Страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

16.6. В геометрической прогрессии ($b_n$) найдите $b_1$ и $S_n$, если:

1) $q = 0,5, n = 6, b_n = 3;

2) $q = 3, n = 5, b_n = 486;

3) $q = 0,5, n = 4, b_n = 0,375;

4) $q = 1,5, n = 5, b_n = \frac{9}{16}.

1) Дано: $q = 0,5$, $n = 6$, $b_n = b_6 = 3$.

Для нахождения первого члена геометрической прогрессии $b_1$ воспользуемся формулой n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Выразим из этой формулы $b_1$: $b_1 = \frac{b_n}{q^{n-1}}$.

Подставим известные значения:

$b_1 = \frac{b_6}{q^{6-1}} = \frac{3}{0,5^5} = \frac{3}{(1/2)^5} = \frac{3}{1/32} = 3 \cdot 32 = 96$.

Для нахождения суммы первых $n$ членов $S_n$ воспользуемся формулой $S_n = \frac{b_n \cdot q - b_1}{q-1}$.

Подставим найденное значение $b_1$ и данные из условия:

$S_6 = \frac{b_6 \cdot q - b_1}{q-1} = \frac{3 \cdot 0,5 - 96}{0,5 - 1} = \frac{1,5 - 96}{-0,5} = \frac{-94,5}{-0,5} = 189$.

Ответ: $b_1 = 96$; $S_6 = 189$.

2) Дано: $q = 3$, $n = 5$, $b_n = b_5 = 486$.

Найдем первый член прогрессии $b_1$ по формуле $b_1 = \frac{b_n}{q^{n-1}}$.

Подставим известные значения:

$b_1 = \frac{b_5}{q^{5-1}} = \frac{486}{3^4} = \frac{486}{81} = 6$.

Теперь найдем сумму первых $n$ членов $S_n$ по формуле $S_n = \frac{b_n \cdot q - b_1}{q-1}$.

Подставим известные значения:

$S_5 = \frac{b_5 \cdot q - b_1}{q-1} = \frac{486 \cdot 3 - 6}{3 - 1} = \frac{1458 - 6}{2} = \frac{1452}{2} = 726$.

Ответ: $b_1 = 6$; $S_5 = 726$.

3) Дано: $q = 0,5$, $n = 4$, $b_n = b_4 = 0,375$.

Найдем первый член прогрессии $b_1$ по формуле $b_1 = \frac{b_n}{q^{n-1}}$. Для удобства вычислений представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $0,5 = \frac{1}{2}$, $0,375 = \frac{3}{8}$.

Подставим известные значения:

$b_1 = \frac{b_4}{q^{4-1}} = \frac{0,375}{0,5^3} = \frac{3/8}{(1/2)^3} = \frac{3/8}{1/8} = 3$.

Теперь найдем сумму первых $n$ членов $S_n$ по формуле $S_n = \frac{b_n \cdot q - b_1}{q-1}$.

Подставим известные значения:

$S_4 = \frac{b_4 \cdot q - b_1}{q-1} = \frac{0,375 \cdot 0,5 - 3}{0,5 - 1} = \frac{0,1875 - 3}{-0,5} = \frac{-2,8125}{-0,5} = 5,625$.

Или в обыкновенных дробях:

$S_4 = \frac{\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2} - 3}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{\frac{3}{16} - 3}{-\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3-48}{16}}{-\frac{1}{2}} = \frac{-\frac{45}{16}}{-\frac{1}{2}} = \frac{45}{16} \cdot 2 = \frac{45}{8} = 5,625$.

Ответ: $b_1 = 3$; $S_4 = 5,625$.

4) Дано: $q = 1,5$, $n = 5$, $b_n = b_5 = \frac{9}{16}$.

Найдем первый член прогрессии $b_1$ по формуле $b_1 = \frac{b_n}{q^{n-1}}$. Представим $q$ в виде обыкновенной дроби: $1,5 = \frac{3}{2}$.

Подставим известные значения:

$b_1 = \frac{b_5}{q^{5-1}} = \frac{9/16}{(3/2)^4} = \frac{9/16}{81/16} = \frac{9}{16} \cdot \frac{16}{81} = \frac{9}{81} = \frac{1}{9}$.

