Страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

16.28. В правильном треугольнике провели средние линии и получили четыре правильных треугольника. Если в полученных треугольниках провести средние линии, затем в новых треугольниках еще провести средние линии, то сколько правильных треугольников будет получено?

Для решения этой задачи необходимо последовательно отследить, как изменяется количество треугольников после каждого действия.

Первое действие: в исходном правильном треугольнике проводят средние линии. Проведение средних линий в любом треугольнике делит его на четыре меньших треугольника. Поскольку исходный треугольник является правильным (равносторонним), все четыре полученных треугольника также будут правильными.

Таким образом, после первого шага из одного треугольника мы получаем $1 \times 4 = 4$ треугольника.

Второе действие: «в полученных треугольниках провести средние линии». Это означает, что для каждого из 4 треугольников, полученных на предыдущем шаге, мы повторяем ту же операцию. Каждый из них, в свою очередь, делится на 4 еще меньших треугольника. Общее количество самых маленьких треугольников на этом этапе составит: $4 \times 4 = 16$.

Третье действие: «затем в новых треугольниках еще провести средние линии». Наконец, мы берем 16 треугольников, полученных на предыдущем шаге, и снова проводим в каждом из них средние линии. Итоговое количество самых маленьких правильных треугольников, из которых будет состоять финальная фигура, будет равно: $16 \times 4 = 64$.

Этот процесс можно описать как геометрическую прогрессию. Количество треугольников на каждом шаге умножается на 4. После трех последовательных делений общее количество треугольников будет равно $4^3$.

$4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$.

Ответ: 64.

16.29. Найдите пятый член возрастающей геометрической прогрессии, если известно, что ее первый член равен $7 - 3\sqrt{5}$ и каждый ее член, начиная со второго, равен разности двух соседних с ним членов.

Пусть $b_n$ — это геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$.

По условию задачи, первый член прогрессии равен $b_1 = 7 - 3\sqrt{5}$.

Также известно, что прогрессия является возрастающей. Давайте определим знак первого члена. Сравним $7$ и $3\sqrt{5}$. Для этого сравним их квадраты: $7^2 = 49$ и $(3\sqrt{5})^2 = 9 \times 5 = 45$. Так как $49 > 45$, то $7 > 3\sqrt{5}$, и следовательно, $b_1 = 7 - 3\sqrt{5} > 0$. Для того чтобы геометрическая прогрессия с положительным первым членом была возрастающей, ее знаменатель $q$ должен быть больше единицы, то есть $q > 1$.

Другое условие задачи гласит, что каждый член прогрессии, начиная со второго, равен разности двух соседних с ним членов. Для любого $n \ge 2$ это можно записать в виде формулы: $b_n = b_{n+1} - b_{n-1}$.

Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Подставим выражения для $b_{n-1}$, $b_n$ и $b_{n+1}$ в полученное равенство:

$b_1 \cdot q^{n-1} = b_1 \cdot q^{n} - b_1 \cdot q^{n-2}$

Поскольку $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0$ (так как прогрессия возрастающая), мы можем разделить обе части уравнения на $b_1 \cdot q^{n-2}$:

$q = q^2 - 1$

Мы получили квадратное уравнение относительно $q$:

$q^2 - q - 1 = 0$

Найдем его корни по формуле для корней квадратного уравнения:

$q = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Таким образом, у нас есть два возможных значения для знаменателя прогрессии: $q_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ и $q_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$.

Как мы установили ранее, для возрастающей прогрессии с положительным первым членом знаменатель должен быть $q > 1$.

Оценим $q_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Поскольку $2 < \sqrt{5} < 3$, то $1+2 < 1+\sqrt{5} < 1+3$, т.е. $3 < 1+\sqrt{5} < 4$. Отсюда $\frac{3}{2} < \frac{1+\sqrt{5}}{2} < 2$, что означает $q_1 > 1$. Этот корень подходит.

Оценим $q_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$. Поскольку $\sqrt{5} > 1$, числитель $1-\sqrt{5}$ отрицателен, значит, $q_2 < 0$. Прогрессия с отрицательным знаменателем не является возрастающей (знаки ее членов чередуются). Этот корень не подходит.

