Страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

71. Решите уравнение:

$(3x-1)(\sqrt{x}+3x-1)=2x.$

Исходное уравнение: $(3x-1)(\sqrt{x} + 3x - 1) = 2x$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Так как в уравнении присутствует квадратный корень из $x$, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$x \ge 0$.

Для решения уравнения введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{x}$. Так как арифметический квадратный корень всегда неотрицателен, то $y \ge 0$. Из замены следует, что $x = y^2$.

Подставим $y$ в исходное уравнение:

$(3y^2 - 1)(y + 3y^2 - 1) = 2y^2$.

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$3y^2 \cdot y + 3y^2 \cdot (3y^2 - 1) - 1 \cdot y - 1 \cdot (3y^2 - 1) = 2y^2$

$3y^3 + 9y^4 - 3y^2 - y - 3y^2 + 1 = 2y^2$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные члены:

$9y^4 + 3y^3 - 6y^2 - y + 1 - 2y^2 = 0$

$9y^4 + 3y^3 - 8y^2 - y + 1 = 0$.

Мы получили полиномиальное уравнение четвертой степени. Попробуем найти его рациональные корни с помощью теоремы о рациональных корнях. Возможные рациональные корни имеют вид $p/q$, где $p$ — делитель свободного члена (1), а $q$ — делитель старшего коэффициента (9). Таким образом, кандидатами в корни являются: $\pm 1, \pm 1/3, \pm 1/9$.

Проверим корень $y = 1/3$:

$9\left(\frac{1}{3}\right)^4 + 3\left(\frac{1}{3}\right)^3 - 8\left(\frac{1}{3}\right)^2 - \frac{1}{3} + 1 = 9\left(\frac{1}{81}\right) + 3\left(\frac{1}{27}\right) - 8\left(\frac{1}{9}\right) - \frac{1}{3} + 1 = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{8}{9} - \frac{3}{9} + \frac{9}{9} = \frac{1+1-8-3+9}{9} = \frac{0}{9} = 0$.

Значит, $y = 1/3$ является корнем уравнения. Этот корень удовлетворяет условию $y \ge 0$.

Поскольку $y = 1/3$ — корень, многочлен делится на $(y - 1/3)$, или, что удобнее, на $(3y-1)$. Выполним деление многочлена $9y^4 + 3y^3 - 8y^2 - y + 1$ на $(3y-1)$ столбиком:

$(9y^4 + 3y^3 - 8y^2 - y + 1) \div (3y-1) = 3y^3 + 2y^2 - 2y - 1$.

Теперь уравнение можно записать в виде произведения:

$(3y-1)(3y^3 + 2y^2 - 2y - 1) = 0$.

Один корень мы уже нашли: $3y-1=0 \implies y_1 = 1/3$.

Теперь решим кубическое уравнение $3y^3 + 2y^2 - 2y - 1 = 0$.

Снова проверим возможные рациональные корни $(\pm 1, \pm 1/3)$. Проверим $y = -1$:

$3(-1)^3 + 2(-1)^2 - 2(-1) - 1 = -3 + 2 + 2 - 1 = 0$.

Значит, $y = -1$ является корнем. Однако этот корень не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому он является посторонним для нашей задачи.

Разделим кубический многочлен $3y^3 + 2y^2 - 2y - 1$ на $(y+1)$:

$(3y^3 + 2y^2 - 2y - 1) \div (y+1) = 3y^2 - y - 1$.

Осталось решить квадратное уравнение $3y^2 - y - 1 = 0$.

Найдем его корни по формуле:

$y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$.

Получаем два значения для $y$:

$y_2 = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$. Этот корень положителен, так как $1+\sqrt{13} > 0$, и удовлетворяет условию $y \ge 0$.

$y_3 = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$. Этот корень отрицателен, так как $\sqrt{13} > \sqrt{1}=1$, и не удовлетворяет условию $y \ge 0$, значит, это посторонний корень.

Итак, мы получили два подходящих корня для $y$: $y_1 = 1/3$ и $y_2 = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$.

Теперь выполним обратную замену $x = y^2$, чтобы найти корни исходного уравнения.

1. Для $y_1 = 1/3$:

$x_1 = (1/3)^2 = 1/9$.

