Номер 75, страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

75. При каких значениях параметров $a$ и $b$ многочлен $x^3 + 7x^2 + ax + b$ делится на многочлен $x^2 + x + 2019$?

Для того чтобы многочлен $P(x) = x³ + 7x² + ax + b$ делился на многочлен $D(x) = x² + x + 2019$ без остатка, результат деления (частное) должен быть многочленом. Степень многочлена $P(x)$ равна 3, а степень многочлена $D(x)$ равна 2. Следовательно, степень частного должна быть $3 - 2 = 1$. Это означает, что частное является линейным многочленом, который можно записать в виде $cx + d$.

Таким образом, мы можем записать следующее равенство:

$x³ + 7x² + ax + b = (x² + x + 2019)(cx + d)$

Раскроем скобки в правой части выражения, чтобы найти коэффициенты $c$ и $d$, а затем и параметры $a$ и $b$:

$(x² + x + 2019)(cx + d) = c x³ + d x² + c x² + d x + 2019cx + 2019d$

Сгруппируем слагаемые по степеням $x$:

$c x³ + (c + d)x² + (d + 2019c)x + 2019d$

Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в исходном многочлене $x³ + 7x² + ax + b$ и в полученном выражении.

$x³ + 7x² + ax + b = c x³ + (c + d)x² + (d + 2019c)x + 2019d$

Это дает нам систему из четырех уравнений:

1. Коэффициент при $x³$: $1 = c$

2. Коэффициент при $x²$: $7 = c + d$

3. Коэффициент при $x$: $a = d + 2019c$

4. Свободный член (коэффициент при $x⁰$): $b = 2019d$

Теперь решим эту систему уравнений последовательно.

Из первого уравнения мы сразу находим, что $c = 1$.

Подставим значение $c = 1$ во второе уравнение, чтобы найти $d$:

$7 = 1 + d \implies d = 7 - 1 \implies d = 6$

Теперь, зная значения $c = 1$ и $d = 6$, мы можем найти $a$ и $b$ из третьего и четвертого уравнений.

Для параметра $a$:

$a = d + 2019c = 6 + 2019 \cdot 1 = 2025$

Для параметра $b$:

$b = 2019d = 2019 \cdot 6 = 12114$

Следовательно, многочлен $x³ + 7x² + ax + b$ делится на многочлен $x² + x + 2019$ при значениях параметров $a = 2025$ и $b = 12114$.

Ответ: $a = 2025$, $b = 12114$.