Номер 86, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

86. 1) Найдите число четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 2, 4, 7, 8, при условии, что ни одна цифра не повторяется дважды;

2) найдите число способов раскрасить прямоугольник, ромб и квадрат тремя различными цветами: синим, красным, зеленым.

1) Нам необходимо найти количество четырехзначных чисел, которые можно составить из набора четырех различных цифр: {2, 4, 7, 8}. Условие "ни одна цифра не повторяется дважды" означает, что все цифры в числе должны быть уникальными. Так как у нас всего 4 цифры и мы составляем четырехзначные числа, мы должны использовать все предоставленные цифры ровно по одному разу.
Эта задача сводится к нахождению числа перестановок из 4 элементов.
Рассуждать можно следующим образом:
- На место тысяч можно поставить любую из 4 цифр. Количество вариантов: 4.
- После выбора первой цифры, на место сотен можно поставить любую из оставшихся 3 цифр. Количество вариантов: 3.
- На место десятков можно поставить любую из оставшихся 2 цифр. Количество вариантов: 2.
- На место единиц останется последняя, 1 цифра. Количество вариантов: 1.
Чтобы найти общее количество возможных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции, используя комбинаторное правило произведения.
Число перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$. В данном случае $n=4$.
$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
Следовательно, можно составить 24 уникальных четырехзначных числа.
Ответ: 24.

2) Нам нужно найти количество способов раскрасить три различные фигуры (прямоугольник, ромб, квадрат) тремя различными цветами (синий, красный, зеленый). Условие задачи можно интерпретировать так, что для каждой фигуры используется ровно один цвет, и все три цвета должны быть использованы. Это означает, что каждой фигуре должен соответствовать уникальный цвет.
Задача аналогична предыдущей и сводится к нахождению числа перестановок из 3 элементов (цветов) для 3 объектов (фигур).
Рассуждаем по шагам:
- Для первой фигуры (например, прямоугольника) можно выбрать любой из 3 цветов. Количество способов: 3.
- Для второй фигуры (например, ромба) останется на выбор 2 цвета, так как один уже использован. Количество способов: 2.
- Для третьей фигуры (квадрата) останется только 1 последний цвет. Количество способов: 1.
Общее число способов раскраски находим по правилу произведения, перемножая количество вариантов для каждой фигуры.
Число перестановок из 3 элементов: $P_3 = 3!$.
$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
Таким образом, существует 6 различных способов раскрасить три фигуры тремя цветами.
Ответ: 6.