Номер 82, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

82. Используя метод математической индукции, докажите: $2^n \ge 2n + 1$ при $n \in \mathbb{N}$ и $n \ge 3$.

Дано:

$n \in N$, $n \ge 3$.

Найти:

Доказать, что $2^n \ge 2n + 1$.

Решение:

Для доказательства неравенства воспользуемся методом математической индукции, который состоит из двух шагов: проверки базы индукции и доказательства индукционного шага.

1. База индукции

Проверим, выполняется ли данное неравенство для наименьшего возможного натурального числа $n$ из указанного промежутка, то есть для $n=3$.

Подставляем $n=3$ в неравенство:

$2^3 \ge 2 \cdot 3 + 1$

$8 \ge 6 + 1$

$8 \ge 7$

Неравенство является верным, так как 8 больше 7. Таким образом, база индукции выполняется.

2. Индукционный шаг

Сформулируем индукционное предположение. Предположим, что неравенство справедливо для некоторого произвольного натурального числа $k$, такого что $k \ge 3$. То есть, мы считаем верным, что:

$2^k \ge 2k + 1$

Теперь, основываясь на этом предположении, докажем, что неравенство будет верным и для следующего натурального числа, то есть для $n = k + 1$. Нам необходимо доказать истинность следующего неравенства:

$2^{k+1} \ge 2(k+1) + 1$

Начнем с левой части доказываемого неравенства. Преобразуем ее, используя свойство степеней:

$2^{k+1} = 2 \cdot 2^k$

Согласно нашему индукционному предположению, $2^k \ge 2k + 1$. Умножим обе части этого неравенства на 2 (так как 2 > 0, знак неравенства не изменится):

$2 \cdot 2^k \ge 2 \cdot (2k + 1)$

$2^{k+1} \ge 4k + 2$

Мы хотим доказать, что $2^{k+1} \ge 2(k+1) + 1$, что эквивалентно $2^{k+1} \ge 2k + 3$.

Мы уже показали, что $2^{k+1} \ge 4k + 2$. Теперь нам нужно сравнить $4k+2$ с $2k+3$. Если мы докажем, что $4k+2 \ge 2k+3$ для всех $k \ge 3$, то по свойству транзитивности мы сможем заключить, что $2^{k+1} \ge 2k+3$.

Проверим неравенство $4k+2 \ge 2k+3$:

$4k - 2k \ge 3 - 2$

$2k \ge 1$

$k \ge \frac{1}{2}$

Поскольку по условию индукции мы рассматриваем $k \ge 3$, то условие $k \ge \frac{1}{2}$ заведомо выполняется. Это означает, что $4k+2 \ge 2k+3$ для всех наших $k$.

Таким образом, мы можем построить следующую цепочку неравенств:

$2^{k+1} \ge 4k+2 \ge 2k+3$

Из этой цепочки следует, что $2^{k+1} \ge 2k+3$, а это и есть неравенство $2^{k+1} \ge 2(k+1)+1$.

Индукционный шаг доказан. Из истинности утверждения для $n=k$ следует его истинность для $n=k+1$.

Поскольку база индукции верна и индукционный шаг доказан, то, согласно методу математической индукции, неравенство $2^n \ge 2n + 1$ справедливо для всех натуральных чисел $n \ge 3$.

Ответ: Неравенство $2^n \ge 2n + 1$ для всех натуральных чисел $n$ при $n \ge 3$ доказано.