Страница 136, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. Является ли числовая последовательность:

1) 0; 0; 0; 0; ... ;

2) 1; 1; 1; ... геометрической прогрессией?

2. Может ли знаменатель геометрической прогрессии быть числом:

1) положительным дробным;

2) отрицательным;

3) иррациональным;

4) нулем?

3. Какими способами можно установить, является ли числовая последовательность геометрической прогрессией?

1. 1) 0; 0; 0; 0; ...
По определению, числовая последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией, если для всех натуральных $n$ выполняется равенство $b_{n+1} = b_n \cdot q$, где $b_n$ - члены прогрессии, а $q$ - некоторое число (знаменатель прогрессии). В стандартном определении также накладываются ограничения $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0$.
Для последовательности 0; 0; 0; 0; ... имеем $b_1 = 0, b_2 = 0$ и так далее. Попытка найти знаменатель $q$ через отношение $q = \frac{b_2}{b_1}$ приводит к неопределенности $\frac{0}{0}$. Таким образом, найти знаменатель прогрессии делением последующего члена на предыдущий невозможно.
Если же исходить из равенства $b_{n+1} = b_n \cdot q$, то для $n=1$ имеем $0 = 0 \cdot q$. Это равенство верно для любого числа $q$, то есть знаменатель не может быть определен однозначно.
Ввиду этих неопределенностей и исходя из стандартного определения, требующего $b_1 \neq 0$, данная последовательность не является геометрической прогрессией.
Ответ: Нет, последовательность 0; 0; 0; ... не является геометрической прогрессией, так как ее знаменатель не определен.

2) 1; 1; 1; ...
Рассмотрим последовательность 1; 1; 1; ... . Здесь первый член $b_1 = 1$. Найдем отношение последующих членов к предыдущим:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{1} = 1$
$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{1}{1} = 1$
Отношение для всех соседних членов постоянно и равно 1. Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $b_1 = 1$ и знаменателем $q = 1$.
Ответ: Да, последовательность 1; 1; 1; ... является геометрической прогрессией.

2. 1) положительным дробным
Да, может. Например, если первый член $b_1 = 16$, а знаменатель $q = \frac{1}{2}$, то мы получим геометрическую прогрессию: 16, 8, 4, 2, 1, ...
Ответ: Да.

2) отрицательным
Да, может. Например, если первый член $b_1 = 3$, а знаменатель $q = -2$, то мы получим знакочередующуюся геометрическую прогрессию: 3, -6, 12, -24, ...
Ответ: Да.

3) иррациональным
Да, может. Например, если первый член $b_1 = 1$, а знаменатель $q = \sqrt{2}$, то мы получим геометрическую прогрессию: $1, \sqrt{2}, 2, 2\sqrt{2}, 4, ...$
Ответ: Да.

4) нулем
Нет, не может. В определении геометрической прогрессии знаменатель $q$ должен быть отличен от нуля ($q \neq 0$). Если бы $q=0$, то последовательность с $b_1 \neq 0$ имела бы вид $b_1, 0, 0, 0, ...$. Для такой последовательности отношение $\frac{b_3}{b_2} = \frac{0}{0}$ не определено, поэтому она не соответствует свойству постоянства отношения и по стандартному определению не является геометрической прогрессией.
Ответ: Нет.

3. Чтобы установить, является ли числовая последовательность $(b_n)$ геометрической прогрессией, можно использовать следующие способы:
1. Проверка постоянства отношения. Необходимо проверить, что все члены последовательности отличны от нуля и отношение каждого последующего члена к предыдущему является постоянной величиной. То есть, для всех натуральных $n$ должно выполняться равенство $\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$, где $q$ - константа, не равная нулю. Если это условие выполняется для всех известных членов, последовательность является геометрической прогрессией.

2. Использование характеристического свойства. Для геометрической прогрессии с ненулевыми членами квадрат любого ее члена, начиная со второго, равен произведению соседних с ним членов: $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$ для всех $n \ge 2$. Если это свойство выполняется для всех членов последовательности (начиная со второго), то она является геометрической прогрессией.

