Страница 147, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

16.13. 1) В геометрической прогрессии первый член равен $\sqrt{2}$, седьмой член равен $\sqrt{128}$. Найдите значение суммы шести первых членов этой прогрессии.

2) В геометрической прогрессии первый член равен $\sqrt{3}$, пятый член равен $\sqrt{243}$. Найдите значение суммы шести первых членов этой прогрессии.

1)

Дано: геометрическая прогрессия, в которой первый член $b_1 = \sqrt{2}$ и седьмой член $b_7 = \sqrt{128}$.

Задача: найти сумму шести первых членов прогрессии $S_6$.

1. Сначала найдем знаменатель геометрической прогрессии $q$. Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Для седьмого члена ($n=7$) имеем: $b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = b_1 \cdot q^6$.

2. Упростим значение седьмого члена: $\sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$.

3. Подставим известные значения в формулу:

$8\sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot q^6$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$:

$q^6 = 8$

Из этого уравнения следует, что $q$ может иметь два действительных значения:

$q = \sqrt[6]{8} = (2^3)^{1/6} = 2^{3/6} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$ или $q = -\sqrt[6]{8} = -\sqrt{2}$.

Рассмотрим оба случая.

4. Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Нам нужно найти $S_6$.

Случай 1: $q = \sqrt{2}$

$S_6 = \frac{b_1(q^6 - 1)}{q - 1} = \frac{\sqrt{2}((\sqrt{2})^6 - 1)}{\sqrt{2} - 1}$.

Так как $q^6 = 8$, получаем:

$S_6 = \frac{\sqrt{2}(8 - 1)}{\sqrt{2} - 1} = \frac{7\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2} + 1)$:

$S_6 = \frac{7\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{7\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + 7\sqrt{2} \cdot 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{7 \cdot 2 + 7\sqrt{2}}{2 - 1} = 14 + 7\sqrt{2}$.

Случай 2: $q = -\sqrt{2}$

$S_6 = \frac{b_1(q^6 - 1)}{q - 1} = \frac{\sqrt{2}((-\sqrt{2})^6 - 1)}{-\sqrt{2} - 1}$.

Так как $(-\sqrt{2})^6 = 8$, получаем:

$S_6 = \frac{\sqrt{2}(8 - 1)}{-\sqrt{2} - 1} = \frac{7\sqrt{2}}{-(\sqrt{2} + 1)}$.

Умножим числитель и знаменатель на $(\sqrt{2} - 1)$:

$S_6 = \frac{7\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}{-(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{7 \cdot 2 - 7\sqrt{2}}{-((\sqrt{2})^2 - 1^2)} = \frac{14 - 7\sqrt{2}}{-(2 - 1)} = \frac{14 - 7\sqrt{2}}{-1} = 7\sqrt{2} - 14$.

Ответ: $14 + 7\sqrt{2}$ или $7\sqrt{2} - 14$.

2)

Дано: геометрическая прогрессия, в которой первый член $b_1 = \sqrt{3}$ и пятый член $b_5 = \sqrt{243}$.

Задача: найти сумму шести первых членов прогрессии $S_6$.

1. Найдем знаменатель прогрессии $q$, используя формулу n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Для пятого члена ($n=5$): $b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$.

2. Упростим значение пятого члена: $\sqrt{243} = \sqrt{81 \cdot 3} = 9\sqrt{3}$.

3. Подставим известные значения в формулу:

$9\sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot q^4$

Разделим обе части на $\sqrt{3}$:

$q^4 = 9$

Из этого уравнения получаем два действительных значения для $q$:

$q = \sqrt[4]{9} = \sqrt[4]{3^2} = 3^{2/4} = 3^{1/2} = \sqrt{3}$ или $q = -\sqrt[4]{9} = -\sqrt{3}$.

Рассмотрим оба случая.

4. Используем формулу суммы $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ для нахождения $S_6$.

Случай 1: $q = \sqrt{3}$

Сначала вычислим $q^6$: $q^6 = (\sqrt{3})^6 = (3^{1/2})^6 = 3^3 = 27$.

