Номер 49, страница 128, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

49. Постройте график и укажите область определения и множество значений функции:

1) $y = 2x^2 + |x|;$

2) $y = -x^2 + 3|x|;$

3) $y = 2x - x \cdot |x|;$

4) $y = x \cdot |x| - 3x.$

1)

Рассмотрим функцию $y = 2x^2 + |x|$. Для построения графика раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $y = 2x^2 + x$. Это ветвь параболы, направленной вверх. Вершина параболы $y=2x^2+x$ находится в точке с абсциссой $x_v = -b/(2a) = -1/(2 \cdot 2) = -0.25$. Поскольку мы рассматриваем $x \ge 0$, на этом промежутке функция возрастает от своего минимального значения в точке $(0, 0)$.

2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = 2x^2 - x$. Это также ветвь параболы, направленной вверх. Вершина параболы $y=2x^2-x$ находится в точке с абсциссой $x_v = -(-1)/(2 \cdot 2) = 0.25$. На промежутке $x < 0$ функция убывает до точки $(0, 0)$.

Функция является четной ($y(-x) = 2(-x)^2 + |-x| = 2x^2 + |x| = y(x)$), поэтому ее график симметричен относительно оси Oy.

График функции:

Область определения функции — все действительные числа, так как выражение $2x^2 + |x|$ имеет смысл при любом $x$.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений функции. Поскольку $x^2 \ge 0$ и $|x| \ge 0$, то $y = 2x^2 + |x| \ge 0$. Минимальное значение $y=0$ достигается при $x=0$.
$E(y) = [0; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$; множество значений: $[0; +\infty)$.

2)

Рассмотрим функцию $y = -x^2 + 3|x|$. Раскроем модуль.

1. При $x \ge 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид $y = -x^2 + 3x$. Это парабола с ветвями вниз. Вершина параболы: $x_v = -3/(2 \cdot (-1)) = 1.5$. $y_v = -(1.5)^2 + 3(1.5) = -2.25 + 4.5 = 2.25$. Вершина в точке $(1.5; 2.25)$.

2. При $x < 0$, $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = -x^2 - 3x$. Это парабола с ветвями вниз. Вершина параболы: $x_v = -(-3)/(2 \cdot (-1)) = -1.5$. $y_v = -(-1.5)^2 - 3(-1.5) = -2.25 + 4.5 = 2.25$. Вершина в точке $(-1.5; 2.25)$.

Функция является четной ($y(-x) = -(-x)^2 + 3|-x| = -x^2 + 3|x| = y(x)$), график симметричен относительно оси Oy.

График функции:

Область определения функции — все действительные числа.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений функции. Максимальное значение функция достигает в вершинах парабол, $y_{max} = 2.25$. Ветви направлены вниз.
$E(y) = (-\infty; 2.25]$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$; множество значений: $(-\infty; 2.25]$.

3)

Рассмотрим функцию $y = 2x - x|x|$. Раскроем модуль.

1. При $x \ge 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид $y = 2x - x^2$. Это парабола с ветвями вниз. Вершина: $x_v = -2/(2 \cdot (-1)) = 1$. $y_v = 2(1) - 1^2 = 1$. Вершина в точке $(1; 1)$.

2. При $x < 0$, $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = 2x - x(-x) = 2x + x^2$. Это парабола с ветвями вверх. Вершина: $x_v = -2/(2 \cdot 1) = -1$. $y_v = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$. Вершина в точке $(-1; -1)$.

Функция является нечетной ($y(-x) = 2(-x) - (-x)|-x| = -2x + x|x| = -(2x - x|x|) = -y(x)$), график симметричен относительно начала координат.

График функции:

Область определения функции — все действительные числа.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений функции. При $x \to +\infty$, $y = 2x - x^2 \to -\infty$. При $x \to -\infty$, $y = x^2 + 2x \to +\infty$. Так как функция непрерывна, она принимает все действительные значения.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$; множество значений: $(-\infty; +\infty)$.

4)

Рассмотрим функцию $y = x|x| - 3x$. Раскроем модуль.

1. При $x \ge 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид $y = x^2 - 3x$. Это парабола с ветвями вверх. Вершина: $x_v = -(-3)/(2 \cdot 1) = 1.5$. $y_v = (1.5)^2 - 3(1.5) = 2.25 - 4.5 = -2.25$. Вершина в точке $(1.5; -2.25)$.

2. При $x < 0$, $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = x(-x) - 3x = -x^2 - 3x$. Это парабола с ветвями вниз. Вершина: $x_v = -(-3)/(2 \cdot (-1)) = -1.5$. $y_v = -(-1.5)^2 - 3(-1.5) = -2.25 + 4.5 = 2.25$. Вершина в точке $(-1.5; 2.25)$.

Функция является нечетной ($y(-x) = (-x)|-x| - 3(-x) = -x|x| + 3x = -(x|x| - 3x) = -y(x)$), график симметричен относительно начала координат.

График функции:

Область определения функции — все действительные числа.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений функции. При $x \to +\infty$, $y = x^2 - 3x \to +\infty$. При $x \to -\infty$, $y = -x^2 - 3x \to -\infty$. Функция непрерывна, следовательно, принимает все действительные значения.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$; множество значений: $(-\infty; +\infty)$.