Страница 140, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

15.27. Четвертый член геометрической прогрессии больше второго на 24, а значение суммы второго и третьего членов этой прогрессии равно 6. Найдите четыре первых члена этой прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Из условия задачи известно, что четвертый член прогрессии больше второго на 24. Это можно записать в виде уравнения:$b_4 = b_2 + 24$.Выразим члены прогрессии через $b_1$ и $q$:$b_1q^3 = b_1q + 24$.

Также известно, что сумма второго и третьего членов равна 6:$b_2 + b_3 = 6$.Выразим эти члены через $b_1$ и $q$:$b_1q + b_1q^2 = 6$.

Мы получили систему двух уравнений с двумя неизвестными:$\begin{cases} b_1q^3 - b_1q = 24 \\ b_1q + b_1q^2 = 6\end{cases}$

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:$\begin{cases} b_1q(q^2 - 1) = 24 \\ b_1q(1 + q) = 6\end{cases}$

Из второго уравнения следует, что $q \neq 0$ и $q \neq -1$, так как в противном случае левая часть была бы равна 0, а не 6. Это позволяет нам разделить первое уравнение на второе:$\frac{b_1q(q^2 - 1)}{b_1q(1 + q)} = \frac{24}{6}$.

Применим формулу разности квадратов $q^2 - 1 = (q-1)(q+1)$ и сократим дробь:$\frac{b_1q(q-1)(q+1)}{b_1q(q+1)} = 4$.$q - 1 = 4$.

Отсюда находим знаменатель прогрессии:$q = 5$.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив значение $q=5$ во второе уравнение системы:$b_1 \cdot 5 \cdot (1 + 5) = 6$.$b_1 \cdot 5 \cdot 6 = 6$.$30b_1 = 6$.$b_1 = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$.

Зная $b_1 = \frac{1}{5}$ и $q=5$, найдем первые четыре члена прогрессии:$b_1 = \frac{1}{5}$.$b_2 = b_1 \cdot q = \frac{1}{5} \cdot 5 = 1$.$b_3 = b_2 \cdot q = 1 \cdot 5 = 5$.$b_4 = b_3 \cdot q = 5 \cdot 5 = 25$.

Ответ: $\frac{1}{5}, 1, 5, 25$.

15.28. Значение суммы трех положительных чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равно 21. Если к этим числам прибавить, соответственно, 1, 1, 5, то получится геометрическая прогрессия. Найдите эти числа.

Пусть три искомых положительных числа, составляющих арифметическую прогрессию, равны $a_1$, $a_2$, $a_3$. Для удобства решения представим эти числа в виде $a-d$, $a$, $a+d$, где $a$ — средний член прогрессии, а $d$ — её разность.

Согласно условию, сумма этих чисел равна 21. Составим уравнение:$(a-d) + a + (a+d) = 21$$3a = 21$$a = 7$

Таким образом, второй член прогрессии равен 7, а сами числа имеют вид: $7-d$, $7$, $7+d$.Поскольку все числа по условию положительные, должны выполняться следующие неравенства:$7-d > 0$, что означает $d < 7$.$7+d > 0$, что означает $d > -7$.Следовательно, разность $d$ должна находиться в интервале $-7 < d < 7$.

Если к этим числам прибавить соответственно 1, 1 и 5, то получатся новые числа:$b_1 = (7-d) + 1 = 8-d$$b_2 = 7 + 1 = 8$$b_3 = (7+d) + 5 = 12+d$

Эти новые числа $b_1$, $b_2$, $b_3$ составляют геометрическую прогрессию. Для любой геометрической прогрессии квадрат среднего члена равен произведению его соседних членов: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.Подставим полученные выражения:$8^2 = (8-d)(12+d)$

