Страница 138, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

15.15.1)

Второй член геометрической прогрессии составляет $20\%$ от ее первого члена. Сколько процентов составляет пятый ее член от третьего члена?

2)

Второй член геометрической прогрессии составляет $110\%$ от ее первого члена. Сколько процентов составляет ее шестой член от четвертого члена?

3)

Банк дает своим вкладчикам $8\%$ годовых. Чему будет равен вклад в $100\ 000$ тг через $2$ года?

4)

Снижение себестоимости производства товара равно $5\%$ в год. Первоначальная себестоимость товара равна $10\ 000$ тг. Чему станет равной ее себестоимость через $2$ года?

1) Обозначим члены геометрической прогрессии как $b_n$, где $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию, второй член составляет 20% от первого, то есть $b_2 = 0.2 \cdot b_1$.

Используя формулу для второго члена, получаем: $b_2 = b_1 \cdot q^{2-1} = b_1 \cdot q$.

Приравнивая два выражения для $b_2$, имеем: $b_1 \cdot q = 0.2 \cdot b_1$. Отсюда находим знаменатель прогрессии $q = 0.2$.

Теперь нам нужно найти, сколько процентов составляет пятый член ($b_5$) от третьего ($b_3$). Для этого найдем их отношение $\frac{b_5}{b_3}$.

Выразим $b_5$ и $b_3$ через $b_1$ и $q$:

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$

$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$

Найдем их отношение:

$\frac{b_5}{b_3} = \frac{b_1 \cdot q^4}{b_1 \cdot q^2} = q^2$

Подставим найденное значение $q=0.2$:

$\frac{b_5}{b_3} = (0.2)^2 = 0.04$

Чтобы выразить это отношение в процентах, умножим результат на 100%:

$0.04 \cdot 100\% = 4\%$

Ответ: Пятый член составляет 4% от третьего члена.

2) Аналогично первому пункту, обозначим члены геометрической прогрессии как $b_n$, $b_1$ — первый член, $q$ — знаменатель. По условию, второй член составляет 110% от первого, то есть $b_2 = 1.1 \cdot b_1$.

Из формулы $b_2 = b_1 \cdot q$ получаем, что $q = 1.1$.

Требуется найти, сколько процентов составляет шестой член ($b_6$) от четвертого ($b_4$). Найдем их отношение $\frac{b_6}{b_4}$.

Выразим $b_6$ и $b_4$ через $b_1$ и $q$:

$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5$

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$

Найдем их отношение:

$\frac{b_6}{b_4} = \frac{b_1 \cdot q^5}{b_1 \cdot q^3} = q^2$

Подставим найденное значение $q=1.1$:

$\frac{b_6}{b_4} = (1.1)^2 = 1.21$

Выразим в процентах:

$1.21 \cdot 100\% = 121\%$

Ответ: Шестой член составляет 121% от четвертого члена.

3) Эта задача на вычисление сложных процентов. Формула для расчета итоговой суммы вклада $S$ через $n$ лет: $S = S_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})^n$, где $S_0$ — начальная сумма вклада, $p$ — годовая процентная ставка, $n$ — количество лет.

В нашем случае:

$S_0 = 100\;000$ тг

$p = 8\%$

$n = 2$ года

Подставим значения в формулу:

$S = 100\;000 \cdot (1 + \frac{8}{100})^2 = 100\;000 \cdot (1 + 0.08)^2 = 100\;000 \cdot (1.08)^2$

Вычислим $(1.08)^2$:

$(1.08)^2 = 1.1664$

Теперь найдем итоговую сумму:

$S = 100\;000 \cdot 1.1664 = 116\;640$ тг

Ответ: Через 2 года вклад будет равен 116 640 тг.

4) Эта задача на ежегодное процентное снижение величины. Формула для расчета итоговой стоимости $C$ через $n$ лет: $C = C_0 \cdot (1 - \frac{p}{100})^n$, где $C_0$ — начальная стоимость, $p$ — процент снижения в год, $n$ — количество лет.

