Номер 92, страница 135, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

92. В разложении $(2x + \frac{1}{x})^4$ по степеням $x$ найдите одночлен:

1) содержащий $x^2$;

2) не содержащий $x$.

Для нахождения нужного члена разложения воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$

В нашем случае дано выражение $(2x + \frac{1}{x})^4$, где $a = 2x$, $b = \frac{1}{x}$ и $n=4$.

Общий член разложения $T_{k+1}$ (где k изменяется от 0 до 4) имеет вид:

$T_{k+1} = C_4^k (2x)^{4-k} \left(\frac{1}{x}\right)^k = C_4^k 2^{4-k} x^{4-k} x^{-k} = C_4^k 2^{4-k} x^{4-2k}$

1) содержащий $x^2$

Чтобы найти одночлен, содержащий $x^2$, необходимо, чтобы степень $x$ в общем члене была равна 2. Составим и решим уравнение:

$4 - 2k = 2$

$2k = 4 - 2$

$2k = 2$

$k = 1$

Поскольку $k=1$ является целым числом в диапазоне от 0 до 4, такой член существует. Это будет второй член разложения ($k+1=2$). Подставим $k=1$ в формулу общего члена, чтобы найти его:

$T_{1+1} = T_2 = C_4^1 \cdot 2^{4-1} \cdot x^{4-2 \cdot 1} = \frac{4!}{1!(4-1)!} \cdot 2^3 \cdot x^2 = 4 \cdot 8 \cdot x^2 = 32x^2$

Ответ: $32x^2$.

2) не содержащий x

Одночлен не содержит $x$, если степень переменной $x$ равна 0 (т.е. $x^0 = 1$). Составим и решим уравнение для степени $x$:

$4 - 2k = 0$

$2k = 4$

$k = 2$

Поскольку $k=2$ является целым числом в диапазоне от 0 до 4, такой член (свободный член) существует. Это будет третий член разложения ($k+1=3$). Подставим $k=2$ в формулу общего члена:

$T_{2+1} = T_3 = C_4^2 \cdot 2^{4-2} \cdot x^{4-2 \cdot 2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} \cdot 2^2 \cdot x^0 = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} \cdot 4 \cdot 1 = 6 \cdot 4 = 24$

Ответ: $24$.