Номер 89, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

89. Найдите корни уравнения:

1) $A_x^3 = 8x - 3x^2;$

2) $A_x^3 = 2x^3 - 3x^2 - 14x;$

3) $C_x^2 = x + 5.$

1) $A_x^3 = 8x - 3x^2$

Дано:

Уравнение $A_x^3 = 8x - 3x^2$.

Найти:

Корни уравнения.

Решение:

Число размещений из $x$ по 3, обозначаемое как $A_x^3$, определяется по формуле: $A_x^3 = \frac{x!}{(x-3)!} = x(x-1)(x-2)$.

По определению числа размещений, $x$ должен быть целым числом и удовлетворять условию $x \ge 3$. Это является областью допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения.

Подставим формулу для $A_x^3$ в исходное уравнение:

$x(x-1)(x-2) = 8x - 3x^2$

Раскроем скобки в левой части:

$(x^2 - x)(x-2) = 8x - 3x^2$

$x^3 - 2x^2 - x^2 + 2x = 8x - 3x^2$

$x^3 - 3x^2 + 2x = 8x - 3x^2$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$x^3 - 3x^2 + 3x^2 + 2x - 8x = 0$

$x^3 - 6x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x^2 - 6) = 0$

Отсюда получаем возможные корни:

$x_1 = 0$ или $x^2 - 6 = 0$, что дает $x_{2,3} = \pm\sqrt{6}$.

Теперь проверим найденные значения на соответствие ОДЗ ($x$ — целое число и $x \ge 3$):

1. $x_1 = 0$ — целое число, но не удовлетворяет условию $0 \ge 3$.

2. $x_2 = \sqrt{6}$ — не является целым числом.

3. $x_3 = -\sqrt{6}$ — не является целым числом.

Ни один из найденных корней не удовлетворяет области допустимых значений. Следовательно, у исходного уравнения нет корней.

Ответ: корней нет.

2) $A_x^3 = 2x^3 - 3x^2 - 14x$

Дано:

Уравнение $A_x^3 = 2x^3 - 3x^2 - 14x$.

Найти:

Корни уравнения.

Решение:

Формула для числа размещений из $x$ по 3: $A_x^3 = x(x-1)(x-2) = x^3 - 3x^2 + 2x$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x$ — целое число и $x \ge 3$.

Подставим выражение для $A_x^3$ в уравнение:

$x^3 - 3x^2 + 2x = 2x^3 - 3x^2 - 14x$

Перенесем все члены в правую часть уравнения для удобства:

$0 = (2x^3 - x^3) + (-3x^2 + 3x^2) + (-14x - 2x)$

$x^3 - 16x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 16) = 0$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x(x-4)(x+4) = 0$

Получаем три возможных корня:

$x_1 = 0$, $x_2 = 4$, $x_3 = -4$.

Проверим соответствие корней ОДЗ ($x$ — целое число и $x \ge 3$):

1. $x_1 = 0$ — целое число, но не удовлетворяет условию $0 \ge 3$.

2. $x_2 = 4$ — является целым числом и удовлетворяет условию $4 \ge 3$. Это корень уравнения.

3. $x_3 = -4$ — целое число, но не удовлетворяет условию $-4 \ge 3$.

Таким образом, единственным корнем уравнения является $x = 4$.

Ответ: $4$.

3) $C_x^2 = x + 5$

Дано:

Уравнение $C_x^2 = x + 5$.

Найти:

Корни уравнения.

Решение:

Число сочетаний из $x$ по 2, обозначаемое как $C_x^2$, определяется по формуле:

$C_x^2 = \frac{x!}{2!(x-2)!} = \frac{x(x-1)}{2}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $x$ должен быть целым числом и $x \ge 2$.

Подставим формулу для $C_x^2$ в исходное уравнение:

$\frac{x(x-1)}{2} = x + 5$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$x(x-1) = 2(x+5)$

Раскроем скобки:

$x^2 - x = 2x + 10$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - x - 2x - 10 = 0$

$x^2 - 3x - 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-3) + 7}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-(-3) - 7}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x$ — целое число и $x \ge 2$):

1. $x_1 = 5$ — является целым числом и удовлетворяет условию $5 \ge 2$. Это корень уравнения.

2. $x_2 = -2$ — является целым числом, но не удовлетворяет условию $-2 \ge 2$.

Следовательно, уравнение имеет только один корень.

Ответ: $5$.