Номер 71, страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

71. Решите уравнение:

$(3x-1)(\sqrt{x}+3x-1)=2x.$

Исходное уравнение: $(3x-1)(\sqrt{x} + 3x - 1) = 2x$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Так как в уравнении присутствует квадратный корень из $x$, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$x \ge 0$.

Для решения уравнения введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{x}$. Так как арифметический квадратный корень всегда неотрицателен, то $y \ge 0$. Из замены следует, что $x = y^2$.

Подставим $y$ в исходное уравнение:

$(3y^2 - 1)(y + 3y^2 - 1) = 2y^2$.

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$3y^2 \cdot y + 3y^2 \cdot (3y^2 - 1) - 1 \cdot y - 1 \cdot (3y^2 - 1) = 2y^2$

$3y^3 + 9y^4 - 3y^2 - y - 3y^2 + 1 = 2y^2$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные члены:

$9y^4 + 3y^3 - 6y^2 - y + 1 - 2y^2 = 0$

$9y^4 + 3y^3 - 8y^2 - y + 1 = 0$.

Мы получили полиномиальное уравнение четвертой степени. Попробуем найти его рациональные корни с помощью теоремы о рациональных корнях. Возможные рациональные корни имеют вид $p/q$, где $p$ — делитель свободного члена (1), а $q$ — делитель старшего коэффициента (9). Таким образом, кандидатами в корни являются: $\pm 1, \pm 1/3, \pm 1/9$.

Проверим корень $y = 1/3$:

$9\left(\frac{1}{3}\right)^4 + 3\left(\frac{1}{3}\right)^3 - 8\left(\frac{1}{3}\right)^2 - \frac{1}{3} + 1 = 9\left(\frac{1}{81}\right) + 3\left(\frac{1}{27}\right) - 8\left(\frac{1}{9}\right) - \frac{1}{3} + 1 = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{8}{9} - \frac{3}{9} + \frac{9}{9} = \frac{1+1-8-3+9}{9} = \frac{0}{9} = 0$.

Значит, $y = 1/3$ является корнем уравнения. Этот корень удовлетворяет условию $y \ge 0$.

Поскольку $y = 1/3$ — корень, многочлен делится на $(y - 1/3)$, или, что удобнее, на $(3y-1)$. Выполним деление многочлена $9y^4 + 3y^3 - 8y^2 - y + 1$ на $(3y-1)$ столбиком:

$(9y^4 + 3y^3 - 8y^2 - y + 1) \div (3y-1) = 3y^3 + 2y^2 - 2y - 1$.

Теперь уравнение можно записать в виде произведения:

$(3y-1)(3y^3 + 2y^2 - 2y - 1) = 0$.

Один корень мы уже нашли: $3y-1=0 \implies y_1 = 1/3$.

Теперь решим кубическое уравнение $3y^3 + 2y^2 - 2y - 1 = 0$.

Снова проверим возможные рациональные корни $(\pm 1, \pm 1/3)$. Проверим $y = -1$:

$3(-1)^3 + 2(-1)^2 - 2(-1) - 1 = -3 + 2 + 2 - 1 = 0$.

Значит, $y = -1$ является корнем. Однако этот корень не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому он является посторонним для нашей задачи.

Разделим кубический многочлен $3y^3 + 2y^2 - 2y - 1$ на $(y+1)$:

$(3y^3 + 2y^2 - 2y - 1) \div (y+1) = 3y^2 - y - 1$.

Осталось решить квадратное уравнение $3y^2 - y - 1 = 0$.

Найдем его корни по формуле:

$y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$.

Получаем два значения для $y$:

$y_2 = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$. Этот корень положителен, так как $1+\sqrt{13} > 0$, и удовлетворяет условию $y \ge 0$.

$y_3 = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$. Этот корень отрицателен, так как $\sqrt{13} > \sqrt{1}=1$, и не удовлетворяет условию $y \ge 0$, значит, это посторонний корень.

Итак, мы получили два подходящих корня для $y$: $y_1 = 1/3$ и $y_2 = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$.

Теперь выполним обратную замену $x = y^2$, чтобы найти корни исходного уравнения.

1. Для $y_1 = 1/3$:

$x_1 = (1/3)^2 = 1/9$.

2. Для $y_2 = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$:

$x_2 = \left(\frac{1 + \sqrt{13}}{6}\right)^2 = \frac{1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{13} + (\sqrt{13})^2}{36} = \frac{1 + 2\sqrt{13} + 13}{36} = \frac{14 + 2\sqrt{13}}{36} = \frac{7 + \sqrt{13}}{18}$.

Оба найденных значения $x$ положительны, следовательно, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = \frac{1}{9}, x_2 = \frac{7 + \sqrt{13}}{18}$.