В нашем случае:

$C_0 = 10\;000$ тг

$p = 5\%$

$n = 2$ года

Подставим значения в формулу:

$C = 10\;000 \cdot (1 - \frac{5}{100})^2 = 10\;000 \cdot (1 - 0.05)^2 = 10\;000 \cdot (0.95)^2$

Вычислим $(0.95)^2$:

$(0.95)^2 = 0.9025$

Теперь найдем итоговую себестоимость:

$C = 10\;000 \cdot 0.9025 = 9\;025$ тг

Ответ: Через 2 года себестоимость станет равной 9 025 тг.

15.16. Встретится ли среди членов геометрической прогрессии $2, 6, 18, \dots$ число:

1) 54;

2) 72;

3) 486;

4) 576?

При положительном ответе найдите номер члена прогрессии.

Дана геометрическая прогрессия $b_n$ с членами 2, 6, 18, ... . Сначала определим ее параметры. Первый член $b_1 = 2$. Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению последующего члена к предыдущему: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{6}{2} = 3$. Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Для данной прогрессии формула имеет вид: $b_n = 2 \cdot 3^{n-1}$. Чтобы проверить, является ли число членом прогрессии, нужно подставить его в формулу вместо $b_n$ и найти, будет ли номер члена $n$ натуральным числом.

1) 54; Проверим, является ли число 54 членом прогрессии. Пусть $b_n = 54$. Тогда, согласно формуле, $54 = 2 \cdot 3^{n-1}$. Разделив обе части на 2, получим $27 = 3^{n-1}$. Так как $27 = 3^3$, то можем записать $3^{n-1} = 3^3$. Отсюда следует, что показатели степени равны: $n-1 = 3$, и $n = 4$. Поскольку $n=4$ — натуральное число, число 54 является членом прогрессии.
Ответ: Да, встретится. Номер члена прогрессии: 4.

2) 72; Проверим число 72. Пусть $b_n = 72$. Тогда $72 = 2 \cdot 3^{n-1}$. Разделим обе части на 2: $36 = 3^{n-1}$. Число 36 не является целой степенью числа 3, так как $3^3 = 27$, а $3^4 = 81$. Следовательно, не существует натурального числа $n$, удовлетворяющего этому уравнению.
Ответ: Нет, не встретится.

3) 486; Проверим число 486. Пусть $b_n = 486$. Тогда $486 = 2 \cdot 3^{n-1}$. Разделим обе части на 2: $243 = 3^{n-1}$. Так как $243$ это $3^5$, то получаем $3^{n-1} = 3^5$. Отсюда $n-1 = 5$ и $n = 6$. Поскольку $n=6$ — натуральное число, число 486 является членом прогрессии.
Ответ: Да, встретится. Номер члена прогрессии: 6.

4) 576? Проверим число 576. Пусть $b_n = 576$. Тогда $576 = 2 \cdot 3^{n-1}$. Разделим обе части на 2: $288 = 3^{n-1}$. Число 288 не является целой степенью числа 3, так как $3^5 = 243$, а $3^6 = 729$. Следовательно, не существует натурального числа $n$, удовлетворяющего этому уравнению.
Ответ: Нет, не встретится.

15.17. С какого номера члены геометрической прогрессии:

1) 32, 16, 8, ... меньше 0,01;

2) $\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{4}{3}, \ldots$ больше 50?

1) Дана геометрическая прогрессия $32, 16, 8, \dots$

Для нахождения номера члена прогрессии, с которого все последующие члены будут удовлетворять заданному условию, нам нужно определить параметры этой прогрессии и составить неравенство.

Первый член прогрессии $b_1 = 32$.

Знаменатель прогрессии $q$ найдем, разделив второй член на первый: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставив наши значения, получим: $b_n = 32 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$.

По условию задачи, нам нужно найти номер $n$, с которого члены прогрессии будут меньше $0,01$. Составим и решим неравенство:

$b_n < 0,01$

$32 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} < \frac{1}{100}$

Разделим обе части неравенства на 32:

$(\frac{1}{2})^{n-1} < \frac{1}{100 \cdot 32}$

$(\frac{1}{2})^{n-1} < \frac{1}{3200}$

Так как основание степени $(\frac{1}{2})$ меньше 1, при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный. Удобнее представить неравенство в виде $2^{-(n-1)} < \frac{1}{3200}$, откуда следует $2^{n-1} > 3200$.