Решим это уравнение относительно $d$:$64 = 96 + 8d - 12d - d^2$$64 = 96 - 4d - d^2$Приведем уравнение к стандартному виду:$d^2 + 4d + 64 - 96 = 0$$d^2 + 4d - 32 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144$$d_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{-4 \pm 12}{2}$Получаем два корня:$d_1 = \frac{-4 + 12}{2} = \frac{8}{2} = 4$$d_2 = \frac{-4 - 12}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Проверим найденные значения $d$ на соответствие ранее установленному условию $-7 < d < 7$.Корень $d_1 = 4$ удовлетворяет этому условию.Корень $d_2 = -8$ не удовлетворяет этому условию, так как $-8$ не больше $-7$.Следовательно, единственно верное значение разности прогрессии равно 4.

Теперь мы можем найти исходные числа, подставив значения $a=7$ и $d=4$:Первое число: $a-d = 7 - 4 = 3$.Второе число: $a = 7$.Третье число: $a+d = 7 + 4 = 11$.

Проведем проверку. Числа 3, 7, 11 являются положительными, составляют арифметическую прогрессию с разностью 4, и их сумма $3+7+11=21$. После прибавления 1, 1, 5 получаем числа 4, 8, 16, которые составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Все условия задачи выполнены.

Ответ: 3, 7, 11.

15.29. 1) Между числом 3 и неизвестным числом поставлено еще одно число так, что все три числа составляют арифметическую прогрессию. Если средний член этой прогрессии уменьшить на 6, то получится геометрическая прогрессия. Найдите неизвестное число.

2) $x$, $y$ и $z$ в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию. $x+a$, $y+a$ и $z+a$ также образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.

1) Пусть неизвестное число равно $c$. Между числом 3 и $c$ поставили еще одно число, назовем его $b$, так, что получилась арифметическая прогрессия: $3, b, c$.
По характеристическому свойству арифметической прогрессии, средний член равен среднему арифметическому его соседей:
$b = \frac{3 + c}{2}$
Далее, средний член $b$ уменьшили на 6, и получилась новая последовательность: $3, b-6, c$. Эта последовательность является геометрической прогрессией.
По характеристическому свойству геометрической прогрессии, квадрат среднего члена равен произведению его соседей:
$(b-6)^2 = 3 \cdot c$
Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными $b$ и $c$. Подставим выражение для $b$ из первого уравнения во второе:
$(\frac{3 + c}{2} - 6)^2 = 3c$
Приведем к общему знаменателю выражение в скобках:
$(\frac{3 + c - 12}{2})^2 = 3c$
$(\frac{c - 9}{2})^2 = 3c$
Возведем в квадрат левую часть:
$\frac{(c - 9)^2}{4} = 3c$
$(c - 9)^2 = 12c$
$c^2 - 18c + 81 = 12c$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$c^2 - 30c + 81 = 0$
Решим это уравнение. Можно использовать формулу для корней квадратного уравнения или теорему Виета. Корнями являются числа, сумма которых равна 30, а произведение 81. Это числа 3 и 27.
$c_1 = 3$, $c_2 = 27$.
Оба значения удовлетворяют условию задачи.
Случай 1: Неизвестное число $c = 3$.
Арифметическая прогрессия: 3, 3, 3 (разность $d=0$). Средний член $b=3$.
Новая последовательность: 3, (3-6), 3, то есть 3, -3, 3. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q=-1$.
Случай 2: Неизвестное число $c = 27$.
Арифметическая прогрессия: $b = \frac{3+27}{2} = 15$. Последовательность: 3, 15, 27 (разность $d=12$).
Новая последовательность: 3, (15-6), 27, то есть 3, 9, 27. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q=3$.
Таким образом, неизвестное число может быть равно 3 или 27.

Ответ: 3 или 27.

