Номер 25, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25. Докажите тождество:

1) $\frac{\tg(\frac{\pi}{2} - 4\alpha) \cdot \sin(2\pi - 2\alpha) \cdot \cos(-2\alpha)}{\ctg(2\pi - 4\alpha) \cdot \left(\cos^2 2\alpha - \cos^2\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right)\right)} = 0.5\tg4\alpha;$

2) $\tg\alpha \cdot \tg\beta + (\tg\alpha + \tg\beta) \ctg(\alpha + \beta) = 1;$

3) $(\tg\alpha - \tg\beta) \cdot \ctg(\alpha - \beta) - \tg\alpha \cdot \tg\beta = 1;$

4) $4 \sin^6\alpha + 4 \cos^6\alpha - 1 = 3\cos^2 2\alpha.$

1) Докажем тождество: $ \frac{\text{tg}(\frac{\pi}{2} - 4\alpha) \cdot \sin(2\pi - 2\alpha) \cdot \cos(-2\alpha)}{\text{ctg}(2\pi - 4\alpha) \cdot (\cos^2 2\alpha - \cos^2(\frac{\pi}{2} - 2\alpha))} = 0,5 \text{tg}4\alpha $

Преобразуем левую часть равенства, используя формулы приведения и свойства тригонометрических функций.

Сначала преобразуем выражения в числителе:

$ \text{tg}(\frac{\pi}{2} - 4\alpha) = \text{ctg}(4\alpha) $ (по формуле кофункции)

$ \sin(2\pi - 2\alpha) = -\sin(2\alpha) $ (согласно периодичности и знаку синуса в IV четверти)

$ \cos(-2\alpha) = \cos(2\alpha) $ (так как косинус - четная функция)

Теперь преобразуем выражения в знаменателе:

$ \text{ctg}(2\pi - 4\alpha) = -\text{ctg}(4\alpha) $ (согласно периодичности и знаку котангенса в IV четверти)

$ \cos^2(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) = \sin^2(2\alpha) $ (по формуле кофункции)

Подставим преобразованные выражения в левую часть тождества:

$ \frac{\text{ctg}(4\alpha) \cdot (-\sin(2\alpha)) \cdot \cos(2\alpha)}{-\text{ctg}(4\alpha) \cdot (\cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha)} $

Сократим $ -\text{ctg}(4\alpha) $ в числителе и знаменателе (при условии, что $ \text{ctg}(4\alpha) \neq 0 $):

$ \frac{\sin(2\alpha) \cdot \cos(2\alpha)}{\cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha} $

Применим формулы двойного угла:

Для числителя используем формулу синуса двойного угла: $ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) $, откуда $ \sin(x)\cos(x) = \frac{1}{2}\sin(2x) $. В нашем случае $ x = 2\alpha $, значит $ \sin(2\alpha)\cos(2\alpha) = \frac{1}{2}\sin(4\alpha) $.

Для знаменателя используем формулу косинуса двойного угла: $ \cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x $. В нашем случае $ x = 2\alpha $, значит $ \cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha = \cos(4\alpha) $.

Подставим эти выражения обратно в дробь:

$ \frac{\frac{1}{2}\sin(4\alpha)}{\cos(4\alpha)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin(4\alpha)}{\cos(4\alpha)} = \frac{1}{2}\text{tg}(4\alpha) = 0,5\text{tg}(4\alpha) $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество: $ \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta + (\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta) \text{ctg}(\alpha + \beta) = 1 $

Преобразуем левую часть. Для этого воспользуемся формулой котангенса суммы, выразив его через тангенсы:

$ \text{ctg}(\alpha + \beta) = \frac{1}{\text{tg}(\alpha + \beta)} = \frac{1}{\frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta}} = \frac{1 - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta} $

Подставим это выражение в левую часть исходного равенства:

$ \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta + (\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta) \cdot \frac{1 - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta} $

Сократим множитель $ (\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta) $ (при условии, что $ \text{tg}\alpha + \text{tg}\beta \neq 0 $):

$ \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta + (1 - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta) $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta + 1 - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta = 1 $

Получили $ 1 = 1 $, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество: $ (\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta) \cdot \text{ctg}(\alpha - \beta) - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta = 1 $

Преобразуем левую часть. Воспользуемся формулой котангенса разности:

$ \text{ctg}(\alpha - \beta) = \frac{1}{\text{tg}(\alpha - \beta)} = \frac{1}{\frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta}} = \frac{1 + \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta} $

Подставим это выражение в левую часть тождества:

$ (\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta) \cdot \frac{1 + \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta} - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta $

Сократим множитель $ (\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta) $ (при условии, что $ \text{tg}\alpha - \text{tg}\beta \neq 0 $):

$ (1 + \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta) - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ 1 + \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta = 1 $

Получили $ 1 = 1 $, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

4) Докажем тождество: $ 4 \sin^6\alpha + 4 \cos^6\alpha - 1 = 3\cos^2 2\alpha $

Преобразуем левую часть. Вынесем 4 за скобки и представим выражение в скобках как сумму кубов:

$ 4(\sin^6\alpha + \cos^6\alpha) - 1 = 4((\sin^2\alpha)^3 + (\cos^2\alpha)^3) - 1 $

Применим формулу суммы кубов $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) $, где $ a = \sin^2\alpha $ и $ b = \cos^2\alpha $:

$ 4(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)(\sin^4\alpha - \sin^2\alpha \cos^2\alpha + \cos^4\alpha) - 1 $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, упростим выражение:

$ 4(1 \cdot (\sin^4\alpha + \cos^4\alpha - \sin^2\alpha \cos^2\alpha)) - 1 $

Преобразуем сумму $ \sin^4\alpha + \cos^4\alpha $, выделив полный квадрат:

$ \sin^4\alpha + \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha)^2 + (\cos^2\alpha)^2 = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1^2 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha $

Подставим это в наше выражение:

$ 4((1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha) - \sin^2\alpha\cos^2\alpha) - 1 = 4(1 - 3\sin^2\alpha\cos^2\alpha) - 1 $

Раскроем скобки:

$ 4 - 12\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 1 = 3 - 12\sin^2\alpha\cos^2\alpha $

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $. Возведя в квадрат, получим $ \sin^2(2\alpha) = 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha $. Отсюда $ \sin^2\alpha\cos^2\alpha = \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha) $.

$ 3 - 12 \left(\frac{1}{4}\sin^2(2\alpha)\right) = 3 - 3\sin^2(2\alpha) $

Вынесем 3 за скобки и используем основное тригонометрическое тождество $ 1 - \sin^2(2\alpha) = \cos^2(2\alpha) $:

$ 3(1 - \sin^2(2\alpha)) = 3\cos^2(2\alpha) $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.