2. Для $y_2 = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$:

$x_2 = \left(\frac{1 + \sqrt{13}}{6}\right)^2 = \frac{1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{13} + (\sqrt{13})^2}{36} = \frac{1 + 2\sqrt{13} + 13}{36} = \frac{14 + 2\sqrt{13}}{36} = \frac{7 + \sqrt{13}}{18}$.

Оба найденных значения $x$ положительны, следовательно, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = \frac{1}{9}, x_2 = \frac{7 + \sqrt{13}}{18}$.

72. Решите уравнение: $x^3 - 2x - 4\sqrt{6} = 0$.

Данное уравнение является кубическим: $x^3 - 2x - 4\sqrt{6} = 0$.

Для решения кубических уравнений общего вида можно использовать формулу Кардано, но она достаточно громоздка. Попробуем найти один из корней подбором. Наличие в уравнении иррационального члена $-4\sqrt{6}$ подсказывает, что корень может иметь вид $k\sqrt{6}$ для некоторого рационального числа $k$.

Подставим $x = k\sqrt{6}$ в исходное уравнение:

$(k\sqrt{6})^3 - 2(k\sqrt{6}) - 4\sqrt{6} = 0$

Раскроем скобки и упростим:

$k^3 \cdot (\sqrt{6})^3 - 2k\sqrt{6} - 4\sqrt{6} = 0$

$k^3 \cdot 6\sqrt{6} - 2k\sqrt{6} - 4\sqrt{6} = 0$

Вынесем $\sqrt{6}$ за скобки:

$\sqrt{6}(6k^3 - 2k - 4) = 0$

Поскольку $\sqrt{6} \neq 0$, то должно выполняться равенство:

$6k^3 - 2k - 4 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$3k^3 - k - 2 = 0$

Найдем рациональные корни этого уравнения. Согласно теореме о рациональных корнях, возможные корни — это делители свободного члена (-2), деленные на делители старшего коэффициента (3). Возможные корни: $\pm1, \pm2, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{2}{3}$.

Проверим $k=1$:

$3(1)^3 - 1 - 2 = 3 - 1 - 2 = 0$

Равенство верно, значит $k=1$ является корнем. Таким образом, мы нашли один корень исходного уравнения: $x_1 = 1 \cdot \sqrt{6} = \sqrt{6}$.

Теперь, зная один корень, мы можем разложить многочлен $x^3 - 2x - 4\sqrt{6}$ на множители, одним из которых будет $(x - \sqrt{6})$. Для этого выполним деление многочлена на $(x - \sqrt{6})$:

$(x^3 - 2x - 4\sqrt{6}) \div (x - \sqrt{6}) = x^2 + \sqrt{6}x + 4$

Таким образом, исходное уравнение можно представить в виде:

$(x - \sqrt{6})(x^2 + \sqrt{6}x + 4) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $x - \sqrt{6} = 0 \implies x_1 = \sqrt{6}$.

2) $x^2 + \sqrt{6}x + 4 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (\sqrt{6})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 6 - 16 = -10$

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Корни будут комплексными. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-\sqrt{6} \pm \sqrt{-10}}{2 \cdot 1} = \frac{-\sqrt{6} \pm i\sqrt{10}}{2}$

Отсюда получаем два комплексных корня:

$x_2 = \frac{-\sqrt{6} + i\sqrt{10}}{2} = -\frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{10}}{2}$

$x_3 = \frac{-\sqrt{6} - i\sqrt{10}}{2} = -\frac{\sqrt{6}}{2} - i\frac{\sqrt{10}}{2}$

Уравнение имеет один действительный и два комплексно-сопряженных корня.

Ответ: $x_1 = \sqrt{6}$, $x_2 = -\frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{10}}{2}$, $x_3 = -\frac{\sqrt{6}}{2} - i\frac{\sqrt{10}}{2}$.

73. При каких значениях параметра $a$ корни уравнения $x^3 - 12x^2 + ax - 28 = 0$ образуют арифметическую прогрессию? Найдите эти корни.

Пусть $x_1, x_2, x_3$ — корни данного кубического уравнения $x^3 - 12x^2 + ax - 28 = 0$. По условию, они образуют арифметическую прогрессию. Обозначим их как $b-d, b, b+d$, где $b$ — средний член прогрессии, а $d$ — её разность.