2) Пусть дана геометрическая прогрессия $x, y, z$ со знаменателем $q$.
Ее члены можно выразить через первый член $x$ и знаменатель $q$:
$y = xq$
$z = xq^2$
Последовательность $x+a, y+a, z+a$ также образует геометрическую прогрессию. По свойству геометрической прогрессии, квадрат среднего члена равен произведению крайних:
$(y+a)^2 = (x+a)(z+a)$
Раскроем скобки в этом равенстве:
$y^2 + 2ay + a^2 = xz + xa + za + a^2$
Для первой прогрессии $x, y, z$ также выполняется свойство $y^2 = xz$. Мы можем сократить эти члены в уравнении:
$2ay = xa + za$
Теперь подставим в это уравнение выражения для $y$ и $z$ через $x$ и $q$:
$2a(xq) = xa + (xq^2)a$
$2axq = ax + axq^2$
Для того чтобы задача имела единственный нетривиальный ответ, будем считать, что $x \neq 0$ и $a \neq 0$. Тогда можно разделить обе части уравнения на $ax$:
$2q = 1 + q^2$
Перенесем все члены в одну сторону:
$q^2 - 2q + 1 = 0$
Это уравнение является полным квадратом:
$(q-1)^2 = 0$
Отсюда следует, что уравнение имеет единственный корень:
$q = 1$

Ответ: 1.

15.30. Найдите длины сторон треугольника, если они выражаются целыми числами, образующими геометрическую прогрессию, а значение их произведения равно $1000 \text{ см}^3$.

Пусть длины сторон треугольника равны $a$, $b$ и $c$.

По условию задачи, эти длины являются целыми числами и образуют геометрическую прогрессию. Для удобства представим три последовательных члена геометрической прогрессии как $\frac{x}{q}$, $x$ и $xq$, где $x$ — средний член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

Таким образом, стороны треугольника можно записать как $a = \frac{x}{q}$, $b = x$, $c = xq$.

Также известно, что произведение длин сторон равно 1000 см³:

$a \cdot b \cdot c = 1000$

Подставим наши выражения для сторон в это уравнение:

$(\frac{x}{q}) \cdot x \cdot (xq) = 1000$

$x^3 = 1000$

Отсюда находим значение среднего члена прогрессии $x$:

$x = \sqrt[3]{1000} = 10$ см.

Это означает, что одна из сторон треугольника равна 10 см. Теперь стороны можно представить как $\frac{10}{q}$, 10 и $10q$.

Поскольку все стороны должны быть целыми числами, то числа $a = \frac{10}{q}$ и $c = 10q$ также должны быть целыми. Если мы перемножим эти два числа, мы получим:

$a \cdot c = \frac{10}{q} \cdot 10q = 100$.

Таким образом, задача сводится к поиску двух целых чисел $a$ и $c$, произведение которых равно 100, и которые вместе со стороной $b = 10$ могут образовать треугольник. Для этого они должны удовлетворять неравенству треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны.

$a + b > c \implies a + 10 > c$

$a + c > b \implies a + c > 10$

$b + c > a \implies 10 + c > a$

Рассмотрим все пары целых положительных чисел $(a, c)$, для которых $a \cdot c = 100$. Будем считать, что $a \le c$, так как порядок сторон не имеет значения.

Случай 1: $a = 1, c = 100$.
Стороны треугольника: 1, 10, 100.
Проверим неравенство: $1 + 10 > 100 \implies 11 > 100$. Это неверно, следовательно, такой треугольник не существует.

Случай 2: $a = 2, c = 50$.
Стороны треугольника: 2, 10, 50.
Проверим неравенство: $2 + 10 > 50 \implies 12 > 50$. Это неверно, такой треугольник не существует.

Случай 3: $a = 4, c = 25$.
Стороны треугольника: 4, 10, 25.
Проверим неравенство: $4 + 10 > 25 \implies 14 > 25$. Это неверно, такой треугольник не существует.

Случай 4: $a = 5, c = 20$.
Стороны треугольника: 5, 10, 20.
Проверим неравенство: $5 + 10 > 20 \implies 15 > 20$. Это неверно, такой треугольник не существует.

