Номер 74, страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

74. При каких значениях параметра $a$ корни уравнения $x^3 + ax^2 + 48x - 27 = 0$ образуют геометрическую прогрессию?

Пусть $x_1$, $x_2$, $x_3$ — корни данного кубического уравнения $x^3 + ax^2 + 48x - 27 = 0$. По условию, эти корни образуют геометрическую прогрессию. Удобно представить такие три числа в виде $b/q$, $b$, $bq$, где $b$ — средний член прогрессии, а $q$ — её знаменатель ($b \neq 0$, $q \neq 0$).

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для кубического уравнения. Для уравнения вида $x^3 + Px^2 + Qx + R = 0$ с корнями $x_1, x_2, x_3$ справедливы следующие соотношения:

$x_1 + x_2 + x_3 = -P$

$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = Q$

$x_1x_2x_3 = -R$

Применительно к нашему уравнению $x^3 + ax^2 + 48x - 27 = 0$, имеем:

1) $x_1 + x_2 + x_3 = -a$

2) $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = 48$

3) $x_1x_2x_3 = -(-27) = 27$

Подставим наши обозначения корней, $x_1=b/q$, $x_2=b$, $x_3=bq$, в третье соотношение Виета, которое связывает произведение корней:

$x_1x_2x_3 = \frac{b}{q} \cdot b \cdot bq = b^3$

Из этого следует, что $b^3 = 27$.

Находим действительное значение $b$, которое является средним членом прогрессии и одним из корней уравнения:

$b = \sqrt[3]{27} = 3$

Теперь мы знаем, что один из корней уравнения равен 3. Любой корень уравнения при подстановке в него обращает уравнение в верное числовое равенство. Подставим $x=3$ в исходное уравнение, чтобы найти значение параметра $a$:

$3^3 + a \cdot 3^2 + 48 \cdot 3 - 27 = 0$

Выполним вычисления:

$27 + 9a + 144 - 27 = 0$

$9a + 144 = 0$

$9a = -144$

$a = -\frac{144}{9} = -16$

Таким образом, мы нашли единственное возможное значение параметра $a$. Для полноты решения убедимся, что при $a=-16$ корни уравнения действительно образуют геометрическую прогрессию.

При $a=-16$ уравнение принимает вид: $x^3 - 16x^2 + 48x - 27 = 0$.

Мы знаем, что $x=3$ является корнем. Используя вторую и третью теоремы Виета, найдем остальные корни. Сумма всех корней равна $-(-16)=16$, а их произведение равно $27$. Если $x_2=3$, то сумма двух других корней $x_1+x_3 = 16-3=13$, а их произведение $x_1x_3 = 27/3 = 9$.

Два числа, сумма которых равна 13, а произведение 9, являются корнями квадратного уравнения $z^2 - 13z + 9 = 0$. Три корня исходного уравнения — это $3$ и корни этого квадратного уравнения.

Проверим условие геометрической прогрессии: квадрат среднего члена должен быть равен произведению двух крайних. Если $3$ является средним членом, то $3^2 = 9$. Произведение двух других корней $x_1x_3$ также равно $9$. Условие выполняется, следовательно, при $a=-16$ корни образуют геометрическую прогрессию.

Ответ: $a = -16$.