Номер 6, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6. Найдите:

1) $sin \frac{\alpha}{2}$, $cos \frac{\alpha}{2}$, $sin \alpha$, если $cos \alpha = \frac{7}{9}$ и $0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ}$;

2) $sin \frac{\alpha}{2}$, $cos \frac{\alpha}{2}$, $cos \alpha$, $tg \alpha$, если $sin \alpha = \frac{4\sqrt{2}}{9}$ и $90^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$.

1) Дано: $ \cos\alpha = \frac{7}{9} $ и $ 0^\circ < \alpha < 90^\circ $. Найдем $ \sin\frac{\alpha}{2} $, $ \cos\frac{\alpha}{2} $ и $ \sin\alpha $.
Сначала определим, в какой четверти находится угол $ \frac{\alpha}{2} $. Так как $ 0^\circ < \alpha < 90^\circ $, то, разделив неравенство на 2, получим $ 0^\circ < \frac{\alpha}{2} < 45^\circ $. Это первая четверть, поэтому $ \sin\frac{\alpha}{2} > 0 $ и $ \cos\frac{\alpha}{2} > 0 $.
Используем формулы половинного угла:
$ \sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2} = \frac{1 - \frac{7}{9}}{2} = \frac{\frac{9-7}{9}}{2} = \frac{\frac{2}{9}}{2} = \frac{1}{9} $.
Так как $ \sin\frac{\alpha}{2} > 0 $, то $ \sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3} $.
$ \cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2} = \frac{1 + \frac{7}{9}}{2} = \frac{\frac{9+7}{9}}{2} = \frac{\frac{16}{9}}{2} = \frac{8}{9} $.
Так как $ \cos\frac{\alpha}{2} > 0 $, то $ \cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $.
Теперь найдем $ \sin\alpha $. Угол $ \alpha $ находится в первой четверти ($ 0^\circ < \alpha < 90^\circ $), поэтому $ \sin\alpha > 0 $. Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $:
$ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{7}{9}\right)^2 = 1 - \frac{49}{81} = \frac{81 - 49}{81} = \frac{32}{81} $.
Следовательно, $ \sin\alpha = \sqrt{\frac{32}{81}} = \frac{\sqrt{16 \cdot 2}}{9} = \frac{4\sqrt{2}}{9} $.
Ответ: $ \sin\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{3} $, $ \cos\frac{\alpha}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $, $ \sin\alpha = \frac{4\sqrt{2}}{9} $.

2) Дано: $ \sin\alpha = \frac{4\sqrt{2}}{9} $ и $ 90^\circ < \alpha < 180^\circ $. Найдем $ \sin\frac{\alpha}{2} $, $ \cos\frac{\alpha}{2} $, $ \cos\alpha $ и $ \tg\alpha $.
Сначала найдем $ \cos\alpha $. Так как угол $ \alpha $ находится во второй четверти ($ 90^\circ < \alpha < 180^\circ $), его косинус отрицателен. Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $:
$ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{4\sqrt{2}}{9}\right)^2 = 1 - \frac{16 \cdot 2}{81} = 1 - \frac{32}{81} = \frac{49}{81} $.
Так как $ \cos\alpha < 0 $, то $ \cos\alpha = -\sqrt{\frac{49}{81}} = -\frac{7}{9} $.
Теперь определим четверть для угла $ \frac{\alpha}{2} $. Из $ 90^\circ < \alpha < 180^\circ $ следует $ 45^\circ < \frac{\alpha}{2} < 90^\circ $. Это первая четверть, поэтому $ \sin\frac{\alpha}{2} > 0 $ и $ \cos\frac{\alpha}{2} > 0 $.
Используем формулы половинного угла:
$ \sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2} = \frac{1 - (-\frac{7}{9})}{2} = \frac{1 + \frac{7}{9}}{2} = \frac{\frac{16}{9}}{2} = \frac{8}{9} $.
Отсюда $ \sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $.
$ \cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2} = \frac{1 + (-\frac{7}{9})}{2} = \frac{1 - \frac{7}{9}}{2} = \frac{\frac{2}{9}}{2} = \frac{1}{9} $.
Отсюда $ \cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3} $.
Наконец, найдем $ \tg\alpha $ по определению: $ \tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{4\sqrt{2}}{9}}{-\frac{7}{9}} = -\frac{4\sqrt{2}}{7} $.
Ответ: $ \sin\frac{\alpha}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $, $ \cos\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{3} $, $ \cos\alpha = -\frac{7}{9} $, $ \tg\alpha = -\frac{4\sqrt{2}}{7} $.