Случай 5: $a = 10, c = 10$.
Стороны треугольника: 10, 10, 10.
Проверим неравенство: $10 + 10 > 10 \implies 20 > 10$. Это верно. Остальные неравенства также выполняются. Это равносторонний треугольник.
Стороны (10, 10, 10) являются целыми числами, образуют геометрическую прогрессию (со знаменателем $q=1$) и их произведение равно $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$. Этот вариант удовлетворяет всем условиям задачи.

Мы рассмотрели все возможные целочисленные разложения числа 100 на два множителя, и только один случай приводит к решению.

Ответ: Длины сторон треугольника равны 10 см, 10 см и 10 см.

15.31. Три отличных от нуля числа образуют арифметическую прогрессию, а квадраты этих чисел — геометрическую прогрессию. Найдите знаменатель этой геометрической прогрессии.

Пусть три отличных от нуля числа, образующие арифметическую прогрессию, это $a_1, a_2, a_3$. Для удобства представим их в виде $a-d, a, a+d$, где $a$ — средний член прогрессии, а $d$ — её разность. По условию, все три числа не равны нулю: $a \neq 0$, $a-d \neq 0$, $a+d \neq 0$.

Квадраты этих чисел, $(a-d)^2, a^2, (a+d)^2$, образуют геометрическую прогрессию. Обозначим знаменатель этой прогрессии как $q$.

Основное свойство геометрической прогрессии заключается в том, что квадрат любого её члена (кроме первого) равен произведению соседних с ним членов. Применительно к нашей последовательности квадратов это означает: $(a^2)^2 = (a-d)^2 \cdot (a+d)^2$

Упростим это уравнение: $a^4 = ((a-d)(a+d))^2$
$a^4 = (a^2 - d^2)^2$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два возможных случая:
1) $a^2 = a^2 - d^2$
2) $a^2 = -(a^2 - d^2)$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: $a^2 = a^2 - d^2$.
Из этого уравнения следует, что $d^2 = 0$, то есть $d=0$. В этом случае все три члена арифметической прогрессии равны между собой: $a, a, a$. Так как по условию они отличны от нуля, $a \neq 0$. Квадраты этих чисел также равны: $a^2, a^2, a^2$. Эта последовательность является геометрической прогрессией, знаменатель которой $q = \frac{a^2}{a^2} = 1$.

Случай 2: $a^2 = -(a^2 - d^2)$.
$a^2 = -a^2 + d^2$
$2a^2 = d^2$
Поскольку по условию $a \neq 0$, то и $d \neq 0$, значит, все три числа в арифметической прогрессии различны. Найдем знаменатель геометрической прогрессии $q$: $q = \frac{a^2}{(a-d)^2} = \left(\frac{a}{a-d}\right)^2 = \left(\frac{1}{1-d/a}\right)^2$
Из соотношения $2a^2 = d^2$ найдем отношение $d/a$: $\frac{d^2}{a^2} = 2$, откуда $\frac{d}{a} = \pm\sqrt{2}$.

Подставим эти значения в формулу для $q$.
Если $\frac{d}{a} = \sqrt{2}$, то $q = \left(\frac{1}{1-\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{(1-\sqrt{2})^2} = \frac{1}{1 - 2\sqrt{2} + 2} = \frac{1}{3-2\sqrt{2}}$. Рационализируем знаменатель: $q = \frac{1 \cdot (3+2\sqrt{2})}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})} = \frac{3+2\sqrt{2}}{9-8} = 3+2\sqrt{2}$.
Если $\frac{d}{a} = -\sqrt{2}$, то $q = \left(\frac{1}{1-(-\sqrt{2})}\right)^2 = \left(\frac{1}{1+\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{1+2\sqrt{2}+2} = \frac{1}{3+2\sqrt{2}}$. Рационализируем знаменатель: $q = \frac{1 \cdot (3-2\sqrt{2})}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})} = \frac{3-2\sqrt{2}}{9-8} = 3-2\sqrt{2}$.