Теперь найдем сумму первых $n$ членов $S_n$ по формуле $S_n = \frac{b_n \cdot q - b_1}{q-1}$.

Подставим известные значения:

$S_5 = \frac{b_5 \cdot q - b_1}{q-1} = \frac{\frac{9}{16} \cdot \frac{3}{2} - \frac{1}{9}}{\frac{3}{2} - 1} = \frac{\frac{27}{32} - \frac{1}{9}}{\frac{1}{2}}$.

Приведем дроби в числителе к общему знаменателю $32 \cdot 9 = 288$:

$S_5 = \frac{\frac{27 \cdot 9 - 1 \cdot 32}{288}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{243 - 32}{288}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{211}{288}}{\frac{1}{2}} = \frac{211}{288} \cdot 2 = \frac{211}{144}$.

Ответ: $b_1 = \frac{1}{9}$; $S_5 = \frac{211}{144}$.

16.7. В геометрической прогрессии ($b_n$) найдите $b_1$ и $b_n$, если:

1) $q = 2, n = 11, S_n = 2047;$

2) $q = \frac{1}{3}, n = 5, S_n = 121;$

3) $q = 0,5, n = 6, S_n = 7\frac{7}{8};$

4) $q = -2, n = 7, S_n = 258.$

Для решения задачи используются две основные формулы геометрической прогрессии ($b_n$):
1. Формула суммы первых $n$ членов: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$, где $b_1$ — первый член, $q$ — знаменатель прогрессии, $n$ — количество членов.
2. Формула $n$-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

1) Дано: $q = 2, n = 11, S_n = 2047$.
Найдем $b_1$ из формулы суммы:
$S_{11} = \frac{b_1(q^{11} - 1)}{q - 1}$
$2047 = \frac{b_1(2^{11} - 1)}{2 - 1}$
$2047 = \frac{b_1(2048 - 1)}{1}$
$2047 = b_1 \cdot 2047$
$b_1 = 1$
Теперь найдем $b_{11}$ по формуле $n$-го члена:
$b_{11} = b_1 \cdot q^{11-1} = 1 \cdot 2^{10} = 1024$
Ответ: $b_1 = 1, b_{11} = 1024$.

2) Дано: $q = \frac{1}{3}, n = 5, S_n = 121$.
Найдем $b_1$ из формулы суммы:
$S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q - 1}$
$121 = \frac{b_1((\frac{1}{3})^5 - 1)}{\frac{1}{3} - 1} = \frac{b_1(\frac{1}{243} - 1)}{-\frac{2}{3}} = \frac{b_1(-\frac{242}{243})}{-\frac{2}{3}}$
$121 = b_1 \cdot \frac{242}{243} \cdot \frac{3}{2} = b_1 \cdot \frac{121}{81}$
$b_1 = 121 \cdot \frac{81}{121} = 81$
Теперь найдем $b_5$ по формуле $n$-го члена:
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = 81 \cdot (\frac{1}{3})^4 = 81 \cdot \frac{1}{81} = 1$
Ответ: $b_1 = 81, b_5 = 1$.

3) Дано: $q = 0,5 = \frac{1}{2}, n = 6, S_n = 7\frac{7}{8} = \frac{63}{8}$.
Найдем $b_1$ из формулы суммы:
$S_6 = \frac{b_1(q^6 - 1)}{q - 1}$
$\frac{63}{8} = \frac{b_1((\frac{1}{2})^6 - 1)}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{b_1(\frac{1}{64} - 1)}{-\frac{1}{2}} = \frac{b_1(-\frac{63}{64})}{-\frac{1}{2}}$
$\frac{63}{8} = b_1 \cdot \frac{63}{64} \cdot 2 = b_1 \cdot \frac{63}{32}$
$b_1 = \frac{63}{8} \cdot \frac{32}{63} = 4$
Теперь найдем $b_6$ по формуле $n$-го члена:
$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = 4 \cdot (\frac{1}{2})^5 = 4 \cdot \frac{1}{32} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$
Ответ: $b_1 = 4, b_6 = \frac{1}{8}$.

