Страница 130, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

14.30. Решите графически уравнение:

1) $7x - 6 = x^3;$

2) $x^3 = \sqrt{x};$

3) $0.5x - 2 = \frac{6}{x};$

4) $3x - 1 = \frac{2}{x}.$

1) Чтобы решить уравнение $7x - 6 = x^3$ графически, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = 7x - 6$ (прямая) и $y = x^3$ (кубическая парабола).

Построим прямую $y = 7x - 6$ по двум точкам. Например, если $x=1$, то $y = 7(1) - 6 = 1$. Если $x=2$, то $y = 7(2) - 6 = 8$. Прямая проходит через точки $(1, 1)$ и $(2, 8)$.

Построим график функции $y = x^3$. Это стандартная кубическая парабола, проходящая через точки $(-2, -8)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 8)$.

Графики пересекаются в трех точках. Абсциссы (координаты $x$) этих точек являются решениями уравнения. Из графика находим три точки пересечения, абсциссы которых равны $-3$, $1$ и $2$.

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = 1, x_3 = 2$.

2) Чтобы решить уравнение $x^3 = \sqrt{x}$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = x^3$ и $y = \sqrt{x}$.

Область определения уравнения задается условием $x \ge 0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным. Поэтому мы будем рассматривать графики только в первой координатной четверти.

Графики пересекаются в двух точках: $(0, 0)$ и $(1, 1)$. Абсциссы этих точек $x=0$ и $x=1$ являются решениями уравнения.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 1$.

3) Чтобы решить уравнение $0,5x - 2 = \frac{6}{x}$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = 0,5x - 2$ (прямая) и $y = \frac{6}{x}$ (гипербола).

Область определения: $x \neq 0$.

Прямая $y = 0,5x - 2$ проходит через точки $(-2, -3)$ и $(6, 1)$.

График $y = \frac{6}{x}$ — гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях.

Графики пересекаются в двух точках. Абсциссы этих точек $x = -2$ и $x = 6$ являются решениями уравнения.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 6$.

4) Чтобы решить уравнение $3x - 1 = \frac{2}{x}$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = 3x - 1$ (прямая) и $y = \frac{2}{x}$ (гипербола).

Область определения: $x \neq 0$.

Прямая $y = 3x - 1$ проходит через точки $(1, 2)$ и $(0, -1)$.

График $y = \frac{2}{x}$ — гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях.

Графики пересекаются в двух точках. Из графика видно, что абсцисса одной точки пересечения $x_1 = 1$. Абсцисса второй точки находится между $-0,5$ и $-1$, примерно $x_2 \approx -0,7$. Точное значение можно найти, решив квадратное уравнение $3x^2 - x - 2 = 0$, корнями которого являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -2/3$.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -2/3$.

14.31. Решите способом подстановки систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x^2 - xy + 8 = -y, \\ y - 2x = 0; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^2 + 3xy + y^2 = 1, \\ 3y + x = 0. \end{cases} $

1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 - xy + 8 = -y, \\ y - 2x = 0. \end{cases} $

Для решения системы методом подстановки выразим из второго, более простого, уравнения переменную $y$ через $x$:
$y - 2x = 0 \implies y = 2x$.

Теперь подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:
$x^2 - x(2x) + 8 = -(2x)$.

Упростим уравнение и приведем его к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:
$x^2 - 2x^2 + 8 = -2x$
$-x^2 + 2x + 8 = 0$
$x^2 - 2x - 8 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = 4$.
$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = -2$.

Теперь для каждого найденного значения $x$ найдем соответствующее значение $y$, используя подстановку $y = 2x$:
Если $x_1 = 4$, то $y_1 = 2 \cdot 4 = 8$.
Если $x_2 = -2$, то $y_2 = 2 \cdot (-2) = -4$.
Таким образом, решениями системы являются две пары чисел.

Ответ: $(4; 8), (-2; -4)$.

