Номер 70, страница 132, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

70. 1) В квадрат, длина стороны которого равна 4 см, наугад брошена точка А. Какова вероятность того, что точка А не попадет в квадрат, находящийся в первом квадрате, длина стороны которого равна 2 см?

2) В круг, длина радиуса которого равна 4 см, наугад брошена точка В. Найдите вероятность того, что эта точка попадет в круг, находящийся внутри первого круга, длина радиуса которого равна 2 см.

3) Случайным образом выбирается число из промежутка $[-2; 8]$. Найдите вероятность того, что это число является решением неравенства $x^2 - 2x + 8 < 0$.

4) Случайным образом выбирается число из промежутка $[-3; 7]$. Найдите вероятность того, что это число является решением неравенства $x^2 - 2x + 9 \le 0$.

1) Эта задача относится к геометрической вероятности. Вероятность события определяется как отношение меры (в данном случае, площади) благоприятствующей области к мере всей области.

Пусть $S_1$ — это площадь большого квадрата, а $S_2$ — площадь малого квадрата. Сторона большого квадрата $a_1 = 4$ см, следовательно, его площадь $S_1 = a_1^2 = 4^2 = 16$ см². Это общая площадь, куда может попасть точка. Сторона малого квадрата $a_2 = 2$ см, его площадь $S_2 = a_2^2 = 2^2 = 4$ см². Событие, которое нас интересует, — это то, что точка А *не попадет* в малый квадрат. Благоприятной для этого события является область, равная разности площадей большого и малого квадратов. Площадь благоприятного исхода $S_{fav} = S_1 - S_2 = 16 - 4 = 12$ см². Вероятность $P$ данного события равна отношению благоприятной площади к общей площади: $P = \frac{S_{fav}}{S_1} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} = 0.75$.
Ответ: $0.75$

2) Эта задача также на геометрическую вероятность. Вероятность вычисляется как отношение площадей.

Пусть $S_1$ — это площадь большого круга, а $S_2$ — площадь малого круга. Радиус большого круга $R = 4$ см, его площадь $S_1 = \pi R^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi$ см². Это общая площадь. Радиус малого круга $r = 2$ см, его площадь $S_2 = \pi r^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$ см². Событие, которое нас интересует, — это попадание точки в малый круг. Таким образом, площадь малого круга является благоприятной площадью. Вероятность $P$ данного события равна отношению площади малого круга к площади большого круга: $P = \frac{S_2}{S_1} = \frac{4\pi}{16\pi} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} = 0.25$.
Ответ: $0.25$

3) В этой задаче вероятность определяется как отношение длины благоприятного промежутка к длине всего промежутка.

Общий промежуток, из которого выбирается число, — это отрезок $[-2; 8]$. Его длина $L_{total} = 8 - (-2) = 10$. Благоприятным исходом является выбор числа, которое является решением неравенства $x^2 - 2x + 8 < 0$. Рассмотрим квадратный трехчлен $y = x^2 - 2x + 8$. Это парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$). Найдем дискриминант соответствующего уравнения $x^2 - 2x + 8 = 0$: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4 - 32 = -28$. Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ох и полностью расположена над ней. Следовательно, выражение $x^2 - 2x + 8$ всегда положительно при любом значении $x$. Таким образом, неравенство $x^2 - 2x + 8 < 0$ не имеет решений. Множество решений пустое. Длина благоприятного промежутка $L_{fav} = 0$. Вероятность $P$ равна: $P = \frac{L_{fav}}{L_{total}} = \frac{0}{10} = 0$.
Ответ: $0$

4) Эта задача аналогична предыдущей.

Общий промежуток — это отрезок $[-3; 7]$. Его длина $L_{total} = 7 - (-3) = 10$. Нужно найти вероятность того, что случайно выбранное число является решением неравенства $x^2 - 2x + 9 \le 0$. Рассмотрим квадратный трехчлен $y = x^2 - 2x + 9$. Это парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$). Найдем дискриминант уравнения $x^2 - 2x + 9 = 0$: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 4 - 36 = -32$. Дискриминант $D < 0$, поэтому уравнение не имеет действительных корней, а парабола целиком лежит выше оси Ох. Это означает, что выражение $x^2 - 2x + 9$ всегда строго положительно. Следовательно, неравенство $x^2 - 2x + 9 \le 0$ не имеет решений. Длина благоприятного промежутка $L_{fav} = 0$. Вероятность $P$ равна: $P = \frac{L_{fav}}{L_{total}} = \frac{0}{10} = 0$.
Ответ: $0$