4) Дано: $q = -2, n = 7, S_n = 258$.
Найдем $b_1$ из формулы суммы:
$S_7 = \frac{b_1(q^7 - 1)}{q - 1}$
$258 = \frac{b_1((-2)^7 - 1)}{-2 - 1} = \frac{b_1(-128 - 1)}{-3} = \frac{b_1(-129)}{-3}$
$258 = b_1 \cdot 43$
$b_1 = \frac{258}{43} = 6$
Теперь найдем $b_7$ по формуле $n$-го члена:
$b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = 6 \cdot (-2)^6 = 6 \cdot 64 = 384$
Ответ: $b_1 = 6, b_7 = 384$.

16.8. В геометрической прогрессии ($b_n$) найдите $b_1$ и $n$, если:

1) $q = 0,5, b_n = 3, S_n = 93;$

2) $q = 3, b_n = 54, S_n = \frac{242}{3};$

3) $q = -2, b_n = -4, S_n = -\frac{63}{24};$

4) $q = -\frac{1}{3}, b_n = -\frac{1}{3}, S_n = \frac{182}{3}.$

1) Для нахождения $b_1$ и $n$ воспользуемся формулами для n-го члена и суммы n первых членов геометрической прогрессии: $b_n = b_1 q^{n-1}$ и $S_n = \frac{b_n q - b_1}{q-1}$.
Дано: $q = 0,5$, $b_n = 3$, $S_n = 93$.
Сначала найдем $b_1$ из формулы суммы. Выразим $b_1$:
$S_n(q-1) = b_n q - b_1$
$b_1 = b_n q - S_n(q-1)$
Подставляем известные значения:
$b_1 = 3 \cdot 0,5 - 93 \cdot (0,5 - 1) = 1,5 - 93 \cdot (-0,5) = 1,5 + 46,5 = 48$.
Теперь найдем $n$ из формулы n-го члена: $b_n = b_1 q^{n-1}$.
$3 = 48 \cdot (0,5)^{n-1}$
$(0,5)^{n-1} = \frac{3}{48} = \frac{1}{16}$
Так как $0,5 = \frac{1}{2}$ и $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$, получаем уравнение:
$(\frac{1}{2})^{n-1} = (\frac{1}{2})^4$
Отсюда $n-1 = 4$, следовательно, $n=5$.
Ответ: $b_1 = 48$, $n = 5$.

2) Дано: $q = 3$, $b_n = 54$, $S_n = \frac{242}{3}$.
Используем формулу $b_1 = b_n q - S_n(q-1)$ для нахождения $b_1$:
$b_1 = 54 \cdot 3 - \frac{242}{3}(3-1) = 162 - \frac{242}{3} \cdot 2 = 162 - \frac{484}{3} = \frac{486-484}{3} = \frac{2}{3}$.
Теперь найдем $n$ из формулы $b_n = b_1 q^{n-1}$:
$54 = \frac{2}{3} \cdot 3^{n-1}$
$3^{n-1} = 54 \cdot \frac{3}{2} = 27 \cdot 3 = 81$.
Так как $81 = 3^4$, то $3^{n-1} = 3^4$.
Отсюда $n-1=4$, следовательно, $n=5$.
Ответ: $b_1 = \frac{2}{3}$, $n = 5$.

3) Дано: $q = -2$, $b_n = -4$, $S_n = -\frac{63}{24}$. Упростим дробь: $S_n = -\frac{21}{8}$.
Найдем $b_1$ по формуле $b_1 = b_n q - S_n(q-1)$:
$b_1 = (-4)(-2) - (-\frac{21}{8})(-2-1) = 8 - (-\frac{21}{8})(-3) = 8 - \frac{63}{8} = \frac{64-63}{8} = \frac{1}{8}$.
Теперь найдем $n$ из формулы $b_n = b_1 q^{n-1}$:
$-4 = \frac{1}{8} \cdot (-2)^{n-1}$
$(-2)^{n-1} = -4 \cdot 8 = -32$.
Так как $-32 = (-2)^5$, то $(-2)^{n-1} = (-2)^5$.
Отсюда $n-1=5$, следовательно, $n=6$.
Ответ: $b_1 = \frac{1}{8}$, $n = 6$.

