Номер 91, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

91. 1) Абонент забыл последние 2 цифры номера телефона. Какое максимальное число номеров ему нужно перебрать, если он знает, что две последние цифры различны и нечетные?

2) Из 30 вопросов к экзамену учащийся 22 выучил, 4 совсем не смотрел, а в остальных что-то знает, а что-то нет. На экзамене в билетах будет три вопроса. Сколько из них тех, в которых учащийся знает ответы на все вопросы?

1)Для решения задачи необходимо определить количество возможных комбинаций для двух последних цифр телефонного номера, исходя из заданных условий. Условия следующие: две последние цифры различны и обе являются нечетными.
Сначала определим множество нечетных цифр: {1, 3, 5, 7, 9}. Всего в этом множестве 5 цифр.
Нам нужно выбрать две разные цифры из этого множества и расположить их в определенном порядке, так как порядок цифр в номере важен (например, 13 и 31 — это разные окончания номера). Это задача на нахождение числа размещений.
Для выбора предпоследней цифры есть 5 вариантов (любая из нечетных).
Поскольку последняя цифра должна быть нечетной и отличаться от первой, для ее выбора остается $5 - 1 = 4$ варианта.
Общее количество возможных комбинаций равно произведению числа вариантов для каждой позиции: $5 \times 4 = 20$.
Это же значение можно получить, используя формулу для числа размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. В нашем случае $n=5$ (количество нечетных цифр) и $k=2$ (количество забытых цифр).
$A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3!} = 5 \times 4 = 20$.
Таким образом, максимальное число номеров, которое нужно перебрать, равно 20.
Ответ: 20

2)В данной задаче требуется найти количество экзаменационных билетов, в которых студент знает ответы на все вопросы.
Известно, что студент выучил 22 вопроса из 30, а в каждом билете содержится 3 вопроса. Чтобы студент знал ответы на все вопросы в билете, все три вопроса должны быть выбраны из числа 22-х выученных.
Порядок вопросов в билете не имеет значения, поэтому для нахождения искомого количества билетов необходимо использовать формулу для числа сочетаний.
Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
В нашем случае $n=22$ (количество выученных вопросов), а $k=3$ (количество вопросов в билете).
Подставляем значения в формулу:
$C_{22}^3 = \frac{22!}{3!(22-3)!} = \frac{22!}{3! \cdot 19!} = \frac{22 \times 21 \times 20}{3 \times 2 \times 1}$.
Выполним вычисления:
$C_{22}^3 = \frac{9240}{6} = 1540$.
Следовательно, существует 1540 билетов, в которых студент знает ответы на все три вопроса.
Ответ: 1540