Номер 81, страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

81. Докажите, что $1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2n - 1) < n^n$.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши). Для набора из $n$ неотрицательных чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ оно имеет вид: $\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n}$. Равенство в этом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда все числа равны между собой: $a_1 = a_2 = \dots = a_n$.

Сначала проверим исходное неравенство $1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n-1) < n^n$ для начальных значений $n$.
При $n=1$: левая часть равна $1$, правая часть равна $1^1 = 1$. Неравенство $1 < 1$ является ложным. В этом случае имеет место равенство.
При $n=2$: левая часть равна $1 \cdot 3 = 3$, правая часть равна $2^2 = 4$. Неравенство $3 < 4$ является истинным.
Таким образом, будем доказывать неравенство для всех натуральных чисел $n \ge 2$.

Рассмотрим набор из $n$ положительных чисел: $1, 3, 5, \dots, (2n-1)$.

Найдем среднее арифметическое (СА) этих чисел. Сумма в числителе является суммой первых $n$ членов арифметической прогрессии с первым членом $a_1 = 1$ и последним членом $a_n = 2n-1$. Сумма этой прогрессии равна $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{1 + (2n-1)}{2} \cdot n = \frac{2n}{2} \cdot n = n^2$.
Следовательно, среднее арифметическое равно: $СА = \frac{1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1)}{n} = \frac{n^2}{n} = n$.

Среднее геометрическое (СГ) этого же набора чисел равно: $СГ = \sqrt[n]{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n-1)}$.

Согласно неравенству Коши, $СА \ge СГ$. Поскольку при $n \ge 2$ числа в наборе $1, 3, 5, \dots, (2n-1)$ не все равны друг другу (они все различны), неравенство будет строгим: $СА > СГ$.

Подставим найденные выражения для СА и СГ в строгое неравенство:
$n > \sqrt[n]{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n-1)}$

Возведем обе части неравенства в степень $n$. Так как обе части положительны, знак неравенства при этом сохранится:
$n^n > 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n-1)$
Это и есть то, что требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n-1) < n^n$ доказано для всех натуральных чисел $n \ge 2$ при помощи неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом. При $n=1$ левая и правая части неравенства равны.