Теперь нам нужно найти наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому неравенству. Найдем ближайшие к 3200 степени двойки:

$2^{10} = 1024$

$2^{11} = 2048$

$2^{12} = 4096$

Мы видим, что $2048 < 3200$, а $4096 > 3200$. Значит, наименьшее значение показателя степени $n-1$, при котором выполняется неравенство, равно 12.

$n - 1 = 12$

$n = 13$

Таким образом, начиная с 13-го члена, члены прогрессии будут меньше 0,01.

Ответ: с 13-го номера.

2) Дана геометрическая прогрессия $\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{4}{3}, \dots$

Определим параметры этой прогрессии.

Первый член прогрессии $b_1 = \frac{1}{3}$.

Знаменатель прогрессии $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2/3}{1/3} = 2$.

Формула n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = \frac{1}{3} \cdot 2^{n-1}$.

По условию, нам нужно найти номер $n$, с которого члены прогрессии будут больше $50$. Составим и решим неравенство:

$b_n > 50$

$\frac{1}{3} \cdot 2^{n-1} > 50$

Умножим обе части неравенства на 3:

$2^{n-1} > 150$

Теперь нам нужно найти наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому неравенству. Найдем ближайшие к 150 степени двойки:

$2^7 = 128$

$2^8 = 256$

Мы видим, что $128 < 150$, а $256 > 150$. Значит, наименьшее значение показателя степени $n-1$, при котором выполняется неравенство, равно 8.

$n - 1 = 8$

$n = 9$

Таким образом, начиная с 9-го члена, члены прогрессии будут больше 50.

Ответ: с 9-го номера.

15.18.1) Между числами 15 и 405 вставьте два числа так, чтобы вместе с данными числами они составили геометрическую прогрессию.

2) Между числами 36 и 2,25 вставьте три числа так, чтобы вместе с данными числами они составили геометрическую прогрессию.

1) Пусть искомые числа вместе с данными образуют геометрическую прогрессию $(b_n)$, состоящую из четырех членов. Тогда первый член $b_1 = 15$, а четвертый член $b_4 = 405$. Нам необходимо найти второй ($b_2$) и третий ($b_3$) члены этой прогрессии.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии. Для четвертого члена прогрессии формула будет выглядеть так: $b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$.

Подставим известные значения в формулу: $405 = 15 \cdot q^3$.

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти знаменатель $q$:

$q^3 = \frac{405}{15} = 27$

$q = \sqrt[3]{27} = 3$

Зная знаменатель прогрессии, мы можем вычислить недостающие члены:

$b_2 = b_1 \cdot q = 15 \cdot 3 = 45$

$b_3 = b_2 \cdot q = 45 \cdot 3 = 135$

Таким образом, полученная геометрическая прогрессия: 15, 45, 135, 405.

Ответ: 45 и 135.

2) Пусть искомые числа вместе с данными образуют геометрическую прогрессию $(b_n)$, состоящую из пяти членов. В этом случае первый член $b_1 = 36$, а пятый член $b_5 = 2.25$. Нам нужно найти второй ($b_2$), третий ($b_3$) и четвертый ($b_4$) члены.

Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Для пятого члена она примет вид: $b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$.

Подставим известные значения: $2.25 = 36 \cdot q^4$.

Найдем знаменатель $q$ из этого уравнения. Для удобства вычислений представим десятичную дробь $2.25$ в виде обыкновенной дроби: $2.25 = 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$.

$q^4 = \frac{2.25}{36} = \frac{9/4}{36} = \frac{9}{4 \cdot 36} = \frac{1}{16}$

Уравнение $q^4 = \frac{1}{16}$ имеет два действительных корня, так как степень четная: $q = \sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \frac{1}{2}$ и $q = -\sqrt[4]{\frac{1}{16}} = -\frac{1}{2}$. Следовательно, существуют два возможных набора чисел.

Случай 1: знаменатель $q = \frac{1}{2}$

Вычислим искомые члены прогрессии:

$b_2 = b_1 \cdot q = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18$

$b_3 = b_2 \cdot q = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$

$b_4 = b_3 \cdot q = 9 \cdot \frac{1}{2} = 4.5$

В этом случае искомые числа: 18, 9, 4.5.