Итак, знаменатель прогрессии равен $q = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

Теперь нам нужно найти пятый член прогрессии, $b_5$. Формула для него: $b_5 = b_1 \cdot q^4$.

Найдем $q^2$ и $q^4$. Из уравнения $q^2 - q - 1 = 0$ следует, что $q^2 = q + 1$.

$q^2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + 1 = \frac{1 + \sqrt{5} + 2}{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Теперь найдем $q^4$:

$q^4 = (q^2)^2 = \left(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2}{2^2} = \frac{9 + 6\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{14 + 6\sqrt{5}}{4} = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}$

Наконец, вычислим $b_5$:

$b_5 = b_1 \cdot q^4 = (7 - 3\sqrt{5}) \cdot \left(\frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}\right)$

В числителе мы видим произведение разности и суммы двух выражений, которое равно разности их квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$b_5 = \frac{(7 - 3\sqrt{5})(7 + 3\sqrt{5})}{2} = \frac{7^2 - (3\sqrt{5})^2}{2} = \frac{49 - 9 \cdot 5}{2} = \frac{49 - 45}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Ответ: 2

16.30. Значение суммы четырех членов геометрической прогрессии равно -40, а значение суммы их квадратов равно 3280. Найдите эту прогрессию.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Тогда первые четыре члена прогрессии: $b_1$, $b_1q$, $b_1q^2$, $b_1q^3$.

Согласно условию задачи, составим систему уравнений:

1) Сумма четырех членов равна -40: $b_1 + b_1q + b_1q^2 + b_1q^3 = -40$.

2) Сумма их квадратов равна 3280: $b_1^2 + (b_1q)^2 + (b_1q^2)^2 + (b_1q^3)^2 = 3280$.

Преобразуем уравнения, вынеся за скобки общие множители:

1) $b_1(1 + q + q^2 + q^3) = -40$. Сгруппируем слагаемые в скобках: $1+q+q^2(1+q) = (1+q)(1+q^2)$.
Получим: $b_1(1+q)(1+q^2) = -40$.

2) $b_1^2(1 + q^2 + q^4 + q^6) = 3280$. Сгруппируем слагаемые в скобках: $1+q^2+q^4(1+q^2) = (1+q^2)(1+q^4)$.
Получим: $b_1^2(1+q^2)(1+q^4) = 3280$.

Итак, мы имеем систему:

$\begin{cases} b_1(1+q)(1+q^2) = -40 & (1) \\ b_1^2(1+q^2)(1+q^4) = 3280 & (2) \end{cases}$

Возведем первое уравнение в квадрат:

$(b_1(1+q)(1+q^2))^2 = (-40)^2$

$b_1^2(1+q)^2(1+q^2)^2 = 1600$ (3)

Теперь разделим уравнение (2) на уравнение (3). Это позволит исключить $b_1$:

$\frac{b_1^2(1+q^2)(1+q^4)}{b_1^2(1+q)^2(1+q^2)^2} = \frac{3280}{1600}$

$\frac{1+q^4}{(1+q)^2(1+q^2)} = \frac{328}{160} = \frac{41}{20}$

Получили уравнение с одной переменной $q$. Решим его:

$20(1+q^4) = 41(1+q)^2(1+q^2)$

$20(1+q^4) = 41(1+2q+q^2)(1+q^2)$

$20+20q^4 = 41(1+q^2+2q+2q^3+q^2+q^4)$

$20+20q^4 = 41(q^4+2q^3+2q^2+2q+1)$

$20+20q^4 = 41q^4+82q^3+82q^2+82q+41$

$21q^4 + 82q^3 + 82q^2 + 82q + 21 = 0$

Это симметричное (возвратное) уравнение четвертой степени. Так как $q \ne 0$ (иначе сумма была бы равна $b_1=-40$, а сумма квадратов $b_1^2 = 1600 \ne 3280$), мы можем разделить обе части уравнения на $q^2$:

$21q^2 + 82q + 82 + \frac{82}{q} + \frac{21}{q^2} = 0$

$21(q^2 + \frac{1}{q^2}) + 82(q + \frac{1}{q}) + 82 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = q + \frac{1}{q}$. Тогда $y^2 = q^2 + 2 + \frac{1}{q^2}$, откуда $q^2 + \frac{1}{q^2} = y^2-2$.

