Номер 78, страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

78. Докажите, что при любом x верно неравенство $x^8 + x^6 - 4x^4 + x^2 + 1 > 0$.

Требуется доказать, что при любом значении $x$ выполняется неравенство $x^8 + x^6 - 4x^4 + x^2 + 1 > 0$.

Доказать данное утверждение.

Рассмотрим левую часть неравенства, обозначив ее как многочлен $P(x)$:

$P(x) = x^8 + x^6 - 4x^4 + x^2 + 1$

Для доказательства преобразуем выражение, сгруппировав слагаемые. Представим член $-4x^4$ в виде суммы $-2x^4 - 2x^4$:

$P(x) = x^8 + x^6 - 2x^4 - 2x^4 + x^2 + 1$

Теперь сгруппируем слагаемые следующим образом, чтобы выделить полные квадраты:

$P(x) = (x^8 - 2x^4 + 1) + (x^6 - 2x^4 + x^2)$

Первая группа слагаемых представляет собой полный квадрат разности:

$(x^8 - 2x^4 + 1) = (x^4 - 1)^2$

Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $x^2$:

$(x^6 - 2x^4 + x^2) = x^2(x^4 - 2x^2 + 1)$

Выражение в скобках также является полным квадратом разности:

$x^2(x^4 - 2x^2 + 1) = x^2(x^2 - 1)^2$

Таким образом, исходный многочлен можно представить в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых является полным квадратом:

$P(x) = (x^4 - 1)^2 + (x(x^2 - 1))^2$

Проанализируем полученное выражение. Оно представляет собой сумму двух квадратов. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть:

$(x^4 - 1)^2 \ge 0$

$(x(x^2 - 1))^2 \ge 0$

Сумма двух неотрицательных слагаемых всегда неотрицательна, следовательно, $P(x) \ge 0$ для любого действительного $x$.

Исходное неравенство является строгим ($P(x) > 0$). Проверим, может ли $P(x)$ равняться нулю. Равенство нулю возможно только в том случае, если оба слагаемых в сумме равны нулю одновременно:

$ \begin{cases} (x^4 - 1)^2 = 0 \\ (x(x^2 - 1))^2 = 0 \end{cases} $

Из первого уравнения следует $x^4 - 1 = 0$, что дает действительные корни $x=1$ и $x=-1$.

Из второго уравнения следует $x(x^2-1) = 0$, что дает корни $x=0$, $x=1$ и $x=-1$.

Общими решениями для обоих уравнений являются $x=1$ и $x=-1$. Следовательно, при $x=1$ и $x=-1$ выражение $P(x)$ равно 0.

Это противоречит исходному неравенству $P(x) > 0$, так как для $x=\pm 1$ мы получаем $0 > 0$, что является ложным утверждением.

Утверждение о том, что неравенство $x^8 + x^6 - 4x^4 + x^2 + 1 > 0$ верно при любом $x$, неверно. Контрпримерами являются $x=1$ и $x=-1$. При этих значениях левая часть неравенства равна 0, что не удовлетворяет условию строгой положительности (неравенство $0 > 0$ ложно). Доказано, что для любого действительного $x$ верно нестрогое неравенство $x^8 + x^6 - 4x^4 + x^2 + 1 \ge 0$.