4) Дано: $q = -\frac{1}{3}$, $b_n = -\frac{1}{3}$, $S_n = \frac{182}{3}$.
Найдем $b_1$ по формуле $b_1 = b_n q - S_n(q-1)$:
$b_1 = (-\frac{1}{3})(-\frac{1}{3}) - \frac{182}{3}(-\frac{1}{3}-1) = \frac{1}{9} - \frac{182}{3}(-\frac{4}{3}) = \frac{1}{9} + \frac{728}{9} = \frac{729}{9} = 81$.
Теперь найдем $n$ из формулы $b_n = b_1 q^{n-1}$:
$-\frac{1}{3} = 81 \cdot (-\frac{1}{3})^{n-1}$
$(-\frac{1}{3})^{n-1} = \frac{-1/3}{81} = -\frac{1}{3 \cdot 81} = -\frac{1}{243}$.
Так как $243 = 3^5$, то $-\frac{1}{243} = (-\frac{1}{3})^5$. Получаем уравнение:
$(-\frac{1}{3})^{n-1} = (-\frac{1}{3})^5$
Отсюда $n-1=5$, следовательно, $n=6$.
Ответ: $b_1 = 81$, $n = 6$.

16.9.1) В геометрической прогрессии $b_2 = 1, b_3 = 2$ найдите $\frac{S_{14}}{S_7}$.

2) В геометрической прогрессии $b_3 = 3, b_4 = 1,5$ найдите $\frac{S_9}{S_{18}}$.

1) Дана геометрическая прогрессия, у которой $b_2 = 1$ и $b_3 = 2$. Необходимо найти отношение $\frac{S_{14}}{S_7}$.
Сначала найдем знаменатель геометрической прогрессии $q$. По определению, $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$.
$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{2}{1} = 2$.
Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$, где $b_1$ - первый член прогрессии, $q$ - знаменатель.
Теперь запишем отношение сумм $S_{14}$ и $S_7$:
$\frac{S_{14}}{S_7} = \frac{\frac{b_1(q^{14} - 1)}{q - 1}}{\frac{b_1(q^7 - 1)}{q - 1}}$
Сократим общие множители $b_1$ и $(q-1)$:
$\frac{S_{14}}{S_7} = \frac{q^{14} - 1}{q^7 - 1}$
Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для числителя, где $a = q^7$:
$q^{14} - 1 = (q^7)^2 - 1^2 = (q^7 - 1)(q^7 + 1)$
Подставим это выражение в нашу дробь:
$\frac{S_{14}}{S_7} = \frac{(q^7 - 1)(q^7 + 1)}{q^7 - 1} = q^7 + 1$
Теперь подставим найденное значение $q = 2$:
$q^7 + 1 = 2^7 + 1 = 128 + 1 = 129$.
Ответ: 129

2) Дана геометрическая прогрессия, у которой $b_3 = 3$ и $b_4 = 1,5$. Необходимо найти отношение $\frac{S_9}{S_{18}}$.
Сначала найдем знаменатель геометрической прогрессии $q$:
$q = \frac{b_4}{b_3} = \frac{1,5}{3} = \frac{1}{2}$.
Как и в предыдущем задании, запишем отношение сумм, используя формулу $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
$\frac{S_9}{S_{18}} = \frac{\frac{b_1(q^9 - 1)}{q - 1}}{\frac{b_1(q^{18} - 1)}{q - 1}}$
Сократим общие множители:
$\frac{S_9}{S_{18}} = \frac{q^9 - 1}{q^{18} - 1}$
Используем формулу разности квадратов для знаменателя, где $a = q^9$:
$q^{18} - 1 = (q^9)^2 - 1^2 = (q^9 - 1)(q^9 + 1)$
Подставим это выражение в нашу дробь:
$\frac{S_9}{S_{18}} = \frac{q^9 - 1}{(q^9 - 1)(q^9 + 1)} = \frac{1}{q^9 + 1}$
Теперь подставим найденное значение $q = \frac{1}{2}$:
$\frac{1}{q^9 + 1} = \frac{1}{(\frac{1}{2})^9 + 1} = \frac{1}{\frac{1}{512} + 1} = \frac{1}{\frac{1}{512} + \frac{512}{512}} = \frac{1}{\frac{1+512}{512}} = \frac{1}{\frac{513}{512}} = \frac{512}{513}$.
Ответ: $\frac{512}{513}$

16.10. 1) Второй член геометрической прогрессии составляет 20% от ее первого члена. Сколько процентов составляет пятый ее член от третьего?

2) Второй член геометрической прогрессии составляет 110% от ее первого члена. Сколько процентов составляет шестой член от четвертого?

