Номер 77, страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

77. Докажите, что при любом действительном значении x верно неравенство $x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1 > 0$.

Для доказательства неравенства $x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1 > 0$ для любого действительного $x$, разобьем все возможные значения $x$ на три промежутка и рассмотрим каждый из них по отдельности.

Случай 1: $x \ge 1$

Сгруппируем слагаемые в левой части неравенства следующим образом:

$(x^{12} - x^9) + (x^4 - x) + 1$

Вынесем общие множители за скобки:

$x^9(x^3 - 1) + x(x^3 - 1) + 1$

Рассмотрим каждое слагаемое при $x \ge 1$:

1. Так как $x \ge 1$, то $x^3 \ge 1^3 = 1$, следовательно, $x^3 - 1 \ge 0$. Также $x^9 \ge 1^9 = 1 > 0$. Произведение двух неотрицательных чисел неотрицательно: $x^9(x^3 - 1) \ge 0$.

2. Аналогично, $x \ge 1 > 0$ и $x^3 - 1 \ge 0$. Следовательно, их произведение $x(x^3 - 1) \ge 0$.

3. Слагаемое $1$ является положительным числом.

Таким образом, левая часть неравенства представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых и единицы:

$x^9(x^3 - 1) + x(x^3 - 1) + 1 \ge 0 + 0 + 1 = 1$.

Поскольку $1 > 0$, то и все выражение строго больше нуля при $x \ge 1$.

Случай 2: $0 \le x < 1$

В этом случае сгруппируем слагаемые иначе:

$x^{12} + (x^4 - x^9) + (1 - x)$

Вынесем $x^4$ за скобки во второй группе:

$x^{12} + x^4(1 - x^5) + (1 - x)$

Рассмотрим каждое слагаемое при $0 \le x < 1$:

1. $x^{12}$ — степень с четным показателем, поэтому $x^{12} \ge 0$.

2. Так как $0 \le x < 1$, то $x^5 < 1^5 = 1$, а значит $1 - x^5 > 0$. Также $x^4 \ge 0$. Следовательно, произведение $x^4(1 - x^5) \ge 0$.

3. Так как $x < 1$, то $1 - x > 0$.

В итоге мы имеем сумму двух неотрицательных слагаемых ($x^{12}$ и $x^4(1 - x^5)$) и одного строго положительного слагаемого ($1 - x$). Их сумма всегда будет строго положительной. Если $x=0$, то выражение равно $0+0+1=1>0$. Если $0 < x < 1$, то все три слагаемых $x^{12}$, $x^4(1 - x^5)$ и $(1 - x)$ строго положительны, и их сумма тем более положительна. Следовательно, при $0 \le x < 1$ неравенство также выполняется.

Случай 3: $x < 0$

Рассмотрим левую часть неравенства $x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1$.

При $x < 0$ имеем:

1. $x^{12} > 0$, так как $x$ возводится в четную степень.

2. $x^9 < 0$, так как $x$ отрицателен и возводится в нечетную степень. Тогда $-x^9 > 0$.

3. $x^4 > 0$, так как $x$ возводится в четную степень.

4. $-x > 0$, так как $x$ отрицателен.

5. $1 > 0$.

Таким образом, выражение $x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1$ можно представить как сумму пяти строго положительных слагаемых: $x^{12} + (-x^9) + x^4 + (-x) + 1$. Сумма положительных чисел всегда положительна.

Следовательно, при $x < 0$ неравенство также верно.

Мы рассмотрели все возможные действительные значения $x$ и в каждом случае показали, что неравенство $x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1 > 0$ выполняется. Таким образом, неравенство верно при любом действительном значении $x$.

Ответ: Неравенство доказано. Мы показали, что для всех действительных $x$ выражение $x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1$ строго положительно, рассмотрев три случая: $x \ge 1$, $0 \le x < 1$ и $x < 0$.