$21(y^2-2) + 82y + 82 = 0$

$21y^2 - 42 + 82y + 82 = 0$

$21y^2 + 82y + 40 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$:

$D = 82^2 - 4 \cdot 21 \cdot 40 = 6724 - 3360 = 3364 = 58^2$

$y_{1,2} = \frac{-82 \pm 58}{2 \cdot 21}$

$y_1 = \frac{-82+58}{42} = \frac{-24}{42} = -\frac{4}{7}$

$y_2 = \frac{-82-58}{42} = \frac{-140}{42} = -\frac{10}{3}$

Теперь вернемся к переменной $q$.

Случай 1: $y = -\frac{4}{7}$

$q + \frac{1}{q} = -\frac{4}{7} \implies 7q^2 + 4q + 7 = 0$

Дискриминант этого уравнения $D_q = 4^2 - 4 \cdot 7 \cdot 7 = 16 - 196 = -180 < 0$. Действительных корней нет.

Случай 2: $y = -\frac{10}{3}$

$q + \frac{1}{q} = -\frac{10}{3} \implies 3q^2 + 10q + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение: $D_q = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.

$q_{1,2} = \frac{-10 \pm 8}{6}$

$q_1 = \frac{-10-8}{6} = \frac{-18}{6} = -3$

$q_2 = \frac{-10+8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Мы нашли два возможных значения для знаменателя прогрессии. Теперь для каждого из них найдем первый член $b_1$ из уравнения (1).

1. Если $q = -3$:
$b_1(1+(-3))(1+(-3)^2) = -40$
$b_1(-2)(10) = -40$
$b_1(-20) = -40$
$b_1 = 2$
Получаем прогрессию: 2, -6, 18, -54.

2. Если $q = -\frac{1}{3}$:
$b_1(1+(-\frac{1}{3}))(1+(-\frac{1}{3})^2) = -40$
$b_1(\frac{2}{3})(1+\frac{1}{9}) = -40$
$b_1(\frac{2}{3})(\frac{10}{9}) = -40$
$b_1(\frac{20}{27}) = -40$
$b_1 = -40 \cdot \frac{27}{20} = -2 \cdot 27 = -54$
Получаем прогрессию: -54, 18, -6, 2.

Обе прогрессии удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: 2, -6, 18, -54 или -54, 18, -6, 2.

16.31. Решите уравнение $1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^{109} = 0$.

Данное уравнение представляет собой сумму 110 членов геометрической прогрессии, где первый член $a_1 = 1$, а знаменатель прогрессии $q = x$. Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

В нашем случае количество членов $n = 109 + 1 = 110$. Применим формулу суммы, чтобы преобразовать левую часть уравнения. Это возможно, если знаменатель прогрессии $x \neq 1$. Проверим, является ли $x=1$ корнем исходного уравнения. Подставив $x=1$, получим: $1 + 1 + 1^2 + \dots + 1^{109} = 110 \neq 0$. Следовательно, $x=1$ не является решением, и мы можем использовать формулу суммы.

Уравнение принимает вид:

$\frac{1 \cdot (x^{110} - 1)}{x - 1} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие $x - 1 \neq 0$ мы уже учли. Таким образом, задача сводится к решению уравнения:

$x^{110} - 1 = 0$

$x^{110} = 1$

Решениями этого уравнения в поле комплексных чисел являются корни 110-й степени из единицы. Они находятся по формуле Муавра:

$x_k = e^{i \frac{2\pi k}{110}} = \cos\left(\frac{2\pi k}{110}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi k}{110}\right)$, где $k = 0, 1, 2, \dots, 109$.

Упростим выражение в аргументе: $\frac{2\pi k}{110} = \frac{\pi k}{55}$.

Так как $x=1$ не является решением исходного уравнения, мы должны исключить корень, соответствующий $k=0$:

$x_0 = \cos(0) + i \sin(0) = 1$.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются все корни 110-й степени из единицы, кроме 1. Это соответствует значениям $k$ от 1 до 109.

Ответ: Решениями уравнения являются комплексные числа $x_k = e^{i \frac{\pi k}{55}} = \cos\left(\frac{\pi k}{55}\right) + i \sin\left(\frac{\pi k}{55}\right)$ для всех целых $k$ от $1$ до $109$.

