим неравенство $(x + 3)^2(x + 2)(x + 1) < 0$.

Корни уравнения $(x + 3)^2(x + 2)(x + 1) = 0$: $x=-3, x=-2, x=-1$. Неравенство строгое, все точки выколотые.

Корень $x=-3$ имеет четную кратность (2), при переходе через него знак не меняется.

Нанесем точки на ось и определим знаки.

Выбираем интервал со знаком "-". Это $(-2, -1)$.

Ответ: $x \in (-2, -1)$.