Применим теорему Виета для нашего уравнения:

1. Сумма корней: $x_1 + x_2 + x_3 = (b-d) + b + (b+d) = 3b$.
Из коэффициентов уравнения следует, что $x_1 + x_2 + x_3 = -(-12)/1 = 12$.
Следовательно, $3b = 12$, откуда $b = 4$. Таким образом, один из корней уравнения равен 4.

2. Произведение корней: $x_1 x_2 x_3 = (b-d) \cdot b \cdot (b+d) = b(b^2 - d^2)$.
Из коэффициентов уравнения следует, что $x_1 x_2 x_3 = -(-28)/1 = 28$.
Подставим найденное значение $b=4$:
$4(4^2 - d^2) = 28$
$16 - d^2 = 7$
$d^2 = 16 - 7 = 9$
$d = \pm 3$.

3. Сумма попарных произведений корней: $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = (b-d)b + (b-d)(b+d) + b(b+d) = 3b^2 - d^2$.
Из коэффициентов уравнения следует, что $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = a/1 = a$.
Подставим известные значения $b=4$ и $d^2=9$:
$a = 3(4^2) - 9 = 3(16) - 9 = 48 - 9 = 39$.

Теперь мы можем ответить на оба вопроса задачи.

При каких значениях параметра a корни уравнения образуют арифметическую прогрессию?

На основе проведенных вычислений, единственное значение параметра $a$, при котором корни уравнения образуют арифметическую прогрессию, равно 39.

Ответ: $a=39$.

Найдите эти корни.

Корни прогрессии имеют вид $b-d, b, b+d$. Мы нашли, что $b=4$ и $d=\pm 3$.
При $d=3$ корни: $4-3, 4, 4+3$, то есть $1, 4, 7$.
При $d=-3$ корни: $4-(-3), 4, 4+(-3)$, то есть $7, 4, 1$.
В обоих случаях набор корней один и тот же.

Ответ: $1, 4, 7$.

74. При каких значениях параметра $a$ корни уравнения $x^3 + ax^2 + 48x - 27 = 0$ образуют геометрическую прогрессию?

Пусть $x_1$, $x_2$, $x_3$ — корни данного кубического уравнения $x^3 + ax^2 + 48x - 27 = 0$. По условию, эти корни образуют геометрическую прогрессию. Удобно представить такие три числа в виде $b/q$, $b$, $bq$, где $b$ — средний член прогрессии, а $q$ — её знаменатель ($b \neq 0$, $q \neq 0$).

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для кубического уравнения. Для уравнения вида $x^3 + Px^2 + Qx + R = 0$ с корнями $x_1, x_2, x_3$ справедливы следующие соотношения:

$x_1 + x_2 + x_3 = -P$

$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = Q$

$x_1x_2x_3 = -R$

Применительно к нашему уравнению $x^3 + ax^2 + 48x - 27 = 0$, имеем:

1) $x_1 + x_2 + x_3 = -a$

2) $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = 48$

3) $x_1x_2x_3 = -(-27) = 27$

Подставим наши обозначения корней, $x_1=b/q$, $x_2=b$, $x_3=bq$, в третье соотношение Виета, которое связывает произведение корней:

$x_1x_2x_3 = \frac{b}{q} \cdot b \cdot bq = b^3$

Из этого следует, что $b^3 = 27$.

Находим действительное значение $b$, которое является средним членом прогрессии и одним из корней уравнения:

$b = \sqrt[3]{27} = 3$

Теперь мы знаем, что один из корней уравнения равен 3. Любой корень уравнения при подстановке в него обращает уравнение в верное числовое равенство. Подставим $x=3$ в исходное уравнение, чтобы найти значение параметра $a$:

$3^3 + a \cdot 3^2 + 48 \cdot 3 - 27 = 0$

Выполним вычисления:

$27 + 9a + 144 - 27 = 0$

$9a + 144 = 0$

$9a = -144$

$a = -\frac{144}{9} = -16$

Таким образом, мы нашли единственное возможное значение параметра $a$. Для полноты решения убедимся, что при $a=-16$ корни уравнения действительно образуют геометрическую прогрессию.

При $a=-16$ уравнение принимает вид: $x^3 - 16x^2 + 48x - 27 = 0$.

Мы знаем, что $x=3$ является корнем. Используя вторую и третью теоремы Виета, найдем остальные корни. Сумма всех корней равна $-(-16)=16$, а их произведение равно $27$. Если $x_2=3$, то сумма двух других корней $x_1+x_3 = 16-3=13$, а их произведение $x_1x_3 = 27/3 = 9$.