Случай 2: знаменатель $q = -\frac{1}{2}$

Вычислим искомые члены прогрессии:

$b_2 = b_1 \cdot q = 36 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -18$

$b_3 = b_2 \cdot q = (-18) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 9$

$b_4 = b_3 \cdot q = 9 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -4.5$

В этом случае искомые числа: -18, 9, -4.5.

Ответ: 18, 9, 4.5 или -18, 9, -4.5.

15.19. Найдите значения $x$, при которых будут тремя последовательными членами геометрической прогрессии выражения, взятые в указанном порядке:

1) $x, \sqrt{x}, x - 5;$

2) $x, \sqrt{x - 8}, \frac{x}{36}.$

1) Для того чтобы три выражения $b_1 = x$, $b_2 = \sqrt{x}$ и $b_3 = x-5$ были тремя последовательными членами геометрической прогрессии, должно выполняться свойство: квадрат среднего члена равен произведению двух крайних членов. То есть, $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

Запишем это свойство в виде уравнения:

$(\sqrt{x})^2 = x(x-5)$

Прежде чем решать уравнение, определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражение $\sqrt{x}$ имеет смысл только при $x \ge 0$.

Теперь решим уравнение:

$x = x^2 - 5x$

$x^2 - 6x = 0$

$x(x-6) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.

Проверим оба корня.

1. При $x=0$ получаем последовательность: $0$, $\sqrt{0}$, $0-5$, то есть $0, 0, -5$. Данная последовательность не является геометрической прогрессией. В геометрической прогрессии, если какой-либо член равен нулю, то либо все члены равны нулю (если $b_1=0$), либо все члены, начиная со второго, равны нулю (если $b_1 \neq 0, q=0$). Последовательность $0, 0, -5$ не удовлетворяет этим условиям.

2. При $x=6$ получаем последовательность: $6$, $\sqrt{6}$, $6-5$, то есть $6, \sqrt{6}, 1$. Проверим, является ли она геометрической прогрессией. Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\sqrt{6}}{6}$

Проверим, выполняется ли $b_3 = b_2 \cdot q$:

$\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{6}}{6} = \frac{6}{6} = 1$. Это совпадает с $b_3$. Следовательно, при $x=6$ выражения образуют геометрическую прогрессию.

Таким образом, единственным подходящим значением является $x=6$.

Ответ: $6$.

2) Для выражений $b_1 = x$, $b_2 = \sqrt{x-8}$ и $b_3 = \frac{x}{36}$ используем то же свойство геометрической прогрессии: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

Составим уравнение:

$(\sqrt{x-8})^2 = x \cdot \frac{x}{36}$

ОДЗ для этого уравнения определяется существованием квадратного корня: $x-8 \ge 0$, откуда $x \ge 8$.

Решим уравнение:

$x-8 = \frac{x^2}{36}$

Умножим обе части уравнения на 36, чтобы избавиться от знаменателя:

$36(x-8) = x^2$

$36x - 288 = x^2$

$x^2 - 36x + 288 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. $a=1, b=-36, c=288$.

$D = b^2 - 4ac = (-36)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 288 = 1296 - 1152 = 144$

$\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 - 12}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 + 12}{2} = \frac{48}{2} = 24$

Оба корня, $x=12$ и $x=24$, удовлетворяют условию ОДЗ ($x \ge 8$).

Проверим оба значения.

1. При $x=12$ получаем последовательность: $12$, $\sqrt{12-8}$, $\frac{12}{36}$, то есть $12, \sqrt{4}, \frac{1}{3}$, что равно $12, 2, \frac{1}{3}$. Знаменатель $q = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$. Третий член: $2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Верно.

2. При $x=24$ получаем последовательность: $24$, $\sqrt{24-8}$, $\frac{24}{36}$, то есть $24, \sqrt{16}, \frac{2}{3}$, что равно $24, 4, \frac{2}{3}$. Знаменатель $q = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$. Третий член: $4 \cdot \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Верно.

Оба значения $x$ являются решениями задачи.