$S_6 = \frac{b_1(q^6 - 1)}{q - 1} = \frac{\sqrt{3}(27 - 1)}{\sqrt{3} - 1} = \frac{26\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив на сопряженное выражение $(\sqrt{3} + 1)$:

$S_6 = \frac{26\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{26\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + 26\sqrt{3} \cdot 1}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{26 \cdot 3 + 26\sqrt{3}}{3 - 1} = \frac{78 + 26\sqrt{3}}{2} = 39 + 13\sqrt{3}$.

Случай 2: $q = -\sqrt{3}$

Вычислим $q^6$: $q^6 = (-\sqrt{3})^6 = 27$.

$S_6 = \frac{b_1(q^6 - 1)}{q - 1} = \frac{\sqrt{3}(27 - 1)}{-\sqrt{3} - 1} = \frac{26\sqrt{3}}{-(\sqrt{3} + 1)}$.

Умножим числитель и знаменатель на $(\sqrt{3} - 1)$:

$S_6 = \frac{26\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{-(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{26 \cdot 3 - 26\sqrt{3}}{-((\sqrt{3})^2 - 1^2)} = \frac{78 - 26\sqrt{3}}{-(3 - 1)} = \frac{78 - 26\sqrt{3}}{-2} = -39 + 13\sqrt{3} = 13\sqrt{3} - 39$.

Ответ: $39 + 13\sqrt{3}$ или $13\sqrt{3} - 39$.

16.14. В геометрической прогрессии ($b_n$) известно, что:

1)

$S_3 = 219$, $b_1 b_2 b_3 = 13824$. Найдите $b_2$.

2)

$S_3 = 93$, $b_1 b_2 b_3 = 3375$. Найдите $S_4$.

1)

Пусть $(b_n)$ – данная геометрическая прогрессия со знаменателем $q$.
По условию задачи мы имеем:
Сумма первых трех членов: $S_3 = b_1 + b_2 + b_3 = 219$.
Произведение первых трех членов: $b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 = 13824$.

Для любой геометрической прогрессии справедливо свойство, что квадрат среднего члена равен произведению его соседей: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.
Используем это свойство для преобразования произведения:
$b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 = (b_1 \cdot b_3) \cdot b_2 = b_2^2 \cdot b_2 = b_2^3$.

Таким образом, мы получаем уравнение относительно $b_2$:
$b_2^3 = 13824$.
Чтобы найти $b_2$, извлечем кубический корень из 13824:
$b_2 = \sqrt[3]{13824} = 24$.

Теперь мы знаем второй член прогрессии. Подставим его значение в формулу суммы $S_3$:
$b_1 + 24 + b_3 = 219$.
Отсюда можем выразить сумму первого и третьего членов:
$b_1 + b_3 = 219 - 24 = 195$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений для нахождения $b_1$ и $b_3$:
1) $b_1 + b_3 = 195$
2) $b_1 \cdot b_3 = b_2^2 = 24^2 = 576$

Согласно обратной теореме Виета, $b_1$ и $b_3$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - (b_1+b_3)x + b_1b_3 = 0$.
Подставим наши значения: $x^2 - 195x + 576 = 0$.
Решим это уравнение через дискриминант:
$D = (-195)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 576 = 38025 - 2304 = 35721$.
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{35721} = 189$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{195 - 189}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
$x_2 = \frac{195 + 189}{2} = \frac{384}{2} = 192$.

Корни уравнения 3 и 192 являются значениями для $b_1$ и $b_3$. Это означает, что возможны два варианта для прогрессии:
Случай 1: $b_1 = 3$ и $b_3 = 192$. Знаменатель $q = b_2/b_1 = 24/3 = 8$. Прогрессия: 3, 24, 192, ...
Случай 2: $b_1 = 192$ и $b_3 = 3$. Знаменатель $q = b_2/b_1 = 24/192 = 1/8$. Прогрессия: 192, 24, 3, ...
Оба случая удовлетворяют условиям задачи. Следовательно, для $b_3$ существует два возможных значения.
Ответ: 3 или 192.

2)

По условию для геометрической прогрессии $(b_n)$ известно:
$S_3 = b_1 + b_2 + b_3 = 93$.
$b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 = 3375$.