3. Анализ формулы n-го члена. Если последовательность задана формулой своего n-го члена $b_n = f(n)$, нужно проверить, можно ли эту формулу представить в виде $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ и $q$ - некоторые постоянные числа, причем $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0$. Любая последовательность, задаваемая формулой вида $b_n = c \cdot a^n$ (где $c, a$ - ненулевые константы), является геометрической.
Ответ: Можно проверить постоянство отношения соседних членов, проверить выполнение характеристического свойства $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$, или проанализировать формулу n-го члена на соответствие виду $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

15.1. Какие из следующих конечных последовательностей являются:

а) арифметическими прогрессиями;

б) геометрическими прогрессиями:

1) -14; -4; 6; 16; 26;

2) 2; 20; 200; 2000; 20 000;

3) $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{6}$; $\frac{1}{18}$; $\frac{1}{54}$; $\frac{1}{108}$;

4) $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{6}$; $0$; $-\frac{1}{6}$;

5) $2$; $-\sqrt{2}$; $1$; $-\frac{\sqrt{2}}{2}$; $\frac{1}{2}$;

6) $\frac{14}{17}$; $\frac{9}{17}$; $\frac{4}{17}$; $-\frac{1}{17}$; $-\frac{6}{17}$?

а) арифметическими прогрессиями

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, называемым разностью прогрессии ($d$). Чтобы определить, является ли последовательность арифметической прогрессией, нужно проверить, постоянна ли разность между соседними членами ($d = a_{n+1} - a_n$).

Проверим последовательности:

1) $-14; -4; 6; 16; 26$

Вычислим разности:

$-4 - (-14) = 10$

$6 - (-4) = 10$

$16 - 6 = 10$

$26 - 16 = 10$

Разность постоянна и равна $d=10$. Эта последовательность является арифметической прогрессией.

4) $\frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \frac{1}{6}; 0; -\frac{1}{6}$

Вычислим разности:

$\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{1}{6}$

$\frac{1}{6} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} - \frac{2}{6} = -\frac{1}{6}$

$0 - \frac{1}{6} = -\frac{1}{6}$

$-\frac{1}{6} - 0 = -\frac{1}{6}$

Разность постоянна и равна $d=-\frac{1}{6}$. Эта последовательность является арифметической прогрессией.

6) $\frac{14}{17}; \frac{9}{17}; \frac{4}{17}; -\frac{1}{17}; -\frac{6}{17}$

Вычислим разности:

$\frac{9}{17} - \frac{14}{17} = -\frac{5}{17}$

$\frac{4}{17} - \frac{9}{17} = -\frac{5}{17}$

$-\frac{1}{17} - \frac{4}{17} = -\frac{5}{17}$

$-\frac{6}{17} - (-\frac{1}{17}) = -\frac{6}{17} + \frac{1}{17} = -\frac{5}{17}$

Разность постоянна и равна $d=-\frac{5}{17}$. Эта последовательность является арифметической прогрессией.

Для остальных последовательностей (2, 3, 5) разность между соседними членами не является постоянной, поэтому они не являются арифметическими прогрессиями.

Ответ: 1), 4), 6).

б) геометрическими прогрессиями

Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии ($q$). Чтобы определить, является ли последовательность геометрической прогрессией, нужно проверить, постоянно ли отношение соседних членов ($q = \frac{a_{n+1}}{a_n}$).

Проверим последовательности:

2) $2; 20; 200; 2000; 20 000$

Вычислим отношения:

$\frac{20}{2} = 10$

$\frac{200}{20} = 10$

$\frac{2000}{200} = 10$

$\frac{20000}{2000} = 10$

Отношение постоянно и равно $q=10$. Эта последовательность является геометрической прогрессией.

5) $2; -\sqrt{2}; 1; -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{1}{2}$

Вычислим отношения:

$\frac{-\sqrt{2}}{2}$

$\frac{1}{-\sqrt{2}} = -\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{-\sqrt{2}/2}{1} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{1/2}{-\sqrt{2}/2} = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{2}{\sqrt{2}}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Отношение постоянно и равно $q=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Эта последовательность является геометрической прогрессией.

Для остальных последовательностей (1, 3, 4, 6) отношение соседних членов не является постоянным. Например, в последовательности 3) отношение первых членов равно $\frac{1}{3}$, а отношение последнего к предпоследнему $\frac{1/108}{1/54} = \frac{1}{2}$. Следовательно, они не являются геометрическими прогрессиями.