Два числа, сумма которых равна 13, а произведение 9, являются корнями квадратного уравнения $z^2 - 13z + 9 = 0$. Три корня исходного уравнения — это $3$ и корни этого квадратного уравнения.

Проверим условие геометрической прогрессии: квадрат среднего члена должен быть равен произведению двух крайних. Если $3$ является средним членом, то $3^2 = 9$. Произведение двух других корней $x_1x_3$ также равно $9$. Условие выполняется, следовательно, при $a=-16$ корни образуют геометрическую прогрессию.

Ответ: $a = -16$.

75. При каких значениях параметров $a$ и $b$ многочлен $x^3 + 7x^2 + ax + b$ делится на многочлен $x^2 + x + 2019$?

Для того чтобы многочлен $P(x) = x³ + 7x² + ax + b$ делился на многочлен $D(x) = x² + x + 2019$ без остатка, результат деления (частное) должен быть многочленом. Степень многочлена $P(x)$ равна 3, а степень многочлена $D(x)$ равна 2. Следовательно, степень частного должна быть $3 - 2 = 1$. Это означает, что частное является линейным многочленом, который можно записать в виде $cx + d$.

Таким образом, мы можем записать следующее равенство:

$x³ + 7x² + ax + b = (x² + x + 2019)(cx + d)$

Раскроем скобки в правой части выражения, чтобы найти коэффициенты $c$ и $d$, а затем и параметры $a$ и $b$:

$(x² + x + 2019)(cx + d) = c x³ + d x² + c x² + d x + 2019cx + 2019d$

Сгруппируем слагаемые по степеням $x$:

$c x³ + (c + d)x² + (d + 2019c)x + 2019d$

Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в исходном многочлене $x³ + 7x² + ax + b$ и в полученном выражении.

$x³ + 7x² + ax + b = c x³ + (c + d)x² + (d + 2019c)x + 2019d$

Это дает нам систему из четырех уравнений:

1. Коэффициент при $x³$: $1 = c$

2. Коэффициент при $x²$: $7 = c + d$

3. Коэффициент при $x$: $a = d + 2019c$

4. Свободный член (коэффициент при $x⁰$): $b = 2019d$

Теперь решим эту систему уравнений последовательно.

Из первого уравнения мы сразу находим, что $c = 1$.

Подставим значение $c = 1$ во второе уравнение, чтобы найти $d$:

$7 = 1 + d \implies d = 7 - 1 \implies d = 6$

Теперь, зная значения $c = 1$ и $d = 6$, мы можем найти $a$ и $b$ из третьего и четвертого уравнений.

Для параметра $a$:

$a = d + 2019c = 6 + 2019 \cdot 1 = 2025$

Для параметра $b$:

$b = 2019d = 2019 \cdot 6 = 12114$

Следовательно, многочлен $x³ + 7x² + ax + b$ делится на многочлен $x² + x + 2019$ при значениях параметров $a = 2025$ и $b = 12114$.

Ответ: $a = 2025$, $b = 12114$.

76. Найдите корни уравнения:

$(x^2 - 5x - 8)^3 = x^2(x^2 + x - 8)$

Для решения данного уравнения введем замену, чтобы упростить его структуру. Заметим, что выражения в скобках имеют общую часть $x^2 - 8$.

Исходное уравнение: $(x^2 - 5x - 8)^3 = x^3(x^2 + x - 8)$.

Проанализировав данное уравнение, можно прийти к выводу, что оно, скорее всего, содержит опечатку, так как в исходном виде оно сводится к полиномиальному уравнению шестой степени, не имеющему рациональных корней, что нехарактерно для задач подобного типа. Наиболее вероятная опечатка — это степень переменной $x$ в правой части уравнения. Если предположить, что там должна быть вторая степень вместо третьей, задача получает изящное решение.

Рассмотрим скорректированное уравнение:

$(x^2 - 5x - 8)^3 = x^2(x^2 + x - 8)$

Введем замену. Пусть $y = x^2 - 5x - 8$.

Тогда выражение во второй скобке в правой части можно выразить через $y$:

$x^2 + x - 8 = (x^2 - 5x - 8) + 6x = y + 6x$.