Действуя аналогично предыдущей задаче, найдем $b_2$ из произведения:
$b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 = b_2^3 = 3375$.
$b_2 = \sqrt[3]{3375} = 15$.

Подставим найденное значение $b_2 = 15$ в сумму $S_3$:
$b_1 + 15 + b_3 = 93$.
$b_1 + b_3 = 93 - 15 = 78$.

Выразим $b_1$ и $b_3$ через $b_2$ и знаменатель прогрессии $q$:
$b_1 = b_2 / q = 15/q$.
$b_3 = b_2 \cdot q = 15q$.
Подставим эти выражения в уравнение $b_1 + b_3 = 78$:
$\frac{15}{q} + 15q = 78$.
Умножим обе части уравнения на $q$ (поскольку $q \neq 0$):
$15 + 15q^2 = 78q$.
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$15q^2 - 78q + 15 = 0$.
Для удобства разделим все коэффициенты на 3:
$5q^2 - 26q + 5 = 0$.

Решим это уравнение для $q$:
$D = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576$.
$\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24$.
$q_1 = \frac{26 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5$.
$q_2 = \frac{26 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Мы нашли два возможных знаменателя прогрессии, что приводит к двум возможным прогрессиям. Нам нужно найти $S_4$.
Формула для $S_4$ такова: $S_4 = S_3 + b_4$. Мы знаем $S_3 = 93$. Найдем $b_4$ для каждого случая.
$b_4 = b_3 \cdot q$. Также $b_3 = b_2 \cdot q = 15q$, значит $b_4 = (15q) \cdot q = 15q^2$.

Случай 1: $q = 5$.
$b_4 = 15 \cdot 5^2 = 15 \cdot 25 = 375$.
$S_4 = S_3 + b_4 = 93 + 375 = 468$.
(Прогрессия в этом случае: 3, 15, 75, 375, ...)

Случай 2: $q = 1/5$.
$b_4 = 15 \cdot (\frac{1}{5})^2 = 15 \cdot \frac{1}{25} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$.
$S_4 = S_3 + b_4 = 93 + \frac{3}{5} = 93 + 0,6 = 93,6$.
(Прогрессия в этом случае: 75, 15, 3, 3/5, ...)

Таким образом, для $S_4$ также существует два возможных значения.
Ответ: 468 или 93,6.

16.15. В геометрической прогрессии $(b_n)$ известно, что

$S_3 = 6, b_1 + b_3 + b_5 = 10.5$. Найдите $q$.

Пусть $(b_n)$ — заданная геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$.

По условию, сумма первых трех членов прогрессии равна 6. Запишем это в виде уравнения, используя формулу для n-го члена $b_n = b_1 q^{n-1}$:

$S_3 = b_1 + b_2 + b_3 = b_1 + b_1q + b_1q^2 = 6$

Вынесем $b_1$ за скобки:

$b_1(1 + q + q^2) = 6$ (1)

Также по условию, сумма первого, третьего и пятого членов равна 10,5:

$b_1 + b_3 + b_5 = b_1 + b_1q^2 + b_1q^4 = 10,5$

Вынесем $b_1$ за скобки:

$b_1(1 + q^2 + q^4) = 10,5$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$. Чтобы найти $q$, разделим уравнение (2) на уравнение (1). Это возможно, так как $b_1 \neq 0$ (иначе суммы были бы равны нулю) и $1+q+q^2 \neq 0$ для любых действительных $q$.

$\frac{b_1(1 + q^2 + q^4)}{b_1(1 + q + q^2)} = \frac{10,5}{6}$

Сократим $b_1$ в левой части и упростим дробь в правой части:

$\frac{1 + q^2 + q^4}{1 + q + q^2} = \frac{21}{12} = \frac{7}{4}$

Для дальнейшего упрощения левой части воспользуемся тождеством $1 + q^2 + q^4 = (1 + q + q^2)(1 - q + q^2)$. Подставим это в наше уравнение:

$\frac{(1 + q + q^2)(1 - q + q^2)}{1 + q + q^2} = \frac{7}{4}$

Сократим общий множитель $(1 + q + q^2)$:

$1 - q + q^2 = \frac{7}{4}$

Теперь решим полученное квадратное уравнение относительно $q$:

$q^2 - q + 1 - \frac{7}{4} = 0$

$q^2 - q + \frac{4}{4} - \frac{7}{4} = 0$

$q^2 - q - \frac{3}{4} = 0$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дробей:

$4q^2 - 4q - 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения по формуле:

$q = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3)}}{2 \cdot 4} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{8} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{8} = \frac{4 \pm 8}{8}$

Отсюда получаем два возможных значения для $q$:

$q_1 = \frac{4 + 8}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1,5$

$q_2 = \frac{4 - 8}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2} = -0,5$

Оба значения удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: $1,5$; $-0,5$.