Таким образом, существуют три возможных значения для знаменателя геометрической прогрессии. В условии задачи нет уточнений, исключающих какой-либо из этих случаев (например, что числа должны быть различны), поэтому все три являются решением.

Ответ: $1$; $3+2\sqrt{2}$; $3-2\sqrt{2}$.

15.32. Найдите четыре числа, из которых первые три числа составляют геометрическую прогрессию, а последние три числа — арифметическую прогрессию. Значение суммы крайних чисел равно 32, а значение суммы средних чисел равно 24.

Пусть искомые четыре числа — это $a$, $b$, $c$ и $d$.

По условию задачи, первые три числа ($a, b, c$) составляют геометрическую прогрессию. Основное свойство геометрической прогрессии заключается в том, что квадрат среднего члена равен произведению его соседей: $b^2 = ac$ (1)

Последние три числа ($b, c, d$) составляют арифметическую прогрессию. Основное свойство арифметической прогрессии заключается в том, что удвоенный средний член равен сумме его соседей: $2c = b + d$ (2)

Также из условия известна сумма крайних чисел: $a + d = 32$ (3)

И сумма средних чисел: $b + c = 24$ (4)

Мы получили систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными. Решим ее. Из уравнения (4) выразим $c$ через $b$: $c = 24 - b$

Из уравнения (3) выразим $d$ через $a$: $d = 32 - a$

Подставим эти выражения для $c$ и $d$ в уравнение (2): $2(24 - b) = b + (32 - a)$
$48 - 2b = b + 32 - a$
$a = 3b + 32 - 48$
$a = 3b - 16$

Теперь у нас есть выражения для $a$ и $c$ через $b$. Подставим их в уравнение (1): $b^2 = a \cdot c$
$b^2 = (3b - 16)(24 - b)$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $b$: $b^2 = 72b - 3b^2 - 384 + 16b$
$b^2 = -3b^2 + 88b - 384$
$4b^2 - 88b + 384 = 0$

Разделим все члены уравнения на 4 для упрощения: $b^2 - 22b + 96 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 22, а их произведение равно 96. Этим условиям удовлетворяют числа 6 и 16. Следовательно, у нас есть два возможных значения для $b$: $b_1 = 6$ и $b_2 = 16$.

Таким образом, существуют два возможных набора чисел. Рассмотрим каждый из них.

Случай 1: $b = 6$
Найдем остальные числа, используя полученные ранее формулы:
$c = 24 - b = 24 - 6 = 18$
$a = 3b - 16 = 3(6) - 16 = 18 - 16 = 2$
$d = 32 - a = 32 - 2 = 30$
Получаем последовательность чисел: 2, 6, 18, 30.
Проверим выполнение условий: - Первые три числа (2, 6, 18) образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q = 3$. - Последние три числа (6, 18, 30) образуют арифметическую прогрессию с разностью $r = 12$. - Сумма крайних чисел: $2 + 30 = 32$. - Сумма средних чисел: $6 + 18 = 24$.
Все условия выполняются.

Случай 2: $b = 16$
Найдем остальные числа:
$c = 24 - b = 24 - 16 = 8$
$a = 3b - 16 = 3(16) - 16 = 48 - 16 = 32$
$d = 32 - a = 32 - 32 = 0$
Получаем последовательность чисел: 32, 16, 8, 0.
Проверим выполнение условий: - Первые три числа (32, 16, 8) образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q = 1/2$. - Последние три числа (16, 8, 0) образуют арифметическую прогрессию с разностью $r = -8$. - Сумма крайних чисел: $32 + 0 = 32$. - Сумма средних чисел: $16 + 8 = 24$.
Все условия выполняются.

Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: искомые числа — это 2, 6, 18, 30 или 32, 16, 8, 0.