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + 3xy + y^2 = 1, \\ 3y + x = 0. \end{cases} $

Из второго уравнения выразим переменную $x$ через $y$:
$3y + x = 0 \implies x = -3y$.

Подставим полученное выражение в первое уравнение системы:
$(-3y)^2 + 3(-3y)y + y^2 = 1$.

Упростим уравнение:
$9y^2 - 9y^2 + y^2 = 1$
$y^2 = 1$.

Решим это уравнение относительно $y$:
$y_1 = 1$,
$y_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $x$, подставив найденные $y$ в выражение $x = -3y$:
Если $y_1 = 1$, то $x_1 = -3 \cdot 1 = -3$.
Если $y_2 = -1$, то $x_2 = -3 \cdot (-1) = 3$.
Таким образом, решениями системы являются две пары чисел.

Ответ: $(-3; 1), (3; -1)$.

14.32. Площадь прямоугольного треугольника равна 44 $см^2$. Если длину одного из его катетов увеличить на 2 см, а другого уменьшить на 1 см, то площадь прямоугольника станет равной 50 $см^2$. Найдите длины катетов данного треугольника.

Пусть длины катетов прямоугольного треугольника равны $a$ см и $b$ см. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$.

Согласно условию задачи, первоначальная площадь треугольника равна 44 см². Составим первое уравнение:

$\frac{1}{2}ab = 44$

$ab = 88$

Далее, длину одного катета увеличили на 2 см, а другого уменьшили на 1 см. Пусть новые длины катетов будут $(a+2)$ см и $(b-1)$ см. Новая площадь стала равна 50 см². Составим второе уравнение:

$\frac{1}{2}(a+2)(b-1) = 50$

$(a+2)(b-1) = 100$

Мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} ab = 88 \\ (a+2)(b-1) = 100 \end{cases}$

Выразим $b$ из первого уравнения: $b = \frac{88}{a}$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(a+2)(\frac{88}{a}-1) = 100$

Раскроем скобки:

$a \cdot \frac{88}{a} - a \cdot 1 + 2 \cdot \frac{88}{a} - 2 \cdot 1 = 100$

$88 - a + \frac{176}{a} - 2 = 100$

$86 - a + \frac{176}{a} = 100$

Умножим обе части уравнения на $a$ (при условии, что $a \neq 0$, что верно, так как $a$ - длина катета):

$86a - a^2 + 176 = 100a$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$a^2 + 100a - 86a - 176 = 0$

$a^2 + 14a - 176 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-176) = 196 + 704 = 900$

Найдем корни уравнения:

$a_1 = \frac{-14 + \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 + 30}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$a_2 = \frac{-14 - \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 - 30}{2} = \frac{-44}{2} = -22$

Так как длина катета не может быть отрицательной, корень $a_2 = -22$ не подходит. Следовательно, длина одного катета равна 8 см.

Теперь найдем длину второго катета $b$:

$b = \frac{88}{a} = \frac{88}{8} = 11$

Таким образом, длины катетов исходного треугольника равны 8 см и 11 см.

Проверка: первоначальная площадь $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 11 = 44$ см². Новые катеты $8+2=10$ см и $11-1=10$ см. Новая площадь $S_{нов} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50$ см². Условия задачи выполнены.

Ответ: длины катетов данного треугольника равны 8 см и 11 см.

14.33. Как получен последующий член конечной последовательности:

1) 2; 8; 32; 128; 512; 2048;

2) −200; −100; −50; −25; −12,5;

3) 4; 20; 100; 500; 2500;

4) −11; −1,1; −0,11; −0,011; −0,0011?

1) В последовательности 2; 8; 32; 128; 512; 2048; каждый последующий член получается путем умножения предыдущего на одно и то же число. Чтобы найти это число, необходимо найти отношение любого члена последовательности (начиная со второго) к предыдущему. Например, разделим второй член на первый: $8 : 2 = 4$. Для проверки разделим третий член на второй: $32 : 8 = 4$. Отношение постоянно и равно 4. Следовательно, каждый член этой последовательности, начиная со второго, получен умножением предыдущего члена на 4. Ответ: Каждый последующий член получен умножением предыдущего на 4.