16.16. Найдите значение суммы членов геометрической прогрессии:

1) 4; 12; 36; ...; 2916;

2) $\frac{81}{4}$; $\frac{27}{4}$; $\frac{9}{4}$; ...; $\frac{1}{108}$;

3) -1; 2; -4; ...; -256;

4) 3; -6; 12; -24; ...; 192.

1) В данной геометрической прогрессии первый член $b_1 = 4$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый: $q = \frac{12}{4} = 3$.
Последний член прогрессии $b_n = 2916$. Найдем количество членов $n$, используя формулу $n$-го члена $b_n = b_1 q^{n-1}$:
$2916 = 4 \cdot 3^{n-1}$
$729 = 3^{n-1}$
Так как $3^6 = 729$, то $n-1 = 6$, и $n = 7$.
Теперь вычислим сумму $S_n$ по формуле $S_n = \frac{b_n q - b_1}{q - 1}$:
$S_7 = \frac{2916 \cdot 3 - 4}{3 - 1} = \frac{8748 - 4}{2} = \frac{8744}{2} = 4372$.
Ответ: 4372.

2) В данной геометрической прогрессии первый член $b_1 = \frac{81}{4}$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый: $q = \frac{27/4}{81/4} = \frac{27}{81} = \frac{1}{3}$.
Последний член прогрессии $b_n = \frac{1}{108}$. Найдем количество членов $n$ по формуле $b_n = b_1 q^{n-1}$:
$\frac{1}{108} = \frac{81}{4} \cdot (\frac{1}{3})^{n-1}$
$(\frac{1}{3})^{n-1} = \frac{1}{108} \cdot \frac{4}{81} = \frac{4}{8748} = \frac{1}{2187}$
Так как $3^7 = 2187$, то $(\frac{1}{3})^7 = \frac{1}{2187}$. Следовательно, $n-1 = 7$, и $n = 8$.
Вычислим сумму $S_n$ по формуле $S_n = \frac{b_n q - b_1}{q - 1}$:
$S_8 = \frac{\frac{1}{108} \cdot \frac{1}{3} - \frac{81}{4}}{\frac{1}{3} - 1} = \frac{\frac{1}{324} - \frac{81 \cdot 81}{4 \cdot 81}}{\frac{-2}{3}} = \frac{\frac{1 - 6561}{324}}{-\frac{2}{3}} = \frac{-6560}{324} \cdot (-\frac{3}{2}) = \frac{6560 \cdot 3}{324 \cdot 2} = \frac{3280 \cdot 3}{324} = \frac{3280}{108} = \frac{820}{27}$.
Ответ: $\frac{820}{27}$.

3) В данной геометрической прогрессии первый член $b_1 = -1$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый: $q = \frac{2}{-1} = -2$.
Последний член прогрессии $b_n = -256$. Найдем количество членов $n$ по формуле $b_n = b_1 q^{n-1}$:
$-256 = (-1) \cdot (-2)^{n-1}$
$256 = (-2)^{n-1}$
Поскольку $2^8 = 256$, и показатель степени $n-1$ должен быть четным, чтобы результат был положительным, то $(-2)^8 = 256$. Значит, $n-1 = 8$, и $n = 9$.
Вычислим сумму $S_n$ по формуле $S_n = \frac{b_n q - b_1}{q - 1}$:
$S_9 = \frac{-256 \cdot (-2) - (-1)}{-2 - 1} = \frac{512 + 1}{-3} = \frac{513}{-3} = -171$.
Ответ: -171.

