Номер 21, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21. Докажите, что значение выражения

$2 \cdot (0,5 - 0,5 \cos 4\alpha + \frac{1}{1 + \text{tg}^2 2\alpha}) - (1 - \sin^2 2\alpha) \cdot \frac{1}{\text{ctg}^2 2\alpha} - \cos^2 2\alpha$

равно единице.

Для доказательства того, что значение выражения равно единице, упростим его по частям, используя основные тригонометрические тождества.
Исходное выражение:
$2 \cdot (0,5 - 0,5 \cos(4\alpha) + \frac{1}{1 + \tg^2(2\alpha)}) - (1 - \sin^2(2\alpha)) \cdot \frac{1}{\ctg^2(2\alpha)} - \cos^2(2\alpha)$

1. Упростим первую часть выражения: $2 \cdot (0,5 - 0,5 \cos(4\alpha) + \frac{1}{1 + \tg^2(2\alpha)})$.
Рассмотрим выражение в скобках. Преобразуем его слагаемые.
Первые два слагаемых: $0,5 - 0,5 \cos(4\alpha) = 0,5(1 - \cos(4\alpha))$.
Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) $, из которой следует $1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)$. Применим ее для $x = 2\alpha$:
$1 - \cos(4\alpha) = 2\sin^2(2\alpha)$.
Тогда $0,5(1 - \cos(4\alpha)) = 0,5 \cdot 2\sin^2(2\alpha) = \sin^2(2\alpha)$.
Теперь преобразуем третье слагаемое в скобках, используя тождество $1 + \tg^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$:
$\frac{1}{1 + \tg^2(2\alpha)} = \cos^2(2\alpha)$.
Подставим полученные результаты в скобки:
$\sin^2(2\alpha) + \cos^2(2\alpha)$.
По основному тригонометрическому тождеству $\sin^2(y) + \cos^2(y) = 1$, значение выражения в скобках равно 1.
Следовательно, вся первая часть исходного выражения равна $2 \cdot 1 = 2$.

2. Упростим вторую часть выражения: $-(1 - \sin^2(2\alpha)) \cdot \frac{1}{\ctg^2(2\alpha)} - \cos^2(2\alpha)$.
Из основного тригонометрического тождества имеем $1 - \sin^2(2\alpha) = \cos^2(2\alpha)$.
По определению тангенса и котангенса $\frac{1}{\ctg^2(y)} = \tg^2(y) = \frac{\sin^2(y)}{\cos^2(y)}$.
Подставим эти преобразования во вторую часть:
$-(\cos^2(2\alpha) \cdot \frac{\sin^2(2\alpha)}{\cos^2(2\alpha)}) - \cos^2(2\alpha)$.
При условии, что $\cos(2\alpha) \neq 0$ (которое выполняется, так как в исходном выражении присутствует $\tg(2\alpha)$), мы можем сократить $\cos^2(2\alpha)$:
$-\sin^2(2\alpha) - \cos^2(2\alpha)$.
Вынесем знак минус за скобки: $-(\sin^2(2\alpha) + \cos^2(2\alpha))$.
Снова используя основное тригонометрическое тождество, получаем: $-(1) = -1$.

3. Вычислим итоговое значение.
Сложим результаты упрощения обеих частей:
$2 + (-1) = 2 - 1 = 1$.
Таким образом, мы доказали, что значение исходного выражения равно 1.

Ответ: 1.