2) В последовательности –200; –100; –50; –25; –12,5; найдем отношение между соседними членами. Разделим второй член на первый: $-100 : (-200) = 0,5$. Для проверки разделим третий член на второй: $-50 : (-100) = 0,5$. Отношение постоянно и равно 0,5. Следовательно, каждый последующий член получен умножением предыдущего члена на 0,5 (что эквивалентно делению на 2). Ответ: Каждый последующий член получен умножением предыдущего на 0,5 (или делением на 2).

3) В последовательности 4; 20; 100; 500; 2500; найдем отношение между соседними членами. Разделим второй член на первый: $20 : 4 = 5$. Для проверки разделим третий член на второй: $100 : 20 = 5$. Отношение постоянно и равно 5. Следовательно, каждый последующий член получен умножением предыдущего члена на 5. Ответ: Каждый последующий член получен умножением предыдущего на 5.

4) В последовательности –11; –1,1; –0,11; –0,011; –0,0011; найдем отношение между соседними членами. Разделим второй член на первый: $-1,1 : (-11) = 0,1$. Для проверки разделим третий член на второй: $-0,11 : (-1,1) = 0,1$. Отношение постоянно и равно 0,1. Следовательно, каждый последующий член получен умножением предыдущего члена на 0,1 (что эквивалентно делению на 10). Ответ: Каждый последующий член получен умножением предыдущего на 0,1 (или делением на 10).

14.34. Установите закономерность и запишите член последовательности под знаком (*):

1) $8; 4; 2; 1; (*);$

2) $8; -4; 2; -1; (*);$

3) $\frac{1}{2}; -\frac{1}{4}; \frac{1}{8}; -\frac{1}{16}; (*);$

4) $-4; 16; -64; 256. (*)$

1) В последовательности 8; 4; 2; 1; (*) каждый следующий член в два раза меньше предыдущего. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q$. Найдем знаменатель, разделив второй член на первый: $q = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$. Чтобы найти член последовательности под знаком (*), нужно последний известный член (1) умножить на знаменатель прогрессии $q$: $1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

2)В последовательности 8; -4; 2; -1; (*) каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число. Это геометрическая прогрессия. Найдем её знаменатель $q$, разделив второй член на первый: $q = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$. Чтобы найти следующий член, умножим последний известный член (-1) на знаменатель $q$: $(-1) \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

3)Последовательность $\frac{1}{2}; -\frac{1}{4}; \frac{1}{8}; -\frac{1}{16}$; (*) является знакочередующейся геометрической прогрессией. Найдем ее знаменатель $q$: $q = (-\frac{1}{4}) / (\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4} \cdot 2 = -\frac{1}{2}$. Каждый следующий член получается умножением предыдущего на $-\frac{1}{2}$. Найдем член под знаком (*), умножив $-\frac{1}{16}$ на $-\frac{1}{2}$: $(-\frac{1}{16}) \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{32}$.
Ответ: $\frac{1}{32}$

4)Последовательность -4; 16; -64; 256; (*) является геометрической прогрессией. Найдем ее знаменатель $q$, разделив второй член на первый: $q = \frac{16}{-4} = -4$. Чтобы найти следующий член, нужно последний известный член (256) умножить на знаменатель $q$: $256 \cdot (-4) = -1024$.
Ответ: -1024

55. Дано 10 закрытых замков и 10 похожих ключей к ним. К каждому замку подходит только один ключ, но ключи смешались. Если взять первый замок и попробовать открыть его каждым из десяти ключей, то в лучшем случае он откроется первым же ключом, в худшем — только десятым. Сколько нужно максимум произвести проб, чтобы открыть все замки?

Чтобы найти максимальное количество проб, которое потребуется для открытия всех замков, мы должны рассмотреть наихудший сценарий на каждом шаге. Стратегия заключается в том, чтобы брать замки по одному и последовательно пробовать все оставшиеся ключи, пока не найдется подходящий.