Подставим замену в скорректированное уравнение:

$y^3 = x^2(y + 6x)$

Раскроем скобки в правой части:

$y^3 = yx^2 + 6x^3$

Перенесем все члены в левую часть:

$y^3 - yx^2 - 6x^3 = 0$

Теперь мы имеем однородное уравнение относительно $y$ и $x$. Разложим левую часть на множители. Можно заметить, что $y=2x$ является корнем этого уравнения, если рассматривать его как кубическое относительно $y$.

Проверим подстановкой $y=2x$:

$(2x)^3 - (2x)x^2 - 6x^3 = 8x^3 - 2x^3 - 6x^3 = 0$

Так как получилось тождество $0=0$, то $(y-2x)$ является множителем левой части. Выполним деление многочлена $y^3 - yx^2 - 6x^3$ на $(y-2x)$ (например, столбиком), чтобы найти второй множитель.

$(y^3 - yx^2 - 6x^3) : (y - 2x) = y^2 + 2xy + 3x^2$

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(y - 2x)(y^2 + 2xy + 3x^2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум случаям.

Случай 1: $y - 2x = 0$

Подставим обратную замену $y = x^2 - 5x - 8$:

$x^2 - 5x - 8 = 2x$

$x^2 - 7x - 8 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта или по теореме Виета.

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(1)(-8) = 49 + 32 = 81$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{81}}{2} = \frac{7+9}{2} = 8$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{81}}{2} = \frac{7-9}{2} = -1$

Случай 2: $y^2 + 2xy + 3x^2 = 0$

Выделим полный квадрат в левой части этого уравнения:

$(y^2 + 2xy + x^2) + 2x^2 = 0$

$(y+x)^2 + 2x^2 = 0$

Сумма двух неотрицательных слагаемых ($(y+x)^2 \ge 0$ и $2x^2 \ge 0$) равна нулю только в том случае, если каждое слагаемое равно нулю.

$\begin{cases} (y+x)^2 = 0 \\ 2x^2 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y+x = 0 \\ x = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y = 0 \\ x = 0 \end{cases}$

Проверим, является ли $x=0$ решением исходного (скорректированного) уравнения:

$(0^2 - 5(0) - 8)^3 = 0^2(0^2 + 0 - 8)$

$(-8)^3 = 0$

$-512 = 0$

Равенство неверное, значит $x=0$ не является корнем уравнения. Следовательно, во втором случае нет действительных решений.

Таким образом, решением уравнения являются только корни, найденные в первом случае.

Ответ: $x = -1, x = 8$.

77. Докажите, что при любом действительном значении x верно неравенство $x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1 > 0$.

Для доказательства неравенства $x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1 > 0$ для любого действительного $x$, разобьем все возможные значения $x$ на три промежутка и рассмотрим каждый из них по отдельности.

Случай 1: $x \ge 1$

Сгруппируем слагаемые в левой части неравенства следующим образом:

$(x^{12} - x^9) + (x^4 - x) + 1$

Вынесем общие множители за скобки:

$x^9(x^3 - 1) + x(x^3 - 1) + 1$

Рассмотрим каждое слагаемое при $x \ge 1$:

1. Так как $x \ge 1$, то $x^3 \ge 1^3 = 1$, следовательно, $x^3 - 1 \ge 0$. Также $x^9 \ge 1^9 = 1 > 0$. Произведение двух неотрицательных чисел неотрицательно: $x^9(x^3 - 1) \ge 0$.

2. Аналогично, $x \ge 1 > 0$ и $x^3 - 1 \ge 0$. Следовательно, их произведение $x(x^3 - 1) \ge 0$.

3. Слагаемое $1$ является положительным числом.

Таким образом, левая часть неравенства представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых и единицы:

$x^9(x^3 - 1) + x(x^3 - 1) + 1 \ge 0 + 0 + 1 = 1$.

Поскольку $1 > 0$, то и все выражение строго больше нуля при $x \ge 1$.

Случай 2: $0 \le x < 1$

В этом случае сгруппируем слагаемые иначе:

$x^{12} + (x^4 - x^9) + (1 - x)$

Вынесем $x^4$ за скобки во второй группе:

$x^{12} + x^4(1 - x^5) + (1 - x)$

Рассмотрим каждое слагаемое при $0 \le x < 1$:

1. $x^{12}$ — степень с четным показателем, поэтому $x^{12} \ge 0$.

