Номер 20, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20. Упростите выражение:

1) $\frac{\operatorname{ctg}^{2}(270^{\circ}-3 \alpha) \cdot \cos (2 \alpha+90^{\circ}) \cdot \cos (\alpha-180^{\circ}) \cdot \operatorname{ctg}(-\alpha)}{\sin (\alpha-90^{\circ}) \cdot \operatorname{tg}(270^{\circ}+\alpha) \cdot \cos (-\alpha) \cdot \operatorname{tg}^{2}(180^{\circ}+3 \alpha)}$

2) $\frac{\sin (\beta+63^{\circ})+\sin (\beta-57^{\circ})}{2 \cos (\beta-87^{\circ})}$

1) Упростим выражение по частям, используя формулы приведения и свойства тригонометрических функций.

Исходное выражение:

$\frac{\text{ctg}^2(270^\circ - 3\alpha) \cdot \cos(2\alpha + 90^\circ) \cdot \cos(\alpha - 180^\circ) \cdot \text{ctg}(-\alpha)}{\sin(\alpha - 90^\circ) \cdot \text{tg}(270^\circ + \alpha) \cdot \cos(-\alpha) \cdot \text{tg}^2(180^\circ + 3\alpha)}$

Сначала упростим каждый множитель в числителе:

$\text{ctg}(270^\circ - 3\alpha) = \text{tg}(3\alpha)$. Так как угол $270^\circ$ находится на вертикальной оси, функция меняется на кофункцию (ctg на tg). Угол $(270^\circ - 3\alpha)$ находится в III четверти, где котангенс положителен. Следовательно, $\text{ctg}^2(270^\circ - 3\alpha) = \text{tg}^2(3\alpha)$.

$\cos(2\alpha + 90^\circ) = \cos(90^\circ + 2\alpha) = -\sin(2\alpha)$. Функция меняется на кофункцию, а угол $(90^\circ + 2\alpha)$ находится во II четверти, где косинус отрицателен.

$\cos(\alpha - 180^\circ) = \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$. Используем четность косинуса $\cos(-x)=\cos(x)$. Угол $180^\circ$ на горизонтальной оси, функция не меняется. Угол $(180^\circ - \alpha)$ находится во II четверти, где косинус отрицателен.

$\text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$, так как котангенс — нечетная функция.

Таким образом, числитель принимает вид: $\text{tg}^2(3\alpha) \cdot (-\sin(2\alpha)) \cdot (-\cos(\alpha)) \cdot (-\text{ctg}(\alpha)) = -\text{tg}^2(3\alpha) \sin(2\alpha) \cos(\alpha) \text{ctg}(\alpha)$.

Теперь упростим каждый множитель в знаменателе:

$\sin(\alpha - 90^\circ) = -\sin(90^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$. Используем нечетность синуса $\sin(-x)=-\sin(x)$, а затем формулу приведения.

$\text{tg}(270^\circ + \alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$. Функция меняется на кофункцию, а угол $(270^\circ + \alpha)$ находится в IV четверти, где тангенс отрицателен.

$\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, так как косинус — четная функция.

$\text{tg}(180^\circ + 3\alpha) = \text{tg}(3\alpha)$. Функция не меняется, а угол $(180^\circ + 3\alpha)$ находится в III четверти, где тангенс положителен. Следовательно, $\text{tg}^2(180^\circ + 3\alpha) = \text{tg}^2(3\alpha)$.

Таким образом, знаменатель принимает вид: $(-\cos(\alpha)) \cdot (-\text{ctg}(\alpha)) \cdot \cos(\alpha) \cdot \text{tg}^2(3\alpha) = \cos^2(\alpha) \text{ctg}(\alpha) \text{tg}^2(3\alpha)$.

Подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$\frac{-\text{tg}^2(3\alpha) \sin(2\alpha) \cos(\alpha) \text{ctg}(\alpha)}{\cos^2(\alpha) \text{ctg}(\alpha) \text{tg}^2(3\alpha)}$

Сокращаем общие множители $\text{tg}^2(3\alpha)$, $\text{ctg}(\alpha)$ и $\cos(\alpha)$ (при условии, что они не равны нулю):

$\frac{-\sin(2\alpha)}{\cos(\alpha)}$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$:

$\frac{-2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\cos(\alpha)} = -2\sin(\alpha)$

Ответ: $-2\sin(\alpha)$.

2) Упростим данное выражение, используя формулы тригонометрии.

Исходное выражение:

$\frac{\sin(\beta + 63^\circ) + \sin(\beta - 57^\circ)}{2\cos(\beta - 87^\circ)}$

Для преобразования суммы синусов в числителе воспользуемся формулой: $\sin(x) + \sin(y) = 2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$.

В нашем случае $x = \beta + 63^\circ$ и $y = \beta - 57^\circ$.

$\sin(\beta + 63^\circ) + \sin(\beta - 57^\circ) = 2\sin\left(\frac{(\beta + 63^\circ) + (\beta - 57^\circ)}{2}\right)\cos\left(\frac{(\beta + 63^\circ) - (\beta - 57^\circ)}{2}\right)$

$= 2\sin\left(\frac{2\beta + 6^\circ}{2}\right)\cos\left(\frac{120^\circ}{2}\right) = 2\sin(\beta + 3^\circ)\cos(60^\circ)$

Мы знаем, что значение $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. Подставим его:

$2\sin(\beta + 3^\circ) \cdot \frac{1}{2} = \sin(\beta + 3^\circ)$

Теперь наше исходное выражение выглядит так:

$\frac{\sin(\beta + 3^\circ)}{2\cos(\beta - 87^\circ)}$

Чтобы упростить дальше, воспользуемся формулой приведения $\sin(x) = \cos(90^\circ - x)$.

$\sin(\beta + 3^\circ) = \cos(90^\circ - (\beta + 3^\circ)) = \cos(90^\circ - \beta - 3^\circ) = \cos(87^\circ - \beta)$

Так как косинус является четной функцией, $\cos(z) = \cos(-z)$, то $\cos(87^\circ - \beta) = \cos(- (87^\circ - \beta)) = \cos(\beta - 87^\circ)$.

Следовательно, мы показали, что $\sin(\beta + 3^\circ) = \cos(\beta - 87^\circ)$.

Подставим это тождество в нашу дробь:

$\frac{\cos(\beta - 87^\circ)}{2\cos(\beta - 87^\circ)}$

Сокращая $\cos(\beta - 87^\circ)$ (при условии $\cos(\beta - 87^\circ) \ne 0$), получаем:

$\frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.