Номер 79, страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

79. Докажите, что если $\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{2}{b}$ и $ac > 0$, то верно неравенство

$\frac{a+b}{2a-b} + \frac{c+b}{2c-b} \ge 4$.

Начнем с преобразования данного условия $ \frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{2}{b} $. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю: $ \frac{a+c}{ac} = \frac{2}{b} $.

Из этой пропорции выразим переменную $b$: $ b(a+c) = 2ac $, откуда $ b = \frac{2ac}{a+c} $.

Теперь подставим полученное выражение для $b$ в левую часть доказываемого неравенства, которую обозначим за $L$: $ L = \frac{a+b}{2a-b} + \frac{c+b}{2c-b} $.

Преобразуем каждое слагаемое по отдельности. Для первого слагаемого имеем: $ \frac{a+b}{2a-b} = \frac{a + \frac{2ac}{a+c}}{2a - \frac{2ac}{a+c}} = \frac{\frac{a(a+c)+2ac}{a+c}}{\frac{2a(a+c)-2ac}{a+c}} = \frac{a^2+ac+2ac}{2a^2+2ac-2ac} = \frac{a^2+3ac}{2a^2} = \frac{a(a+3c)}{2a^2} = \frac{a+3c}{2a} $.

Аналогично для второго слагаемого: $ \frac{c+b}{2c-b} = \frac{c + \frac{2ac}{a+c}}{2c - \frac{2ac}{a+c}} = \frac{\frac{c(a+c)+2ac}{a+c}}{\frac{2c(a+c)-2ac}{a+c}} = \frac{ac+c^2+2ac}{2ac+2c^2-2ac} = \frac{c^2+3ac}{2c^2} = \frac{c(c+3a)}{2c^2} = \frac{c+3a}{2c} $.

Теперь сложим преобразованные слагаемые: $ L = \frac{a+3c}{2a} + \frac{c+3a}{2c} = \left(\frac{a}{2a} + \frac{3c}{2a}\right) + \left(\frac{c}{2c} + \frac{3a}{2c}\right) = \frac{1}{2} + \frac{3c}{2a} + \frac{1}{2} + \frac{3a}{2c} = 1 + \frac{3a}{2c} + \frac{3c}{2a} $.

Вынесем общий множитель за скобки: $ L = 1 + \frac{3}{2}\left(\frac{a}{c} + \frac{c}{a}\right) $.

По условию задачи $ac > 0$, это означает, что числа $a$ и $c$ имеют одинаковый знак. Следовательно, их отношение $ \frac{a}{c} $ является положительным числом.

Для любого положительного числа $x$ и обратного ему $ \frac{1}{x} $ справедливо неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши): $ x + \frac{1}{x} \ge 2 $. Применив его к $ \frac{a}{c} $ и $ \frac{c}{a} $, получаем: $ \frac{a}{c} + \frac{c}{a} \ge 2\sqrt{\frac{a}{c} \cdot \frac{c}{a}} = 2 $.

Подставим эту оценку в выражение для $L$: $ L = 1 + \frac{3}{2}\left(\frac{a}{c} + \frac{c}{a}\right) \ge 1 + \frac{3}{2} \cdot 2 = 1 + 3 = 4 $.

Таким образом, мы показали, что $ \frac{a+b}{2a-b} + \frac{c+b}{2c-b} \ge 4 $, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.