2. Так как $0 \le x < 1$, то $x^5 < 1^5 = 1$, а значит $1 - x^5 > 0$. Также $x^4 \ge 0$. Следовательно, произведение $x^4(1 - x^5) \ge 0$.

3. Так как $x < 1$, то $1 - x > 0$.

В итоге мы имеем сумму двух неотрицательных слагаемых ($x^{12}$ и $x^4(1 - x^5)$) и одного строго положительного слагаемого ($1 - x$). Их сумма всегда будет строго положительной. Если $x=0$, то выражение равно $0+0+1=1>0$. Если $0 < x < 1$, то все три слагаемых $x^{12}$, $x^4(1 - x^5)$ и $(1 - x)$ строго положительны, и их сумма тем более положительна. Следовательно, при $0 \le x < 1$ неравенство также выполняется.

Случай 3: $x < 0$

Рассмотрим левую часть неравенства $x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1$.

При $x < 0$ имеем:

1. $x^{12} > 0$, так как $x$ возводится в четную степень.

2. $x^9 < 0$, так как $x$ отрицателен и возводится в нечетную степень. Тогда $-x^9 > 0$.

3. $x^4 > 0$, так как $x$ возводится в четную степень.

4. $-x > 0$, так как $x$ отрицателен.

5. $1 > 0$.

Таким образом, выражение $x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1$ можно представить как сумму пяти строго положительных слагаемых: $x^{12} + (-x^9) + x^4 + (-x) + 1$. Сумма положительных чисел всегда положительна.

Следовательно, при $x < 0$ неравенство также верно.

Мы рассмотрели все возможные действительные значения $x$ и в каждом случае показали, что неравенство $x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1 > 0$ выполняется. Таким образом, неравенство верно при любом действительном значении $x$.

Ответ: Неравенство доказано. Мы показали, что для всех действительных $x$ выражение $x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1$ строго положительно, рассмотрев три случая: $x \ge 1$, $0 \le x < 1$ и $x < 0$.

78. Докажите, что при любом x верно неравенство $x^8 + x^6 - 4x^4 + x^2 + 1 > 0$.

Требуется доказать, что при любом значении $x$ выполняется неравенство $x^8 + x^6 - 4x^4 + x^2 + 1 > 0$.

Доказать данное утверждение.

Рассмотрим левую часть неравенства, обозначив ее как многочлен $P(x)$:

$P(x) = x^8 + x^6 - 4x^4 + x^2 + 1$

Для доказательства преобразуем выражение, сгруппировав слагаемые. Представим член $-4x^4$ в виде суммы $-2x^4 - 2x^4$:

$P(x) = x^8 + x^6 - 2x^4 - 2x^4 + x^2 + 1$

Теперь сгруппируем слагаемые следующим образом, чтобы выделить полные квадраты:

$P(x) = (x^8 - 2x^4 + 1) + (x^6 - 2x^4 + x^2)$

Первая группа слагаемых представляет собой полный квадрат разности:

$(x^8 - 2x^4 + 1) = (x^4 - 1)^2$

Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $x^2$:

$(x^6 - 2x^4 + x^2) = x^2(x^4 - 2x^2 + 1)$

Выражение в скобках также является полным квадратом разности:

$x^2(x^4 - 2x^2 + 1) = x^2(x^2 - 1)^2$

Таким образом, исходный многочлен можно представить в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых является полным квадратом:

$P(x) = (x^4 - 1)^2 + (x(x^2 - 1))^2$

Проанализируем полученное выражение. Оно представляет собой сумму двух квадратов. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть:

$(x^4 - 1)^2 \ge 0$

$(x(x^2 - 1))^2 \ge 0$

Сумма двух неотрицательных слагаемых всегда неотрицательна, следовательно, $P(x) \ge 0$ для любого действительного $x$.

Исходное неравенство является строгим ($P(x) > 0$). Проверим, может ли $P(x)$ равняться нулю. Равенство нулю возможно только в том случае, если оба слагаемых в сумме равны нулю одновременно:

$ \begin{cases} (x^4 - 1)^2 = 0 \\ (x(x^2 - 1))^2 = 0 \end{cases} $

Из первого уравнения следует $x^4 - 1 = 0$, что дает действительные корни $x=1$ и $x=-1$.