15.33. При каком значении параметра $a$ имеет единственное решение система уравнений:

1) $\begin{cases} 2x + y^2 = 1, \\ x + y = a; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ x + y = a; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 + y^2 = a, \\ x + 2y = 4; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 + y^2 = a, \\ x + y = 3? \end{cases}$

1) Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} 2x + y^2 = 1 \\ x + y = a \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $x$: $x = a - y$. Подставим это выражение в первое уравнение:
$2(a - y) + y^2 = 1$
$2a - 2y + y^2 = 1$
$y^2 - 2y + (2a - 1) = 0$
Это квадратное уравнение относительно переменной $y$. Система будет иметь единственное решение тогда и только тогда, когда это квадратное уравнение имеет единственный корень. Это происходит, когда дискриминант $D$ равен нулю.
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a - 1) = 4 - 8a + 4 = 8 - 8a$.
Приравняем дискриминант к нулю:
$8 - 8a = 0$
$8a = 8$
$a = 1$
Геометрически это означает, что прямая $x+y=a$ является касательной к параболе $y^2 = 1 - 2x$.
Ответ: $a=1$.

2) Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ x + y = a \end{cases} $
Геометрически первое уравнение $x^2 + y^2 = 4$ задает окружность с центром в начале координат (0,0) и радиусом $R=\sqrt{4}=2$. Второе уравнение $x+y=a$ задает семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом -1.
Система имеет единственное решение, когда прямая касается окружности. Это происходит, когда расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу.
Запишем уравнение прямой в виде $x + y - a = 0$. Расстояние $d$ от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax+By+C=0$ вычисляется по формуле $d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$.
В нашем случае $(x_0, y_0) = (0,0)$, $A=1$, $B=1$, $C=-a$, и $R=2$.
$d = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - a|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|-a|}{\sqrt{2}} = \frac{|a|}{\sqrt{2}}$.
Приравниваем расстояние радиусу:
$\frac{|a|}{\sqrt{2}} = 2 \implies |a| = 2\sqrt{2}$.
Отсюда получаем два возможных значения для $a$: $a = 2\sqrt{2}$ и $a = -2\sqrt{2}$.
Ответ: $a = \pm 2\sqrt{2}$.

3) Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = a \\ x + 2y = 4 \end{cases} $
Первое уравнение $x^2 + y^2 = a$ задает окружность с центром в (0,0) и радиусом $R=\sqrt{a}$. Для существования окружности необходимо условие $a \ge 0$. Второе уравнение $x + 2y = 4$ задает фиксированную прямую.
Система будет иметь единственное решение, если прямая является касательной к окружности. Это значит, что расстояние от центра окружности (0,0) до прямой $x+2y-4=0$ должно быть равно радиусу $R=\sqrt{a}$.
Найдем расстояние $d$:
$d = \frac{|1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 4|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{1+4}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$.
Приравниваем радиус к расстоянию:
$\sqrt{a} = \frac{4}{\sqrt{5}}$
Возводим обе части в квадрат:
$a = \left(\frac{4}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{16}{5} = 3.2$.
Так как $a=3.2 > 0$, это значение является решением.
Ответ: $a = \frac{16}{5}$.

4) Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = a \\ x + y = 3 \end{cases} $
Эта задача аналогична предыдущей. Уравнение $x^2 + y^2 = a$ задает окружность с центром в (0,0) и радиусом $R=\sqrt{a}$ (при $a \ge 0$). Уравнение $x+y=3$ задает фиксированную прямую.
Единственное решение будет при условии касания прямой и окружности. Расстояние от центра (0,0) до прямой $x+y-3=0$ должно быть равно радиусу $\sqrt{a}$.
Найдем расстояние $d$:
$d = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 3|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|-3|}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
Приравниваем радиус к расстоянию:
$\sqrt{a} = \frac{3}{\sqrt{2}}$
Возводим обе части в квадрат:
$a = \left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{9}{2} = 4.5$.
Условие $a \ge 0$ выполнено.
Ответ: $a = \frac{9}{2}$.