4) В данной геометрической прогрессии первый член $b_1 = 3$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый: $q = \frac{-6}{3} = -2$.
Последний член прогрессии $b_n = 192$. Найдем количество членов $n$ по формуле $b_n = b_1 q^{n-1}$:
$192 = 3 \cdot (-2)^{n-1}$
$64 = (-2)^{n-1}$
Поскольку $2^6 = 64$, и показатель степени $n-1$ должен быть четным, чтобы результат был положительным, то $(-2)^6 = 64$. Значит, $n-1 = 6$, и $n = 7$.
Вычислим сумму $S_n$ по формуле $S_n = \frac{b_n q - b_1}{q - 1}$:
$S_7 = \frac{192 \cdot (-2) - 3}{-2 - 1} = \frac{-384 - 3}{-3} = \frac{-387}{-3} = 129$.
Ответ: 129.

16.17. В геометрической прогрессии ($b_n$) известно, что:

1) $q = 2, S_5 = 62$. Найдите $b_1$.

2) $q = -3, S_5 = 244. S_6 = -738$. Найдите $b_1$.

1)

Для нахождения первого члена геометрической прогрессии $b_1$ воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

По условию нам даны: знаменатель прогрессии $q = 2$, число членов $n = 5$ и сумма этих членов $S_5 = 62$. Подставим эти значения в формулу:

$62 = \frac{b_1(2^5 - 1)}{2 - 1}$

Выполним вычисления:

$62 = \frac{b_1(32 - 1)}{1}$

$62 = b_1 \cdot 31$

Отсюда находим $b_1$:

$b_1 = \frac{62}{31}$

$b_1 = 2$

Ответ: $b_1 = 2$.

2)

В этой задаче даны знаменатель прогрессии $q = -3$, сумма первых пяти членов $S_5 = 244$ и сумма первых шести членов $S_6 = -738$. Мы можем найти $b_1$, используя данные для $S_5$.

Используем формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим значения для $n=5$: $q = -3$ и $S_5 = 244$.

$244 = \frac{b_1((-3)^5 - 1)}{-3 - 1}$

Проведем вычисления:

$244 = \frac{b_1(-243 - 1)}{-4}$

$244 = \frac{b_1(-244)}{-4}$

$244 = b_1 \cdot 61$

Теперь найдем $b_1$:

$b_1 = \frac{244}{61}$

$b_1 = 4$

Стоит отметить, что данные в условии задачи противоречивы. Если мы, используя найденное $b_1 = 4$ и $q = -3$, вычислим $S_6$, то получим: $S_6 = \frac{4((-3)^6 - 1)}{-3 - 1} = \frac{4(729 - 1)}{-4} = -728$. Это значение не совпадает с данным в условии $S_6 = -738$, что указывает на опечатку в условии. Решение, основанное на данных для $S_5$, приводит к целочисленному ответу.

Ответ: $b_1 = 4$.

16.18. Стоимость оборудования равна 200 000 тг. Какой будет стоимость оборудования через четыре года, если она ежегодно уменьшается на 2%?

Для решения этой задачи используется формула сложных процентов, применяемая для расчета уменьшения величины (амортизации). Формула имеет следующий вид:

$S = P \cdot (1 - \frac{r}{100})^n$

где:
$S$ – конечная стоимость,
$P$ – начальная стоимость,
$r$ – процент уменьшения за один период (в данном случае, год),
$n$ – количество периодов (лет).

В нашем случае известны следующие значения:
Начальная стоимость оборудования $P = 200000$ тг.
Процент ежегодного уменьшения $r = 2\%$.
Количество лет $n = 4$.

Подставим эти значения в формулу. Коэффициент, который показывает, какая часть стоимости остается после ежегодного уменьшения, равен $1 - \frac{2}{100} = 0.98$.

Расчет будет выглядеть так:

$S = 200000 \cdot (1 - 0.02)^4 = 200000 \cdot (0.98)^4$

Вычислим значение $(0.98)^4$:

$(0.98)^4 = 0.98 \times 0.98 \times 0.98 \times 0.98 = 0.92236816$

Теперь найдем конечную стоимость, умножив начальную стоимость на полученный результат:

$S = 200000 \cdot 0.92236816 = 184473.632$

Таким образом, стоимость оборудования через четыре года составит 184 473,632 тг.