Ответ: 2), 5).

15.2. Задана геометрическая прогрессия ($b_n$). Найдите:

1) $b_7$, если $b_1 = 18$, $q = -\frac{1}{4}$;

2) $b_5$, если $b_1 = 64$, $q = -\frac{1}{4}$;

3) $b_8$, если $b_1 = 4$, $q = \frac{1}{5}$;

4) $b_9$, если $b_1 = -625$, $q = -\frac{1}{5}$.

Для решения всех пунктов задачи воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — номер искомого члена.

1) Найдем $b_7$, если $b_1 = 18$, $q = -\frac{1}{4}$.
По формуле n-го члена геометрической прогрессии при $n=7$:
$b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = 18 \cdot (-\frac{1}{4})^6$.
Поскольку показатель степени (6) является четным числом, знак минус в основании степени исчезает:
$b_7 = 18 \cdot (\frac{1}{4})^6 = 18 \cdot \frac{1^6}{4^6} = 18 \cdot \frac{1}{4096} = \frac{18}{4096}$.
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2:
$b_7 = \frac{18 \div 2}{4096 \div 2} = \frac{9}{2048}$.
Ответ: $\frac{9}{2048}$.

2) Найдем $b_5$, если $b_1 = 64$, $q = \frac{1}{4}$.
По формуле n-го члена геометрической прогрессии при $n=5$:
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = 64 \cdot (\frac{1}{4})^4$.
Вычислим значение степени:
$(\frac{1}{4})^4 = \frac{1^4}{4^4} = \frac{1}{256}$.
Теперь найдем $b_5$:
$b_5 = 64 \cdot \frac{1}{256} = \frac{64}{256}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 64:
$b_5 = \frac{64 \div 64}{256 \div 64} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

3) Найдем $b_8$, если $b_1 = 4$, $q = \frac{1}{5}$.
По формуле n-го члена геометрической прогрессии при $n=8$:
$b_8 = b_1 \cdot q^{8-1} = 4 \cdot (\frac{1}{5})^7$.
Вычислим значение степени:
$(\frac{1}{5})^7 = \frac{1^7}{5^7} = \frac{1}{78125}$.
Теперь найдем $b_8$:
$b_8 = 4 \cdot \frac{1}{78125} = \frac{4}{78125}$.
Ответ: $\frac{4}{78125}$.

4) Найдем $b_9$, если $b_1 = -625$, $q = -\frac{1}{5}$.
По формуле n-го члена геометрической прогрессии при $n=9$:
$b_9 = b_1 \cdot q^{9-1} = -625 \cdot (-\frac{1}{5})^8$.
Поскольку показатель степени (8) является четным числом, знак минус в основании степени исчезает:
$b_9 = -625 \cdot (\frac{1}{5})^8 = -625 \cdot \frac{1}{5^8}$.
Представим 625 как степень числа 5: $625 = 5^4$.
$b_9 = -5^4 \cdot \frac{1}{5^8} = -\frac{5^4}{5^8}$.
Сократим дробь, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$b_9 = -\frac{1}{5^{8-4}} = -\frac{1}{5^4} = -\frac{1}{625}$.
Ответ: $-\frac{1}{625}$.

15.3. Задана геометрическая прогрессия ($b_n$). Найдите:

1) $b_1$, если $b_3 = 18$, $q = \frac{1}{3}$;

2) $b_1$, если $b_6 = 64$, $q = \frac{1}{4}$;

3) $b_1$, если $b_8 = 16$, $q = -\frac{1}{2}$;

4) $b_1$, если $b_7 = 375$, $q = -\frac{1}{5}$.

Для решения всех пунктов задачи используется формула n-го члена геометрической прогрессии $(b_n)$: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — её знаменатель, а $n$ — номер члена.
Чтобы найти первый член $b_1$, зная n-й член $b_n$ и знаменатель $q$, выразим $b_1$ из этой формулы:
$b_1 = \frac{b_n}{q^{n-1}}$

1) $b_1$, если $b_3 = 18, q = \frac{1}{3}$;
В данном случае $n=3$, $b_3 = 18$ и $q = \frac{1}{3}$. Подставим эти значения в формулу:
$b_1 = \frac{b_3}{q^{3-1}} = \frac{18}{\left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{18}{\frac{1}{9}}$
$b_1 = 18 \cdot 9 = 162$
Ответ: $162$.