Для первого замка у нас есть 10 ключей. В худшем случае правильный ключ окажется последним из тех, что мы пробуем. Это означает, что мы сделаем 9 неудачных попыток, и только 10-я попытка окажется успешной. Таким образом, максимальное число проб для первого замка равно 10. После того как первый замок открыт, мы откладываем его и соответствующий ключ в сторону. У нас остается 9 замков и 9 ключей.

Для второго замка теперь есть 9 ключей. По той же логике, в худшем случае потребуется 9 проб, чтобы его открыть. После этого останется 8 замков и 8 ключей.

Этот процесс продолжается для всех замков. Для каждого следующего замка максимальное количество необходимых проб будет уменьшаться на единицу:
- для 3-го замка — 8 проб,
- для 4-го — 7 проб,
- и так далее, до последнего замка.

Для девятого замка у нас останется 2 ключа. В худшем случае первая проба будет неудачной, а вторая — успешной. Потребуется 2 пробы.

Для десятого (последнего) замка останется всего один ключ, который гарантированно к нему подходит. Чтобы открыть замок, потребуется 1 проба.

Общее максимальное количество проб равно сумме максимальных проб для каждого из 10 замков. Это сумма чисел от 10 до 1:
$N = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1$
Эта сумма является суммой первых 10 членов арифметической прогрессии и может быть вычислена по формуле:
$S_n = \frac{n(n+1)}{2}$
Подставив $n=10$, получаем:
$N = \frac{10 \times (10+1)}{2} = \frac{10 \times 11}{2} = \frac{110}{2} = 55$

Ответ: 55

56. На одной из улиц города по обе стороны в один ряд расположены 100 домов. Каждому дому присвоен порядковый номер. Дома с нечетными номерами расположены слева, с четными — справа.

На каком месте расположен дом № 90?

Согласно условию задачи, на улице 100 домов, расположенных по обеим сторонам. Дома с нечетными номерами находятся на левой стороне, а с четными — на правой.

Всего на улице 100 домов. Так как нумерация разделена на четные и нечетные номера, то на каждой стороне улицы расположено по 50 домов ($100 \div 2 = 50$).

Нас интересует дом № 90. Поскольку 90 — это четное число, этот дом находится на правой стороне улицы.

На правой стороне дома расположены в порядке возрастания их четных номеров: 2, 4, 6, 8, и так далее. Чтобы найти порядковый номер (место) дома в этом ряду, нужно его номер разделить на 2.

Например:
Первый дом на правой стороне имеет номер 2, его место: $2 \div 2 = 1$.
Второй дом на правой стороне имеет номер 4, его место: $4 \div 2 = 2$.
Третий дом на правой стороне имеет номер 6, его место: $6 \div 2 = 3$.

Аналогично, чтобы найти местоположение дома № 90, выполним деление его номера на 2:
$90 \div 2 = 45$

Следовательно, дом № 90 является 45-м по счету на правой стороне улицы.

Ответ: Дом № 90 расположен на 45-м месте.

57. В доме, в котором живет Алия, один подъезд. На каждом этаже по 10 квартир. Алия живет в квартире № 88. На каком этаже живет Алия?

Для того чтобы найти этаж, на котором находится квартира, нужно номер квартиры разделить на количество квартир на одном этаже и, если результат не является целым числом, округлить его в большую сторону.

В задаче дано:

- Номер квартиры Алии: 88
- Количество квартир на этаже: 10

Выполним деление номера квартиры на количество квартир на этаже:

$88 / 10 = 8.8$

Так как результат 8.8 не является целым числом, это означает, что квартира Алии находится выше 8-го этажа. 8 полных этажей содержат квартиры с 1-й по 80-ю ($8 \times 10 = 80$). Квартира № 88 находится на следующем, 9-м этаже. Математически это соответствует округлению результата деления до ближайшего большего целого числа.

