Номер 84, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

84. Величины углов образуют арифметическую прогрессию $5^{\circ}$; $10^{\circ}$; $15^{\circ}$; ... . Найдите наименьшее число членов этой прогрессии, начиная с первого, чтобы значение суммы их косинусов было равно нулю.

По условию задачи, величины углов образуют арифметическую прогрессию $a_k$. Первый член этой прогрессии $a_1 = 5^\circ$, а разность $d = 10^\circ - 5^\circ = 5^\circ$. Следовательно, $k$-й член прогрессии равен $a_k = a_1 + (k-1)d = 5^\circ + (k-1)5^\circ = 5^\circ k$.

Требуется найти наименьшее натуральное число $n$, для которого сумма косинусов первых $n$ членов равна нулю. Запишем эту сумму $S_n$:$S_n = \sum_{k=1}^{n} \cos(a_k) = \sum_{k=1}^{n} \cos(5^\circ k)$.Для вычисления суммы косинусов, углы которых составляют арифметическую прогрессию, используется формула:$S_n = \frac{\cos\left(\frac{a_1+a_n}{2}\right) \sin\left(\frac{nd}{2}\right)}{\sin\left(\frac{d}{2}\right)}$.

Подставим в формулу наши значения $a_1 = 5^\circ$, $d = 5^\circ$ и $a_n = 5^\circ n$:$S_n = \frac{\cos\left(\frac{5^\circ+5^\circ n}{2}\right) \sin\left(\frac{n \cdot 5^\circ}{2}\right)}{\sin\left(\frac{5^\circ}{2}\right)} = \frac{\cos(2.5^\circ(n+1)) \sin(2.5^\circ n)}{\sin(2.5^\circ)}$.

Приравниваем сумму к нулю: $S_n = 0$. Так как знаменатель $\sin(2.5^\circ)$ не равен нулю, равенство выполняется, если числитель равен нулю:$\cos(2.5^\circ(n+1)) \sin(2.5^\circ n) = 0$.

Это произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два возможных случая.
1. $\sin(2.5^\circ n) = 0$. Это верно, если $2.5^\circ n = 180^\circ \cdot k$ для некоторого целого $k$. Отсюда $n = \frac{180k}{2.5} = 72k$. Наименьшее натуральное $n$ в этом случае (при $k=1$) равно $72$.
2. $\cos(2.5^\circ (n+1)) = 0$. Это верно, если $2.5^\circ (n+1) = 90^\circ + 180^\circ \cdot m$ для некоторого целого $m$. Отсюда $n+1 = \frac{90 + 180m}{2.5} = 36 + 72m$, и $n = 35 + 72m$. Наименьшее натуральное $n$ в этом случае (при $m=0$) равно $35$.

Сравнивая наименьшие натуральные решения из обоих случаев, $n=72$ и $n=35$, мы выбираем наименьшее из них.Наименьшее число членов прогрессии, при котором сумма их косинусов равна нулю, — это $35$.
Ответ: 35