Номер 24, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24. Упростите выражение:

1) $ \text{tg}7a \cdot \text{ctg}7a + \sin^2\frac{\alpha}{3} \cdot \text{ctg}^2\frac{\alpha}{3} + \sin^2\frac{\alpha}{3}; $

2) $ (0,5 + 0,5\cos10a) : (0,5 - 0,5 \cos10a) \cdot \text{tg}^25a; $

3) $ \frac{\cos^2 \alpha - 4\sin^2\frac{\alpha}{2} \cdot \cos^2\frac{\alpha}{2}}{1 - 8\sin^2\frac{\alpha}{2} \cdot \cos^2\frac{\alpha}{2}}; $

4) $ \frac{\sin^4 \alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha - \cos^4 \alpha}{\text{tg}2\alpha - 1}. $

1) Для упрощения выражения $tg7\alpha \cdot ctg7\alpha + sin^2\frac{\alpha}{3} \cdot ctg^2\frac{\alpha}{3} + sin^2\frac{\alpha}{3}$ воспользуемся основными тригонометрическими тождествами.
Произведение тангенса и котангенса одного и того же угла равно единице: $tg7\alpha \cdot ctg7\alpha = 1$.
Рассмотрим оставшуюся часть выражения: $sin^2\frac{\alpha}{3} \cdot ctg^2\frac{\alpha}{3} + sin^2\frac{\alpha}{3}$.
Представим котангенс как отношение косинуса к синусу: $ctg\frac{\alpha}{3} = \frac{cos(\alpha/3)}{sin(\alpha/3)}$. Тогда $ctg^2\frac{\alpha}{3} = \frac{cos^2(\alpha/3)}{sin^2(\alpha/3)}$.
Подставим это в выражение: $sin^2\frac{\alpha}{3} \cdot \frac{cos^2(\alpha/3)}{sin^2(\alpha/3)} + sin^2\frac{\alpha}{3}$.
Сократим $sin^2\frac{\alpha}{3}$: $cos^2\frac{\alpha}{3} + sin^2\frac{\alpha}{3}$.
По основному тригонометрическому тождеству $sin^2x + cos^2x = 1$, получим $cos^2\frac{\alpha}{3} + sin^2\frac{\alpha}{3} = 1$.
Сложим результаты: $1 + 1 = 2$.
Ответ: 2

2) Рассмотрим выражение $(0,5 + 0,5cos10\alpha) : (0,5 - 0,5cos10\alpha) \cdot tg^25\alpha$.
Вынесем общий множитель 0,5 в числителе и знаменателе дроби: $\frac{0,5(1 + cos10\alpha)}{0,5(1 - cos10\alpha)} \cdot tg^25\alpha = \frac{1 + cos10\alpha}{1 - cos10\alpha} \cdot tg^25\alpha$.
Применим формулы половинного угла: $1 + cos(2x) = 2cos^2x$ и $1 - cos(2x) = 2sin^2x$. В нашем случае $2x = 10\alpha$, значит $x = 5\alpha$.
Подставляем: $\frac{2cos^25\alpha}{2sin^25\alpha} \cdot tg^25\alpha$.
Сокращаем 2 и получаем: $\frac{cos^25\alpha}{sin^25\alpha} \cdot tg^25\alpha$.
Так как $\frac{cos^25\alpha}{sin^25\alpha} = ctg^25\alpha$, выражение принимает вид: $ctg^25\alpha \cdot tg^25\alpha$.
Используя тождество $tgx \cdot ctgx = 1$, получаем $(tg5\alpha \cdot ctg5\alpha)^2 = 1^2 = 1$.
Ответ: 1

3) Упростим дробь $\frac{cos^2\alpha - 4sin^2\frac{\alpha}{2} \cdot cos^2\frac{\alpha}{2}}{1 - 8sin^2\frac{\alpha}{2} \cdot cos^2\frac{\alpha}{2}}$.
Воспользуемся формулой синуса двойного угла $sin(2x) = 2sinx \cdot cosx$. Для угла $\alpha$ имеем $sin\alpha = 2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2}$.
Возведем в квадрат обе части: $sin^2\alpha = (2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2})^2 = 4sin^2\frac{\alpha}{2}cos^2\frac{\alpha}{2}$.
Подставим это выражение в числитель и знаменатель исходной дроби.
Числитель: $cos^2\alpha - (4sin^2\frac{\alpha}{2}cos^2\frac{\alpha}{2}) = cos^2\alpha - sin^2\alpha$. Это формула косинуса двойного угла, то есть $cos(2\alpha)$.
Знаменатель: $1 - 8sin^2\frac{\alpha}{2}cos^2\frac{\alpha}{2} = 1 - 2 \cdot (4sin^2\frac{\alpha}{2}cos^2\frac{\alpha}{2}) = 1 - 2sin^2\alpha$. Это также одна из форм формулы косинуса двойного угла, то есть $cos(2\alpha)$.
Таким образом, дробь равна $\frac{cos(2\alpha)}{cos(2\alpha)} = 1$.
Ответ: 1

4) Упростим выражение $\frac{sin^4\alpha + 2sin\alpha cos\alpha - cos^4\alpha}{tg2\alpha - 1}$.
Преобразуем числитель. Сгруппируем слагаемые: $(sin^4\alpha - cos^4\alpha) + 2sin\alpha cos\alpha$.
Разложим разность квадратов $sin^4\alpha - cos^4\alpha = (sin^2\alpha - cos^2\alpha)(sin^2\alpha + cos^2\alpha)$.
Так как $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$ и $sin^2\alpha - cos^2\alpha = -(cos^2\alpha - sin^2\alpha) = -cos(2\alpha)$, то $sin^4\alpha - cos^4\alpha = -cos(2\alpha)$.
Выражение $2sin\alpha cos\alpha$ равно $sin(2\alpha)$ по формуле синуса двойного угла.
Таким образом, числитель равен $sin(2\alpha) - cos(2\alpha)$.
Теперь преобразуем знаменатель: $tg2\alpha - 1 = \frac{sin2\alpha}{cos2\alpha} - 1 = \frac{sin2\alpha - cos2\alpha}{cos2\alpha}$.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:
$\frac{sin(2\alpha) - cos(2\alpha)}{\frac{sin2\alpha - cos2\alpha}{cos2\alpha}}$.
Разделив числитель на знаменатель, получим: $(sin(2\alpha) - cos(2\alpha)) \cdot \frac{cos2\alpha}{sin2\alpha - cos2\alpha}$.
Сокращая одинаковые выражения $(sin(2\alpha) - cos(2\alpha))$, получаем $cos(2\alpha)$.
Ответ: $cos(2\alpha)$