Этаж = $\lceil 8.8 \rceil = 9$

Квартиры на 9-м этаже имеют номера с 81 по 90, и номер 88 входит в этот диапазон.

Ответ: Алия живет на 9 этаже.

58. Станок разрезает 300 шестиметровых досок на куски по 2 м в каждом за 1 ч. Сколько времени потребуется, чтобы на этом же станке разрезать 400 восьмиметровых досок такой же ширины и толщины на куски по 2 м в каждом?

Для решения задачи необходимо определить, сколько всего разрезов делает станок в каждом случае, так как время работы зависит от общего количества разрезов, а не от количества досок.

1. Сначала рассчитаем, сколько разрезов было сделано в первом случае.Чтобы разрезать одну 6-метровую доску на куски по 2 метра, получается $6 \div 2 = 3$ куска. Для того чтобы получить 3 куска, необходимо сделать $3 - 1 = 2$ разреза.Поскольку было 300 досок, общее количество разрезов составляет:

$300 \text{ досок} \times 2 \text{ разреза} = 600 \text{ разрезов}$

Станок сделал 600 разрезов за 1 час. Это его производительность.

2. Теперь рассчитаем, сколько разрезов требуется сделать во втором случае.Чтобы разрезать одну 8-метровую доску на куски по 2 метра, получается $8 \div 2 = 4$ куска. Для этого необходимо сделать $4 - 1 = 3$ разреза.Поскольку нужно разрезать 400 досок, общее количество разрезов составляет:

$400 \text{ досок} \times 3 \text{ разреза} = 1200 \text{ разрезов}$

3. Наконец, определим время, которое потребуется на выполнение 1200 разрезов.Мы знаем, что производительность станка — 600 разрезов в час. Чтобы найти необходимое время, разделим общее количество разрезов на производительность:

$\frac{1200 \text{ разрезов}}{600 \text{ разрезов/час}} = 2 \text{ часа}$

Ответ: 2 часа.

59. Периметр прямоугольника равен 36 см. Длины его сторон выражены целыми числами. Сколько можно построить прямоугольников согласно условию задачи?

Пусть a и b — длины сторон прямоугольника. По условию задачи, a и b являются целыми числами.

Формула периметра прямоугольника: $P = 2 \cdot (a + b)$.

Из условия известно, что периметр $P = 36$ см. Подставим это значение в формулу:
$36 = 2 \cdot (a + b)$

Чтобы найти сумму длин двух смежных сторон, разделим обе части уравнения на 2:
$a + b = \frac{36}{2}$
$a + b = 18$

Теперь нам необходимо найти все возможные пары целых положительных чисел a и b, сумма которых равна 18. Так как прямоугольник со сторонами (a, b) и (b, a) является одним и тем же, будем перечислять пары, в которых $a \le b$, чтобы избежать повторений.

Возможные пары длин сторон (в см):
1 и 17 (так как $1 + 17 = 18$)
2 и 16 (так как $2 + 16 = 18$)
3 и 15 (так как $3 + 15 = 18$)
4 и 14 (так как $4 + 14 = 18$)
5 и 13 (так как $5 + 13 = 18$)
6 и 12 (так как $6 + 12 = 18$)
7 и 11 (так как $7 + 11 = 18$)
8 и 10 (так как $8 + 10 = 18$)
9 и 9 (так как $9 + 9 = 18$; этот случай представляет собой квадрат, который является частным случаем прямоугольника)

Если мы возьмем $a = 10$, то $b = 8$, что является той же парой, что и (8, 10). Следовательно, мы перечислили все уникальные комбинации.

Всего получилось 9 различных пар сторон. Каждая пара соответствует одному уникальному прямоугольнику.
Ответ: 9.

60. В семье 9 детей, значение суммы их возрастов 117. Найдите возрасты всех детей, если известно, что они рождались каждые 3 года.

По условию задачи, в семье 9 детей, и они рождались каждые 3 года. Это означает, что их возрасты составляют арифметическую прогрессию с разностью $d=3$ и количеством членов $n=9$. Сумма их возрастов равна 117.