1) Пусть $b_n$ — геометрическая прогрессия, где $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию, второй член прогрессии составляет 20% от первого члена. Запишем это математически:$b_2 = 0,2 \cdot b_1$.

С другой стороны, по формуле n-го члена:$b_2 = b_1 \cdot q^{2-1} = b_1 \cdot q$.

Приравняем два выражения для $b_2$:$b_1 \cdot q = 0,2 \cdot b_1$.При условии, что $b_1 \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $b_1$ и найти знаменатель прогрессии:$q = 0,2$.

Теперь нам нужно найти, сколько процентов составляет пятый член от третьего. Для этого найдем отношение $\frac{b_5}{b_3}$ и выразим его в процентах.Выразим $b_5$ и $b_3$ через $b_1$ и $q$:$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$

Найдем их отношение:$\frac{b_5}{b_3} = \frac{b_1 \cdot q^4}{b_1 \cdot q^2} = q^2$.

Подставим найденное значение $q = 0,2$:$\frac{b_5}{b_3} = (0,2)^2 = 0,04$.

Чтобы выразить это отношение в процентах, умножим его на 100%:$0,04 \cdot 100\% = 4\%$.

Ответ: 4%.

2) Аналогично предыдущей задаче, пусть $b_n$ — геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. Формула n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию, второй член прогрессии составляет 110% от первого члена. Запишем это математически, переведя проценты в десятичную дробь:$b_2 = 1,1 \cdot b_1$.

Используя формулу n-го члена для $b_2$:$b_2 = b_1 \cdot q$.

Приравняем эти выражения, чтобы найти $q$:$b_1 \cdot q = 1,1 \cdot b_1$.Если $b_1 \neq 0$, то знаменатель прогрессии равен:$q = 1,1$.

Далее найдем, сколько процентов составляет шестой член от четвертого. Для этого вычислим отношение $\frac{b_6}{b_4}$.Выразим $b_6$ и $b_4$ через $b_1$ и $q$:$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5$$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$

Найдем их отношение:$\frac{b_6}{b_4} = \frac{b_1 \cdot q^5}{b_1 \cdot q^3} = q^2$.

Подставим найденное значение $q = 1,1$:$\frac{b_6}{b_4} = (1,1)^2 = 1,21$.

Чтобы выразить это отношение в процентах, умножим его на 100%:$1,21 \cdot 100\% = 121\%$.

Ответ: 121%.

*16.11. 1) Банк дает своим вкладчикам 10% годовых. Каким будет вклад в 200 000 тг через 2 года?

2) Снижение себестоимости производства товара равно 5% в год. Первоначальная себестоимость товара равна 10 000 тг. Чему станет равной ее себестоимость через 2 года?

1)

Для расчета итоговой суммы вклада через два года воспользуемся формулой сложных процентов, так как проценты за каждый следующий год начисляются на сумму, увеличенную на проценты за предыдущий год.

Формула для расчета суммы по сложному проценту:

$S = P \cdot (1 + \frac{r}{100})^n$

где:

$S$ — итоговая сумма,

$P$ — первоначальная сумма вклада (200 000 тг),

$r$ — годовая процентная ставка (10%),

$n$ — количество лет (2).

Рассчитаем по шагам:

Сумма через 1 год:
Сначала найдем 10% от 200 000 тг: $200\ 000 \cdot \frac{10}{100} = 20\ 000$ тг.
Сумма на вкладе через год составит: $200\ 000 + 20\ 000 = 220\ 000$ тг.

Сумма через 2 года:
Теперь проценты начисляются на новую сумму 220 000 тг. Найдем 10% от этой суммы: $220\ 000 \cdot \frac{10}{100} = 22\ 000$ тг.
Итоговая сумма на вкладе через два года составит: $220\ 000 + 22\ 000 = 242\ 000$ тг.

Теперь подставим значения в формулу для проверки:

$S = 200\ 000 \cdot (1 + \frac{10}{100})^2 = 200\ 000 \cdot (1 + 0.1)^2 = 200\ 000 \cdot (1.1)^2 = 200\ 000 \cdot 1.21 = 242\ 000$ тг.

Ответ: вклад через 2 года будет равен 242 000 тг.

2)

Для расчета изменения себестоимости используется та же логика, что и в задаче про вклад, но со знаком минус, так как стоимость снижается.

