Номер 72, страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

72. Решите уравнение: $x^3 - 2x - 4\sqrt{6} = 0$.

Данное уравнение является кубическим: $x^3 - 2x - 4\sqrt{6} = 0$.

Для решения кубических уравнений общего вида можно использовать формулу Кардано, но она достаточно громоздка. Попробуем найти один из корней подбором. Наличие в уравнении иррационального члена $-4\sqrt{6}$ подсказывает, что корень может иметь вид $k\sqrt{6}$ для некоторого рационального числа $k$.

Подставим $x = k\sqrt{6}$ в исходное уравнение:

$(k\sqrt{6})^3 - 2(k\sqrt{6}) - 4\sqrt{6} = 0$

Раскроем скобки и упростим:

$k^3 \cdot (\sqrt{6})^3 - 2k\sqrt{6} - 4\sqrt{6} = 0$

$k^3 \cdot 6\sqrt{6} - 2k\sqrt{6} - 4\sqrt{6} = 0$

Вынесем $\sqrt{6}$ за скобки:

$\sqrt{6}(6k^3 - 2k - 4) = 0$

Поскольку $\sqrt{6} \neq 0$, то должно выполняться равенство:

$6k^3 - 2k - 4 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$3k^3 - k - 2 = 0$

Найдем рациональные корни этого уравнения. Согласно теореме о рациональных корнях, возможные корни — это делители свободного члена (-2), деленные на делители старшего коэффициента (3). Возможные корни: $\pm1, \pm2, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{2}{3}$.

Проверим $k=1$:

$3(1)^3 - 1 - 2 = 3 - 1 - 2 = 0$

Равенство верно, значит $k=1$ является корнем. Таким образом, мы нашли один корень исходного уравнения: $x_1 = 1 \cdot \sqrt{6} = \sqrt{6}$.

Теперь, зная один корень, мы можем разложить многочлен $x^3 - 2x - 4\sqrt{6}$ на множители, одним из которых будет $(x - \sqrt{6})$. Для этого выполним деление многочлена на $(x - \sqrt{6})$:

$(x^3 - 2x - 4\sqrt{6}) \div (x - \sqrt{6}) = x^2 + \sqrt{6}x + 4$

Таким образом, исходное уравнение можно представить в виде:

$(x - \sqrt{6})(x^2 + \sqrt{6}x + 4) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $x - \sqrt{6} = 0 \implies x_1 = \sqrt{6}$.

2) $x^2 + \sqrt{6}x + 4 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (\sqrt{6})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 6 - 16 = -10$

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Корни будут комплексными. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-\sqrt{6} \pm \sqrt{-10}}{2 \cdot 1} = \frac{-\sqrt{6} \pm i\sqrt{10}}{2}$

Отсюда получаем два комплексных корня:

$x_2 = \frac{-\sqrt{6} + i\sqrt{10}}{2} = -\frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{10}}{2}$

$x_3 = \frac{-\sqrt{6} - i\sqrt{10}}{2} = -\frac{\sqrt{6}}{2} - i\frac{\sqrt{10}}{2}$

Уравнение имеет один действительный и два комплексно-сопряженных корня.

Ответ: $x_1 = \sqrt{6}$, $x_2 = -\frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{10}}{2}$, $x_3 = -\frac{\sqrt{6}}{2} - i\frac{\sqrt{10}}{2}$.