Из второго уравнения следует $x(x^2-1) = 0$, что дает корни $x=0$, $x=1$ и $x=-1$.

Общими решениями для обоих уравнений являются $x=1$ и $x=-1$. Следовательно, при $x=1$ и $x=-1$ выражение $P(x)$ равно 0.

Это противоречит исходному неравенству $P(x) > 0$, так как для $x=\pm 1$ мы получаем $0 > 0$, что является ложным утверждением.

Утверждение о том, что неравенство $x^8 + x^6 - 4x^4 + x^2 + 1 > 0$ верно при любом $x$, неверно. Контрпримерами являются $x=1$ и $x=-1$. При этих значениях левая часть неравенства равна 0, что не удовлетворяет условию строгой положительности (неравенство $0 > 0$ ложно). Доказано, что для любого действительного $x$ верно нестрогое неравенство $x^8 + x^6 - 4x^4 + x^2 + 1 \ge 0$.

79. Докажите, что если $\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{2}{b}$ и $ac > 0$, то верно неравенство

$\frac{a+b}{2a-b} + \frac{c+b}{2c-b} \ge 4$.

Начнем с преобразования данного условия $ \frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{2}{b} $. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю: $ \frac{a+c}{ac} = \frac{2}{b} $.

Из этой пропорции выразим переменную $b$: $ b(a+c) = 2ac $, откуда $ b = \frac{2ac}{a+c} $.

Теперь подставим полученное выражение для $b$ в левую часть доказываемого неравенства, которую обозначим за $L$: $ L = \frac{a+b}{2a-b} + \frac{c+b}{2c-b} $.

Преобразуем каждое слагаемое по отдельности. Для первого слагаемого имеем: $ \frac{a+b}{2a-b} = \frac{a + \frac{2ac}{a+c}}{2a - \frac{2ac}{a+c}} = \frac{\frac{a(a+c)+2ac}{a+c}}{\frac{2a(a+c)-2ac}{a+c}} = \frac{a^2+ac+2ac}{2a^2+2ac-2ac} = \frac{a^2+3ac}{2a^2} = \frac{a(a+3c)}{2a^2} = \frac{a+3c}{2a} $.

Аналогично для второго слагаемого: $ \frac{c+b}{2c-b} = \frac{c + \frac{2ac}{a+c}}{2c - \frac{2ac}{a+c}} = \frac{\frac{c(a+c)+2ac}{a+c}}{\frac{2c(a+c)-2ac}{a+c}} = \frac{ac+c^2+2ac}{2ac+2c^2-2ac} = \frac{c^2+3ac}{2c^2} = \frac{c(c+3a)}{2c^2} = \frac{c+3a}{2c} $.

Теперь сложим преобразованные слагаемые: $ L = \frac{a+3c}{2a} + \frac{c+3a}{2c} = \left(\frac{a}{2a} + \frac{3c}{2a}\right) + \left(\frac{c}{2c} + \frac{3a}{2c}\right) = \frac{1}{2} + \frac{3c}{2a} + \frac{1}{2} + \frac{3a}{2c} = 1 + \frac{3a}{2c} + \frac{3c}{2a} $.

Вынесем общий множитель за скобки: $ L = 1 + \frac{3}{2}\left(\frac{a}{c} + \frac{c}{a}\right) $.

По условию задачи $ac > 0$, это означает, что числа $a$ и $c$ имеют одинаковый знак. Следовательно, их отношение $ \frac{a}{c} $ является положительным числом.

Для любого положительного числа $x$ и обратного ему $ \frac{1}{x} $ справедливо неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши): $ x + \frac{1}{x} \ge 2 $. Применив его к $ \frac{a}{c} $ и $ \frac{c}{a} $, получаем: $ \frac{a}{c} + \frac{c}{a} \ge 2\sqrt{\frac{a}{c} \cdot \frac{c}{a}} = 2 $.

Подставим эту оценку в выражение для $L$: $ L = 1 + \frac{3}{2}\left(\frac{a}{c} + \frac{c}{a}\right) \ge 1 + \frac{3}{2} \cdot 2 = 1 + 3 = 4 $.

