Номер 83, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

83. Докажите, что если $n \ge 2$, то $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2^n - 1} < n$.

Для доказательства неравенства $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2^n - 1} < n$ при $n \ge 2$, воспользуемся методом оценки суммы путем группировки ее слагаемых.

Рассмотрим сумму $S$, стоящую в левой части неравенства:

$S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2^n - 1}$

Сгруппируем слагаемые в этой сумме следующим образом:

$S = 1 + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7}\right) + \dots + \left(\frac{1}{2^{n-1}} + \dots + \frac{1}{2^n - 1}\right)$

Сумма разбита на $n$ групп:

1-я группа: $1$.

2-я группа: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$. Эта группа начинается с $\frac{1}{2^1}$ и содержит $2^1=2$ слагаемых.

3-я группа: $\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7}$. Эта группа начинается с $\frac{1}{2^2}$ и содержит $2^2=4$ слагаемых.

...

$n$-я группа: $\frac{1}{2^{n-1}} + \frac{1}{2^{n-1}+1} + \dots + \frac{1}{2^n - 1}$. Эта группа начинается с $\frac{1}{2^{n-1}}$ и содержит $2^{n-1}$ слагаемых.

Теперь оценим сверху сумму в каждой из этих групп.

Сумма в первой группе равна в точности $1$.

Для всех остальных групп, начиная со второй, мы заменим каждое слагаемое на самое большое значение в его группе, которым является первый член группы. Поскольку все остальные члены группы строго меньше первого, сумма группы будет строго меньше, чем произведение количества членов на этот самый большой член.

Оценим 2-ю группу:$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} < \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

Оценим 3-ю группу:$\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} < \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1$.

В общем виде, для $k$-й группы (где $k \in \{2, 3, \dots, n\}$), которая начинается с $\frac{1}{2^{k-1}}$ и содержит $2^{k-1}$ слагаемых, имеем:

$\underbrace{\frac{1}{2^{k-1}} + \frac{1}{2^{k-1}+1} + \dots + \frac{1}{2^k - 1}}_{2^{k-1} \text{ слагаемых}} < \underbrace{\frac{1}{2^{k-1}} + \frac{1}{2^{k-1}} + \dots + \frac{1}{2^{k-1}}}_{2^{k-1} \text{ раз}} = 2^{k-1} \cdot \frac{1}{2^{k-1}} = 1$.

Таким образом, мы представили исходную сумму $S$ как сумму $n$ групп. Сумма первой группы равна $1$, а сумма каждой из следующих $n-1$ групп строго меньше $1$.

Складывая эти оценки, получаем итоговое неравенство для $S$:

$S < \underbrace{1}_{1-я\;группа} + \underbrace{1}_{2-я\;группа} + \underbrace{1}_{3-я\;группа} + \dots + \underbrace{1}_{n-я\;группа} = n$.

Следовательно, $S < n$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Для любого целого числа $n \ge 2$ выполняется неравенство $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2^n - 1} < n$. Доказательство основано на группировке слагаемых и их оценке сверху, где сумма каждой из $n$ групп (кроме первой, которая равна 1) оказывается строго меньше 1.