Ответ: $12; 24$.

15.20.1) Геометрическая прогрессия состоит из пяти членов:

6; $x_2$; $x_3$; $x_4$; $\frac{2}{27}$. Найдите $x_2$; $x_3$; $x_4$.

2) Геометрическая прогрессия состоит из пяти членов:

6; $x_2$; $x_3$; $x_4$; $\frac{3}{8}$. Найдите $x_2$; $x_3$; $x_4$.

1)

Дана геометрическая прогрессия, которую можно обозначить как последовательность $b_1, b_2, b_3, b_4, b_5$.

Из условия задачи известны первый и пятый члены прогрессии:

$b_1 = 6$

$b_5 = \frac{2}{27}$

Необходимо найти промежуточные члены: $x_2 = b_2, x_3 = b_3, x_4 = b_4$.

Общая формула для n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ - знаменатель прогрессии.

Применим эту формулу для пятого члена, чтобы найти знаменатель $q$:

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$

Подставим известные значения в формулу:

$\frac{2}{27} = 6 \cdot q^4$

Теперь выразим $q^4$:

$q^4 = \frac{2}{27 \cdot 6} = \frac{2}{162} = \frac{1}{81}$

Уравнение $q^4 = \frac{1}{81}$ имеет два действительных корня, так как $81 = 3^4$. Знаменатель $q$ может быть как положительным, так и отрицательным:

$q_1 = \sqrt[4]{\frac{1}{81}} = \frac{1}{3}$

$q_2 = -\sqrt[4]{\frac{1}{81}} = -\frac{1}{3}$

Рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1: Знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{3}$.

Находим неизвестные члены:

$x_2 = b_2 = b_1 \cdot q = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2$

$x_3 = b_3 = b_2 \cdot q = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

$x_4 = b_4 = b_3 \cdot q = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$

Случай 2: Знаменатель прогрессии $q = -\frac{1}{3}$.

Находим неизвестные члены:

$x_2 = b_2 = b_1 \cdot q = 6 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -2$

$x_3 = b_3 = b_2 \cdot q = (-2) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3}$

$x_4 = b_4 = b_3 \cdot q = \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{2}{9}$

Таким образом, существуют два возможных набора членов прогрессии.

Ответ: $x_2=2; x_3=\frac{2}{3}; x_4=\frac{2}{9}$ или $x_2=-2; x_3=\frac{2}{3}; x_4=-\frac{2}{9}$.

2)

Аналогично первому заданию, имеем геометрическую прогрессию из пяти членов $b_1, b_2, b_3, b_4, b_5$.

Известные члены:

$b_1 = 6$

$b_5 = \frac{3}{8}$

Необходимо найти: $x_2 = b_2, x_3 = b_3, x_4 = b_4$.

Используем формулу n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ для $n=5$:

$b_5 = b_1 \cdot q^4$

Подставим известные значения:

$\frac{3}{8} = 6 \cdot q^4$

Выразим $q^4$:

$q^4 = \frac{3}{8 \cdot 6} = \frac{3}{48} = \frac{1}{16}$

Уравнение $q^4 = \frac{1}{16}$ имеет два действительных корня, так как $16 = 2^4$:

$q_1 = \sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \frac{1}{2}$

$q_2 = -\sqrt[4]{\frac{1}{16}} = -\frac{1}{2}$

Рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1: Знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{2}$.

Находим неизвестные члены:

$x_2 = b_2 = b_1 \cdot q = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$

$x_3 = b_3 = b_2 \cdot q = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

$x_4 = b_4 = b_3 \cdot q = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$

Случай 2: Знаменатель прогрессии $q = -\frac{1}{2}$.

Находим неизвестные члены:

$x_2 = b_2 = b_1 \cdot q = 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -3$

$x_3 = b_3 = b_2 \cdot q = (-3) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2}$

$x_4 = b_4 = b_3 \cdot q = \frac{3}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{4}$

Таким образом, существуют два возможных набора членов прогрессии.

Ответ: $x_2=3; x_3=\frac{3}{2}; x_4=\frac{3}{4}$ или $x_2=-3; x_3=\frac{3}{2}; x_4=-\frac{3}{4}$.