Номер 12, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12. Найдите $a_1$, если:

1) $d = -20$; $S_4 = 320$;

2) $d = 20$; $S_6 = 60$;

3) $d = 30$; $S_7 = 259$;

4) $d = -40$; $S_9 = 1350$.

Для решения всех пунктов задачи используется формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, $n$ — количество членов.

1) Дано: $d = -20$, $n=4$, $S_4 = 320$.
Подставим известные значения в формулу: $S_4 = \frac{2a_1 + d(4-1)}{2} \cdot 4$
$320 = \frac{2a_1 + (-20) \cdot 3}{2} \cdot 4$
$320 = (2a_1 - 60) \cdot 2$
Разделим обе части уравнения на 2: $160 = 2a_1 - 60$
Перенесем -60 в левую часть с противоположным знаком: $160 + 60 = 2a_1$
$220 = 2a_1$
Разделим обе части на 2, чтобы найти $a_1$: $a_1 = 110$
Ответ: $110$.

2) Дано: $d = 20$, $n=6$, $S_6 = 60$.
Подставим значения в формулу: $S_6 = \frac{2a_1 + d(6-1)}{2} \cdot 6$
$60 = \frac{2a_1 + 20 \cdot 5}{2} \cdot 6$
$60 = (2a_1 + 100) \cdot 3$
Разделим обе части уравнения на 3: $20 = 2a_1 + 100$
Перенесем 100 в левую часть: $20 - 100 = 2a_1$
$-80 = 2a_1$
Разделим обе части на 2: $a_1 = -40$
Ответ: $-40$.

3) Дано: $d = 30$, $n=7$, $S_7 = 259$.
Подставим значения в формулу: $S_7 = \frac{2a_1 + d(7-1)}{2} \cdot 7$
$259 = \frac{2a_1 + 30 \cdot 6}{2} \cdot 7$
$259 = \frac{2a_1 + 180}{2} \cdot 7$
Вынесем 2 за скобки в числителе и сократим дробь: $259 = \frac{2(a_1 + 90)}{2} \cdot 7$
$259 = (a_1 + 90) \cdot 7$
Разделим обе части на 7: $37 = a_1 + 90$
Перенесем 90 в левую часть: $37 - 90 = a_1$
$a_1 = -53$
Ответ: $-53$.

4) Дано: $d = -40$, $n=9$, $S_9 = 1350$.
Подставим значения в формулу: $S_9 = \frac{2a_1 + d(9-1)}{2} \cdot 9$
$1350 = \frac{2a_1 + (-40) \cdot 8}{2} \cdot 9$
$1350 = \frac{2a_1 - 320}{2} \cdot 9$
Вынесем 2 за скобки в числителе и сократим дробь: $1350 = \frac{2(a_1 - 160)}{2} \cdot 9$
$1350 = (a_1 - 160) \cdot 9$
Разделим обе части на 9: $150 = a_1 - 160$
Перенесем -160 в левую часть: $150 + 160 = a_1$
$a_1 = 310$
Ответ: $310$.