Номер 85, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

85. Преобразуйте выражение: $\sin\alpha + \sin(\alpha + \phi) + \sin(\alpha + 2\phi) + \dots + \sin(\alpha + n)$

Заданное выражение: $S = \sin(\alpha) + \sin(\alpha + \phi) + \sin(\alpha + 2\phi) + \dots + \sin(\alpha + n)$. В выражении, скорее всего, присутствует опечатка. Стандартная задача такого типа предполагает, что аргументы тригонометрических функций образуют арифметическую прогрессию. В данном случае последний член $\sin(\alpha+n)$ выбивается из последовательности $\sin(\alpha), \sin(\alpha+\phi), \sin(\alpha+2\phi), \dots$. Будем считать, что имелся в виду последний член $\sin(\alpha+n\phi)$. Таким образом, решаем задачу для суммы, где есть $n+1$ слагаемое: $S = \sin(\alpha) + \sin(\alpha + \phi) + \sin(\alpha + 2\phi) + \dots + \sin(\alpha + n\phi)$.

Это сумма синусов, углы которых составляют арифметическую прогрессию с первым членом $\alpha$, разностью $\phi$ и количеством членов $n+1$. Для нахождения этой суммы рассмотрим два случая, в зависимости от значения $\phi$.

Первый случай: $\phi = 2\pi k$ для некоторого целого числа $k$.

В этом случае $\sin(\frac{\phi}{2}) = \sin(\pi k) = 0$. Каждый член суммы равен $\sin(\alpha + m \cdot 2\pi k) = \sin(\alpha)$. Сумма состоит из $n+1$ одинаковых слагаемых, поэтому: $S = (n+1)\sin(\alpha)$.

Второй случай: $\phi \neq 2\pi k$ для любого целого числа $k$.

В этом случае $\sin(\frac{\phi}{2}) \neq 0$. Умножим обе части выражения для $S$ на $2\sin(\frac{\phi}{2})$: $2S\sin(\frac{\phi}{2}) = 2\sin(\alpha)\sin(\frac{\phi}{2}) + 2\sin(\alpha + \phi)\sin(\frac{\phi}{2}) + \dots + 2\sin(\alpha + n\phi)\sin(\frac{\phi}{2})$.

Используем формулу произведения синусов: $2\sin(A)\sin(B) = \cos(A-B) - \cos(A+B)$. Применим ее к каждому слагаемому в правой части равенства. Для общего члена суммы $\sin(\alpha + m\phi)$ имеем: $2\sin(\alpha + m\phi)\sin(\frac{\phi}{2}) = \cos(\alpha + m\phi - \frac{\phi}{2}) - \cos(\alpha + m\phi + \frac{\phi}{2}) = \cos(\alpha + (m - \frac{1}{2})\phi) - \cos(\alpha + (m + \frac{1}{2})\phi)$.

Подставив это в выражение для $2S\sin(\frac{\phi}{2})$, получим телескопическую сумму: $2S\sin(\frac{\phi}{2}) = [\cos(\alpha - \frac{\phi}{2}) - \cos(\alpha + \frac{\phi}{2})] + [\cos(\alpha + \frac{\phi}{2}) - \cos(\alpha + \frac{3\phi}{2})] + \dots + [\cos(\alpha + (n - \frac{1}{2})\phi) - \cos(\alpha + (n + \frac{1}{2})\phi)]$.

Все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются. Например, $-\cos(\alpha + \frac{\phi}{2})$ из первой скобки сокращается с $\cos(\alpha + \frac{\phi}{2})$ из второй скобки. Остаются только первый член из первой скобки и последний член из последней скобки: $2S\sin(\frac{\phi}{2}) = \cos(\alpha - \frac{\phi}{2}) - \cos(\alpha + (n + \frac{1}{2})\phi)$.

Теперь применим формулу разности косинусов: $\cos(X) - \cos(Y) = 2\sin(\frac{X+Y}{2})\sin(\frac{Y-X}{2})$. В нашем случае $X = \alpha - \frac{\phi}{2}$ и $Y = \alpha + (n + \frac{1}{2})\phi$. Тогда: $\frac{X+Y}{2} = \frac{(\alpha - \frac{\phi}{2}) + (\alpha + (n + \frac{1}{2})\phi)}{2} = \frac{2\alpha + n\phi}{2} = \alpha + \frac{n\phi}{2}$. $\frac{Y-X}{2} = \frac{(\alpha + (n + \frac{1}{2})\phi) - (\alpha - \frac{\phi}{2})}{2} = \frac{n\phi + \phi}{2} = \frac{(n+1)\phi}{2}$.

Подставляя эти выражения, получаем: $2S\sin(\frac{\phi}{2}) = 2\sin(\alpha + \frac{n\phi}{2})\sin(\frac{(n+1)\phi}{2})$.

Так как $\sin(\frac{\phi}{2}) \neq 0$, мы можем разделить обе части на $2\sin(\frac{\phi}{2})$: $S = \frac{\sin(\frac{(n+1)\phi}{2})\sin(\alpha + \frac{n\phi}{2})}{\sin(\frac{\phi}{2})}$.

Можно заметить, что если взять предел этого выражения при $\phi \to 2\pi k$, то получится результат из первого случая, $(n+1)\sin(\alpha)$. Поэтому данная формула является общим решением, если считать ее значение в точках $\phi = 2\pi k$ равным ее пределу.

Ответ: Предполагая, что в условии задачи опечатка и последний член суммы равен $\sin(\alpha+n\phi)$, выражение преобразуется следующим образом: если $\phi = 2\pi k$ для некоторого целого $k$, то сумма равна $(n+1)\sin(\alpha)$. Если $\phi \neq 2\pi k$, то сумма равна $\frac{\sin(\frac{(n+1)\phi}{2})\sin(\alpha + \frac{n\phi}{2})}{\sin(\frac{\phi}{2})}$.