Для арифметической прогрессии с нечетным числом членов (в нашем случае 9) сумма всех членов равна произведению среднего (в данном случае, пятого) члена на их количество. Средний возраст детей можно найти, разделив общую сумму возрастов на количество детей:

$117 \div 9 = 13$ лет.

Таким образом, возраст среднего, то есть пятого по старшинству ребенка, составляет 13 лет. Обозначим возраст самого младшего ребенка как $x$. Тогда возрасты детей можно представить в виде последовательности:

1-й ребенок (младший): $x$ лет

2-й ребенок: $x+3$ лет

3-й ребенок: $x+6$ лет

4-й ребенок: $x+9$ лет

5-й ребенок: $x+12$ лет

... и так далее.

Мы знаем, что возраст пятого ребенка равен 13 лет, поэтому можем составить уравнение:

$x + 12 = 13$

Решив это уравнение, находим возраст самого младшего ребенка:

$x = 13 - 12$

$x = 1$ год

Теперь, зная возраст младшего ребенка, мы можем найти возрасты всех остальных детей, последовательно прибавляя 3 года:

• 1-й ребенок: 1 год
• 2-й ребенок: $1 + 3 = 4$ года
• 3-й ребенок: $4 + 3 = 7$ лет
• 4-й ребенок: $7 + 3 = 10$ лет
• 5-й ребенок: $10 + 3 = 13$ лет
• 6-й ребенок: $13 + 3 = 16$ лет
• 7-й ребенок: $16 + 3 = 19$ лет
• 8-й ребенок: $19 + 3 = 22$ года
• 9-й ребенок: $22 + 3 = 25$ лет

Проверим сумму возрастов: $1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 = 117$. Условие выполняется.

Ответ: возрасты детей: 1 год, 4 года, 7 лет, 10 лет, 13 лет, 16 лет, 19 лет, 22 года и 25 лет.

61. В классе 28 учащихся. Из них — 12 ходят на вокал, 19 — на танцы и 5 человек занимаются в обоих кружках. Сколько учащихся из этого класса не занимаются ни в одном из этих кружков?

Для решения этой задачи определим, сколько всего учеников занимается хотя бы в одном из кружков. Это можно сделать несколькими способами.

Способ 1: Пошаговый подсчет
1. Найдем количество учеников, которые занимаются только вокалом. Для этого из общего числа занимающихся вокалом (12) вычтем тех, кто занимается в обоих кружках (5):
$12 - 5 = 7$ (учеников) – занимаются только вокалом.
2. Аналогично найдем количество учеников, которые занимаются только танцами. Из общего числа занимающихся танцами (19) вычтем тех, кто занимается в обоих кружках (5):
$19 - 5 = 14$ (учеников) – занимаются только танцами.
3. Теперь найдем общее количество учеников, которые посещают хотя бы один кружок. Для этого сложим количество учеников, занимающихся только вокалом, только танцами, и тех, кто занимается в обоих кружках:
$7 + 14 + 5 = 26$ (учеников).
4. В классе всего 28 учеников. Чтобы найти, сколько из них не занимаются ни в одном из кружков, вычтем из общего числа учеников в классе тех, кто занимается хотя бы в одном кружке:
$28 - 26 = 2$ (ученика).

Способ 2: Использование формулы включений-исключений
Общее количество учеников, занимающихся хотя бы в одном из двух кружков, можно найти по формуле:
(Кол-во в кружке 1) + (Кол-во в кружке 2) - (Кол-во в обоих кружках)
Подставим наши данные:
$12 + 19 - 5 = 31 - 5 = 26$ (учеников) – занимаются хотя бы в одном кружке.
Теперь, зная, что всего в классе 28 учеников, найдем тех, кто не посещает ни один кружок:
$28 - 26 = 2$ (ученика).

Для наглядности можно использовать диаграмму Венна:

Ответ: 2 учащихся из этого класса не занимаются ни в одном из этих кружков.