Ответ: 184 473,632 тг.

16.19. 1) Для геометрической прогрессии ($b_n$) известно, что $S_2 = 4$ и $S_3 = 13$. Найдите $b_1$ и $S_5$.

2) Для геометрической прогрессии ($b_n$) известно, что $S_3 = 42$ и $S_4 = 170$. Найдите $b_1$ и $S_5$.

1)

Пусть $b_n$ – геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. Сумма первых $n$ членов прогрессии $S_n$ связана с $(n-1)$-й суммой и $n$-м членом соотношением $S_n = S_{n-1} + b_n$.
По условию задачи, $S_2 = 4$ и $S_3 = 13$.
Из этого следует, что третий член прогрессии $b_3$ равен:
$b_3 = S_3 - S_2 = 13 - 4 = 9$.
Также нам известны формулы для $S_2$ и $b_3$:
$S_2 = b_1 + b_2 = b_1 + b_1q = b_1(1+q) = 4$
$b_3 = b_1q^2 = 9$
Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} b_1(1+q) = 4 \\ b_1q^2 = 9 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $b_1 = \frac{4}{1+q}$ (при $q \neq -1$) и подставим во второе:
$\frac{4}{1+q} \cdot q^2 = 9 \implies 4q^2 = 9(1+q) \implies 4q^2 - 9q - 9 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 81 + 144 = 225 = 15^2$.
Корни уравнения: $q_1 = \frac{9 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{24}{8} = 3$ и $q_2 = \frac{9 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$.
Рассмотрим оба случая:
1. Если $q=3$, то $b_1 = \frac{4}{1+3} = 1$. Тогда $S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{1(3^5 - 1)}{3 - 1} = \frac{243 - 1}{2} = \frac{242}{2} = 121$.
2. Если $q=-3/4$, то $b_1 = \frac{4}{1-3/4} = \frac{4}{1/4} = 16$. Тогда $S_5 = \frac{16((-3/4)^5-1)}{-3/4-1} = \frac{16(-\frac{243}{1024}-1)}{-7/4} = \frac{16(-\frac{1267}{1024})}{-7/4} = \frac{-1267/64}{-7/4} = \frac{1267}{64} \cdot \frac{4}{7} = \frac{181}{16}$.
Оба набора значений являются решениями задачи.
Ответ: $b_1=1, S_5=121$ или $b_1=16, S_5=\frac{181}{16}$.

2)

По условию, для геометрической прогрессии $(b_n)$ известно, что $S_3 = 42$ и $S_4 = 170$.
Используя соотношение $S_n = S_{n-1} + b_n$, найдем четвертый член прогрессии $b_4$:
$b_4 = S_4 - S_3 = 170 - 42 = 128$.
Запишем систему уравнений, используя формулы $b_n = b_1 q^{n-1}$ и $S_3 = b_1(1+q+q^2)$:
$\begin{cases} b_4 = b_1 q^3 = 128 \\ S_3 = b_1(1+q+q^2) = 42 \end{cases}$
Чтобы найти $q$, разделим первое уравнение на второе:
$\frac{b_1 q^3}{b_1(1+q+q^2)} = \frac{128}{42} = \frac{64}{21}$.
$21q^3 = 64(1+q+q^2) \implies 21q^3 - 64q^2 - 64q - 64 = 0$.
Подбором находим целый корень $q=4$:
$21 \cdot 4^3 - 64 \cdot 4^2 - 64 \cdot 4 - 64 = 21 \cdot 64 - 16 \cdot 64 - 4 \cdot 64 - 1 \cdot 64 = 64 \cdot (21-16-4-1) = 0$.
Значит, $q=4$. Теперь найдем $b_1$ из уравнения $b_1 q^3 = 128$:
$b_1 \cdot 4^3 = 128 \implies b_1 \cdot 64 = 128 \implies b_1 = 2$.
Осталось найти $S_5$. Сделаем это через $S_4$:
$S_5 = S_4 + b_5 = S_4 + b_1 q^4 = 170 + 2 \cdot 4^4 = 170 + 2 \cdot 256 = 170 + 512 = 682$.
Ответ: $b_1=2, S_5=682$.