Номер 73, страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

73. При каких значениях параметра $a$ корни уравнения $x^3 - 12x^2 + ax - 28 = 0$ образуют арифметическую прогрессию? Найдите эти корни.

Пусть $x_1, x_2, x_3$ — корни данного кубического уравнения $x^3 - 12x^2 + ax - 28 = 0$. По условию, они образуют арифметическую прогрессию. Обозначим их как $b-d, b, b+d$, где $b$ — средний член прогрессии, а $d$ — её разность.

Применим теорему Виета для нашего уравнения:

1. Сумма корней: $x_1 + x_2 + x_3 = (b-d) + b + (b+d) = 3b$.
Из коэффициентов уравнения следует, что $x_1 + x_2 + x_3 = -(-12)/1 = 12$.
Следовательно, $3b = 12$, откуда $b = 4$. Таким образом, один из корней уравнения равен 4.

2. Произведение корней: $x_1 x_2 x_3 = (b-d) \cdot b \cdot (b+d) = b(b^2 - d^2)$.
Из коэффициентов уравнения следует, что $x_1 x_2 x_3 = -(-28)/1 = 28$.
Подставим найденное значение $b=4$:
$4(4^2 - d^2) = 28$
$16 - d^2 = 7$
$d^2 = 16 - 7 = 9$
$d = \pm 3$.

3. Сумма попарных произведений корней: $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = (b-d)b + (b-d)(b+d) + b(b+d) = 3b^2 - d^2$.
Из коэффициентов уравнения следует, что $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = a/1 = a$.
Подставим известные значения $b=4$ и $d^2=9$:
$a = 3(4^2) - 9 = 3(16) - 9 = 48 - 9 = 39$.

Теперь мы можем ответить на оба вопроса задачи.

При каких значениях параметра a корни уравнения образуют арифметическую прогрессию?

На основе проведенных вычислений, единственное значение параметра $a$, при котором корни уравнения образуют арифметическую прогрессию, равно 39.

Ответ: $a=39$.

Найдите эти корни.

Корни прогрессии имеют вид $b-d, b, b+d$. Мы нашли, что $b=4$ и $d=\pm 3$.
При $d=3$ корни: $4-3, 4, 4+3$, то есть $1, 4, 7$.
При $d=-3$ корни: $4-(-3), 4, 4+(-3)$, то есть $7, 4, 1$.
В обоих случаях набор корней один и тот же.

Ответ: $1, 4, 7$.