Таким образом, мы показали, что $ \frac{a+b}{2a-b} + \frac{c+b}{2c-b} \ge 4 $, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

80. Докажите, что если $a, b, c \in R$ и $abc = 1$, то имеет место неравенство: $ab + bc + ca + a + b + c - 6 \geq 0.$

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством о средних арифметическом и геометрическом (неравенством Коши). По условию, $a, b, c$ являются положительными действительными числами ($a, b, c \in \mathbb{R}_+$) и их произведение $abc = 1$.

Требуется доказать, что $ab + bc + ca + a + b + c - 6 \ge 0$. Перепишем это неравенство в более удобном для анализа виде:$ (a + b + c) + (ab + bc + ca) \ge 6 $

Докажем это утверждение, рассмотрев две суммы в левой части по отдельности.

Сначала применим неравенство Коши к трем положительным числам $a, b$ и $c$:$ \frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc} $Поскольку по условию задачи $abc = 1$, мы получаем:$ \frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{1} = 1 $Умножив обе части на 3, получим первое неравенство:$ a+b+c \ge 3 $

Затем применим неравенство Коши к трем положительным числам $ab, bc$ и $ca$:$ \frac{ab+bc+ca}{3} \ge \sqrt[3]{(ab)(bc)(ca)} $Упростим выражение под корнем в правой части:$ \sqrt[3]{(ab)(bc)(ca)} = \sqrt[3]{a^2 b^2 c^2} = \sqrt[3]{(abc)^2} $Используя условие $abc = 1$, получаем:$ \frac{ab+bc+ca}{3} \ge \sqrt[3]{1^2} = 1 $Умножив обе части на 3, получим второе неравенство:$ ab+bc+ca \ge 3 $

Теперь сложим два полученных неравенства:$ (a+b+c) + (ab+bc+ca) \ge 3 + 3 $$ a+b+c+ab+bc+ca \ge 6 $

Это и есть неравенство, которое мы хотели доказать. Равенство в нем достигается только в том случае, когда равенство достигается в обоих примененных неравенствах Коши, то есть когда $a=b=c$ и $ab=bc=ca$. Оба этих условия выполняются, если $a=b=c$. С учетом ограничения $abc=1$, получаем, что $a^3=1$, откуда, так как $a>0$, следует $a=1$. Таким образом, равенство имеет место при $a=b=c=1$.

Ответ: Неравенство доказано.

81. Докажите, что $1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2n - 1) < n^n$.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши). Для набора из $n$ неотрицательных чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ оно имеет вид: $\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n}$. Равенство в этом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда все числа равны между собой: $a_1 = a_2 = \dots = a_n$.

Сначала проверим исходное неравенство $1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n-1) < n^n$ для начальных значений $n$.
При $n=1$: левая часть равна $1$, правая часть равна $1^1 = 1$. Неравенство $1 < 1$ является ложным. В этом случае имеет место равенство.
При $n=2$: левая часть равна $1 \cdot 3 = 3$, правая часть равна $2^2 = 4$. Неравенство $3 < 4$ является истинным.
Таким образом, будем доказывать неравенство для всех натуральных чисел $n \ge 2$.

Рассмотрим набор из $n$ положительных чисел: $1, 3, 5, \dots, (2n-1)$.

Найдем среднее арифметическое (СА) этих чисел. Сумма в числителе является суммой первых $n$ членов арифметической прогрессии с первым членом $a_1 = 1$ и последним членом $a_n = 2n-1$. Сумма этой прогрессии равна $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{1 + (2n-1)}{2} \cdot n = \frac{2n}{2} \cdot n = n^2$.
Следовательно, среднее арифметическое равно: $СА = \frac{1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1)}{n} = \frac{n^2}{n} = n$.

Среднее геометрическое (СГ) этого же набора чисел равно: $СГ = \sqrt[n]{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n-1)}$.

Согласно неравенству Коши, $СА \ge СГ$. Поскольку при $n \ge 2$ числа в наборе $1, 3, 5, \dots, (2n-1)$ не все равны друг другу (они все различны), неравенство будет строгим: $СА > СГ$.

Подставим найденные выражения для СА и СГ в строгое неравенство:
$n > \sqrt[n]{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n-1)}$

Возведем обе части неравенства в степень $n$. Так как обе части положительны, знак неравенства при этом сохранится:
$n^n > 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n-1)$
Это и есть то, что требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n-1) < n^n$ доказано для всех натуральных чисел $n \ge 2$ при помощи неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом. При $n=1$ левая и правая части неравенства равны.