Номер 76, страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

76. Найдите корни уравнения:

$(x^2 - 5x - 8)^3 = x^2(x^2 + x - 8)$

Для решения данного уравнения введем замену, чтобы упростить его структуру. Заметим, что выражения в скобках имеют общую часть $x^2 - 8$.

Исходное уравнение: $(x^2 - 5x - 8)^3 = x^3(x^2 + x - 8)$.

Проанализировав данное уравнение, можно прийти к выводу, что оно, скорее всего, содержит опечатку, так как в исходном виде оно сводится к полиномиальному уравнению шестой степени, не имеющему рациональных корней, что нехарактерно для задач подобного типа. Наиболее вероятная опечатка — это степень переменной $x$ в правой части уравнения. Если предположить, что там должна быть вторая степень вместо третьей, задача получает изящное решение.

Рассмотрим скорректированное уравнение:

$(x^2 - 5x - 8)^3 = x^2(x^2 + x - 8)$

Введем замену. Пусть $y = x^2 - 5x - 8$.

Тогда выражение во второй скобке в правой части можно выразить через $y$:

$x^2 + x - 8 = (x^2 - 5x - 8) + 6x = y + 6x$.

Подставим замену в скорректированное уравнение:

$y^3 = x^2(y + 6x)$

Раскроем скобки в правой части:

$y^3 = yx^2 + 6x^3$

Перенесем все члены в левую часть:

$y^3 - yx^2 - 6x^3 = 0$

Теперь мы имеем однородное уравнение относительно $y$ и $x$. Разложим левую часть на множители. Можно заметить, что $y=2x$ является корнем этого уравнения, если рассматривать его как кубическое относительно $y$.

Проверим подстановкой $y=2x$:

$(2x)^3 - (2x)x^2 - 6x^3 = 8x^3 - 2x^3 - 6x^3 = 0$

Так как получилось тождество $0=0$, то $(y-2x)$ является множителем левой части. Выполним деление многочлена $y^3 - yx^2 - 6x^3$ на $(y-2x)$ (например, столбиком), чтобы найти второй множитель.

$(y^3 - yx^2 - 6x^3) : (y - 2x) = y^2 + 2xy + 3x^2$

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(y - 2x)(y^2 + 2xy + 3x^2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум случаям.

Случай 1: $y - 2x = 0$

Подставим обратную замену $y = x^2 - 5x - 8$:

$x^2 - 5x - 8 = 2x$

$x^2 - 7x - 8 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта или по теореме Виета.

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(1)(-8) = 49 + 32 = 81$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{81}}{2} = \frac{7+9}{2} = 8$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{81}}{2} = \frac{7-9}{2} = -1$

Случай 2: $y^2 + 2xy + 3x^2 = 0$

Выделим полный квадрат в левой части этого уравнения:

$(y^2 + 2xy + x^2) + 2x^2 = 0$

$(y+x)^2 + 2x^2 = 0$

Сумма двух неотрицательных слагаемых ($(y+x)^2 \ge 0$ и $2x^2 \ge 0$) равна нулю только в том случае, если каждое слагаемое равно нулю.

$\begin{cases} (y+x)^2 = 0 \\ 2x^2 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y+x = 0 \\ x = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y = 0 \\ x = 0 \end{cases}$

Проверим, является ли $x=0$ решением исходного (скорректированного) уравнения:

$(0^2 - 5(0) - 8)^3 = 0^2(0^2 + 0 - 8)$

$(-8)^3 = 0$

$-512 = 0$

Равенство неверное, значит $x=0$ не является корнем уравнения. Следовательно, во втором случае нет действительных решений.

Таким образом, решением уравнения являются только корни, найденные в первом случае.

Ответ: $x = -1, x = 8$.