Формула для расчета итоговой стоимости при ежегодном снижении:

$C = C_0 \cdot (1 - \frac{r}{100})^n$

где:

$C$ — итоговая себестоимость,

$C_0$ — первоначальная себестоимость (10 000 тг),

$r$ — процент снижения в год (5%),

$n$ — количество лет (2).

Рассчитаем по шагам:

Себестоимость через 1 год:
Сначала найдем 5% от 10 000 тг: $10\ 000 \cdot \frac{5}{100} = 500$ тг.
Себестоимость через год составит: $10\ 000 - 500 = 9\ 500$ тг.

Себестоимость через 2 года:
Теперь снижение на 5% рассчитывается от новой себестоимости 9 500 тг: $9\ 500 \cdot \frac{5}{100} = 475$ тг.
Итоговая себестоимость через два года составит: $9\ 500 - 475 = 9\ 025$ тг.

Теперь подставим значения в формулу для проверки:

$C = 10\ 000 \cdot (1 - \frac{5}{100})^2 = 10\ 000 \cdot (1 - 0.05)^2 = 10\ 000 \cdot (0.95)^2 = 10\ 000 \cdot 0.9025 = 9\ 025$ тг.

Ответ: себестоимость товара через 2 года станет равной 9 025 тг.

*16.12.

1) Значение суммы первых 85 членов геометрической прогрессии равно 2225. Найдите значение суммы первых 85 членов такой прогрессии, каждый член которой составляет 40% от соответствующего члена данной прогрессии.

2) Значение суммы первых 85 членов геометрической прогрессии равно 8255. Найдите значение суммы первых 85 членов такой прогрессии, каждый член которой составляет 60% от соответствующего члена данной прогрессии.

1)

Пусть дана геометрическая прогрессия $b_1, b_2, \dots, b_{85}, \dots$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$.

Сумма ее первых 85 членов по условию равна:

$S_{85} = b_1 + b_2 + \dots + b_{85} = 2225$

Рассмотрим новую прогрессию $c_1, c_2, \dots, c_{85}, \dots$, каждый член которой составляет 40% от соответствующего члена данной прогрессии. Это означает, что для любого номера $n$ выполняется равенство:

$c_n = 0.4 \cdot b_n$

Найдем сумму первых 85 членов новой прогрессии, обозначим ее $S'_{85}$:

$S'_{85} = c_1 + c_2 + \dots + c_{85}$

Подставим выражение для членов $c_n$ через $b_n$:

$S'_{85} = (0.4 \cdot b_1) + (0.4 \cdot b_2) + \dots + (0.4 \cdot b_{85})$

Вынесем общий множитель 0.4 за скобки, используя распределительный закон:

$S'_{85} = 0.4 \cdot (b_1 + b_2 + \dots + b_{85})$

Выражение в скобках является суммой первых 85 членов исходной прогрессии, то есть $S_{85}$. Таким образом, получаем:

$S'_{85} = 0.4 \cdot S_{85}$

Подставим известное значение $S_{85} = 2225$:

$S'_{85} = 0.4 \cdot 2225 = 890$

Ответ: 890.

2)

Решение этой задачи аналогично предыдущей. Пусть дана геометрическая прогрессия $b_1, b_2, \dots, b_{85}, \dots$.

Сумма ее первых 85 членов по условию равна:

$S_{85} = b_1 + b_2 + \dots + b_{85} = 8255$

Рассмотрим новую прогрессию $c_1, c_2, \dots, c_{85}, \dots$, каждый член которой составляет 60% от соответствующего члена данной прогрессии:

$c_n = 0.6 \cdot b_n$

Найдем сумму первых 85 членов новой прогрессии, $S'_{85}$:

$S'_{85} = c_1 + c_2 + \dots + c_{85} = (0.6 \cdot b_1) + (0.6 \cdot b_2) + \dots + (0.6 \cdot b_{85})$

Вынесем общий множитель 0.6 за скобки:

$S'_{85} = 0.6 \cdot (b_1 + b_2 + \dots + b_{85})$

Так как выражение в скобках равно $S_{85}$, получаем:

$S'_{85} = 0.6 \cdot S_{85}$

Подставим известное значение $S_{85} = 8255$:

$S'_{85} = 0.6 \cdot 8255 = 4953$

Ответ: 4953.