2) $b_1$, если $b_6 = 64, q = \frac{1}{4}$;
Здесь $n=6$, $b_6 = 64$ и $q = \frac{1}{4}$. Подставляем в формулу:
$b_1 = \frac{b_6}{q^{6-1}} = \frac{64}{\left(\frac{1}{4}\right)^5} = \frac{64}{\frac{1}{4^5}}$
$b_1 = 64 \cdot 4^5$
Поскольку $64 = 4^3$, получаем:
$b_1 = 4^3 \cdot 4^5 = 4^{3+5} = 4^8 = 65536$
Ответ: $65536$.

3) $b_1$, если $b_8 = 16, q = -\frac{1}{2}$;
Здесь $n=8$, $b_8 = 16$ и $q = -\frac{1}{2}$. Подставляем в формулу:
$b_1 = \frac{b_8}{q^{8-1}} = \frac{16}{\left(-\frac{1}{2}\right)^7}$
Так как показатель степени (7) нечетный, то $\left(-\frac{1}{2}\right)^7 = -\frac{1}{2^7} = -\frac{1}{128}$.
$b_1 = \frac{16}{-\frac{1}{128}} = 16 \cdot (-128) = -2048$
Ответ: $-2048$.

4) $b_1$, если $b_7 = 375, q = -\frac{1}{5}$.
Здесь $n=7$, $b_7 = 375$ и $q = -\frac{1}{5}$. Подставляем в формулу:
$b_1 = \frac{b_7}{q^{7-1}} = \frac{375}{\left(-\frac{1}{5}\right)^6}$
Так как показатель степени (6) четный, то $\left(-\frac{1}{5}\right)^6 = \frac{1}{5^6}$.
$b_1 = \frac{375}{\frac{1}{5^6}} = 375 \cdot 5^6$
Разложим $375$ на множители: $375 = 3 \cdot 125 = 3 \cdot 5^3$.
$b_1 = (3 \cdot 5^3) \cdot 5^6 = 3 \cdot 5^{3+6} = 3 \cdot 5^9 = 3 \cdot 1953125 = 5859375$
Ответ: $5859375$.

15.4. Задана геометрическая прогрессия $(b_n)$. Найдите:

1) $q$, если $b_1 = 18, b_2 = 54$;

2) $q$, если $b_2 = 33, b_3 = 44$;

3) $q$, если $b_2 = -13, b_3 = 169$;

4) $q$, если $b_5 = 0,4, b_6 = -0,08$.

Для нахождения знаменателя геометрической прогрессии $q$ используется формула, связывающая два соседних члена прогрессии $b_n$ и $b_{n+1}$:

$b_{n+1} = b_n \cdot q$

Отсюда знаменатель $q$ можно выразить как отношение последующего члена к предыдущему:

$q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$

1) Дано: $b_1 = 18$, $b_2 = 54$.
Находим знаменатель $q$, используя формулу $q = \frac{b_2}{b_1}$:
$q = \frac{54}{18} = 3$
Ответ: $3$.

2) Дано: $b_2 = 33$, $b_3 = 44$.
Находим знаменатель $q$, используя формулу $q = \frac{b_3}{b_2}$:
$q = \frac{44}{33} = \frac{4 \cdot 11}{3 \cdot 11} = \frac{4}{3}$
Ответ: $\frac{4}{3}$.

3) Дано: $b_2 = -13$, $b_3 = 169$.
Находим знаменатель $q$, используя формулу $q = \frac{b_3}{b_2}$:
$q = \frac{169}{-13} = -13$
Ответ: $-13$.

4) Дано: $b_5 = 0,4$, $b_6 = -0,08$.
Находим знаменатель $q$, используя формулу $q = \frac{b_6}{b_5}$:
$q = \frac{-0,08}{0,4} = -\frac{0,8}{4} = -0,2$
Ответ: $-0,2$.