Номер 5, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5. Вычислите:

1) $sin2a$, $cos4a$, $ctg4a$, если $sina = \frac{1}{3}$ и $0^{\circ} < a < 90^{\circ}$;

2) $cos2a$, $tg2a$, $sin4a$, если $cosa = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$ и $180^{\circ} < a < 270^{\circ}$.

1) Дано: $sin\alpha = \frac{1}{3}$ и $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.

Так как угол $\alpha$ находится в первой четверти, $cos\alpha$ будет положительным. Найдем его значение из основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.
$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
$cos\alpha = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Теперь вычислим требуемые значения.

Вычисление sin2α:
Используем формулу синуса двойного угла: $sin2\alpha = 2sin\alpha cos\alpha$.
$sin2\alpha = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{9}$.

Вычисление cos4α:
Сначала найдем $cos2\alpha$. Используем формулу косинуса двойного угла $cos2\alpha = 1 - 2sin^2\alpha$, так как $sin\alpha$ дан в условии.
$cos2\alpha = 1 - 2 \cdot (\frac{1}{3})^2 = 1 - 2 \cdot \frac{1}{9} = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$.
Теперь найдем $cos4\alpha$, используя формулу косинуса двойного угла для аргумента $2\alpha$: $cos4\alpha = 2cos^2(2\alpha) - 1$.
$cos4\alpha = 2 \cdot (\frac{7}{9})^2 - 1 = 2 \cdot \frac{49}{81} - 1 = \frac{98}{81} - \frac{81}{81} = \frac{17}{81}$.

Вычисление ctg4α:
Для нахождения $ctg4\alpha = \frac{cos4\alpha}{sin4\alpha}$, нам необходимо вычислить $sin4\alpha$.
Используем формулу синуса двойного угла для аргумента $2\alpha$: $sin4\alpha = 2sin(2\alpha)cos(2\alpha)$.
Мы уже вычислили $sin2\alpha = \frac{4\sqrt{2}}{9}$ и $cos2\alpha = \frac{7}{9}$.
$sin4\alpha = 2 \cdot \frac{4\sqrt{2}}{9} \cdot \frac{7}{9} = \frac{56\sqrt{2}}{81}$.
Теперь можем вычислить котангенс:
$ctg4\alpha = \frac{cos4\alpha}{sin4\alpha} = \frac{\frac{17}{81}}{\frac{56\sqrt{2}}{81}} = \frac{17}{56\sqrt{2}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$ctg4\alpha = \frac{17 \cdot \sqrt{2}}{56\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{17\sqrt{2}}{56 \cdot 2} = \frac{17\sqrt{2}}{112}$.

Ответ: $sin2\alpha = \frac{4\sqrt{2}}{9}$, $cos4\alpha = \frac{17}{81}$, $ctg4\alpha = \frac{17\sqrt{2}}{112}$.

2) Дано: $cos\alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$ и $180^\circ < \alpha < 270^\circ$.

Так как угол $\alpha$ находится в третьей четверти, $sin\alpha$ будет отрицательным. Найдем его значение из основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.
$sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha = 1 - (-\frac{2\sqrt{2}}{3})^2 = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$.
$sin\alpha = -\sqrt{\frac{1}{9}} = -\frac{1}{3}$.

Теперь вычислим требуемые значения.

Вычисление cos2α:
Используем формулу косинуса двойного угла $cos2\alpha = 2cos^2\alpha - 1$, так как $cos\alpha$ дан в условии.
$cos2\alpha = 2 \cdot (-\frac{2\sqrt{2}}{3})^2 - 1 = 2 \cdot \frac{8}{9} - 1 = \frac{16}{9} - \frac{9}{9} = \frac{7}{9}$.

Вычисление tg2α:
Для нахождения $tg2\alpha = \frac{sin2\alpha}{cos2\alpha}$, нам необходимо вычислить $sin2\alpha$.
Используем формулу синуса двойного угла: $sin2\alpha = 2sin\alpha cos\alpha$.
$sin2\alpha = 2 \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot (-\frac{2\sqrt{2}}{3}) = \frac{4\sqrt{2}}{9}$.
Теперь можем вычислить тангенс:
$tg2\alpha = \frac{\frac{4\sqrt{2}}{9}}{\frac{7}{9}} = \frac{4\sqrt{2}}{7}$.

Вычисление sin4α:
Используем формулу синуса двойного угла для аргумента $2\alpha$: $sin4\alpha = 2sin(2\alpha)cos(2\alpha)$.
Мы уже вычислили $sin2\alpha = \frac{4\sqrt{2}}{9}$ и $cos2\alpha = \frac{7}{9}$.
$sin4\alpha = 2 \cdot \frac{4\sqrt{2}}{9} \cdot \frac{7}{9} = \frac{56\sqrt{2}}{81}$.

Ответ: $cos2\alpha = \frac{7}{9}$, $tg2\alpha = \frac{4\sqrt{2}}{7}$, $sin4\alpha = \frac{56\sqrt{2}}{81}$.