16.32. Решите неравенство:

1) $(x-1) \cdot (x-6) < 50;$

2) $(x-14) \cdot (x-2) > 64.$

1) $(x - 1) \cdot (x - 6) < 50$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$x^2 - 6x - x + 6 < 50$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 7x + 6 - 50 < 0$

$x^2 - 7x - 44 < 0$

Теперь решим соответствующее квадратное уравнение, чтобы найти корни параболы $y = x^2 - 7x - 44$:

$x^2 - 7x - 44 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-44) = 49 + 176 = 225 = 15^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 15}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 15}{2 \cdot 1} = \frac{22}{2} = 11$

Мы получили квадратное неравенство $x^2 - 7x - 44 < 0$. Графиком функции $y = x^2 - 7x - 44$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=-4$ и $x=11$. Неравенство $y < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Изобразим решение на числовой прямой (метод интервалов):

Таким образом, решение неравенства есть интервал $(-4; 11)$.

Ответ: $x \in (-4; 11)$.

2) $(x - 14) \cdot (x - 2) > 64$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$x^2 - 2x - 14x + 28 > 64$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 16x + 28 - 64 > 0$

$x^2 - 16x - 36 > 0$

Решим соответствующее квадратное уравнение, чтобы найти корни параболы $y = x^2 - 16x - 36$:

$x^2 - 16x - 36 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 256 + 144 = 400 = 20^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 - 20}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2} = -2$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 + 20}{2 \cdot 1} = \frac{36}{2} = 18$

Мы получили квадратное неравенство $x^2 - 16x - 36 > 0$. Графиком функции $y = x^2 - 16x - 36$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1 > 0$). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=-2$ и $x=18$. Неравенство $y > 0$ выполняется на интервалах вне корней.

Изобразим решение на числовой прямой (метод интервалов):

Таким образом, решение неравенства есть объединение интервалов $(-\infty; -2)$ и $(18; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (18; +\infty)$.

16.33. Найдите значения параметра p, при которых при любых значениях переменной x верно неравенство:

1) $2x^2 - 4x + p > 0;$

2) $px^2 + 5x - 4 < 0.$

1)

Чтобы неравенство $2x^2 - 4x + p > 0$ было верным при любых значениях переменной $x$, необходимо, чтобы график квадратичной функции $y = 2x^2 - 4x + p$ полностью располагался выше оси абсцисс.

Графиком данной функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 2, то есть $a=2 > 0$. Это означает, что ветви параболы направлены вверх.

Парабола с ветвями, направленными вверх, будет полностью находиться выше оси $x$, если у соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 4x + p = 0$ нет действительных корней. Это условие выполняется, когда дискриминант $D$ отрицателен.

Найдем дискриминант данного квадратного трехчлена:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot p = 16 - 8p$.

Теперь решим неравенство $D < 0$ относительно параметра $p$:
$16 - 8p < 0$
$16 < 8p$
$p > \frac{16}{8}$
$p > 2$.

Ответ: $p > 2$.

2)

Чтобы неравенство $px^2 + 5x - 4 < 0$ было верным при любых значениях переменной $x$, рассмотрим функцию $y = px^2 + 5x - 4$ и проанализируем ее в зависимости от параметра $p$.

Случай 1: $p = 0$.
При $p = 0$ неравенство становится линейным: $5x - 4 < 0$. Решением этого неравенства является $x < \frac{4}{5}$. Так как это неравенство выполняется не для всех значений $x$, то $p = 0$ не является решением задачи.

Случай 2: $p > 0$.
При $p > 0$ графиком функции $y = px^2 + 5x - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Такая парабола всегда принимает положительные значения при достаточно больших по модулю $x$, поэтому она не может быть отрицательной для всех $x$. Следовательно, значения $p > 0$ не являются решением.

Случай 3: $p < 0$.
При $p < 0$ графиком функции $y = px^2 + 5x - 4$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Чтобы эта парабола полностью находилась ниже оси абсцисс (и, соответственно, функция была отрицательной для всех $x$), необходимо, чтобы она не имела точек пересечения с осью $x$. Это означает, что квадратное уравнение $px^2 + 5x - 4 = 0$ не должно иметь действительных корней. Условием этого является отрицательный дискриминант ($D < 0$).

Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot p \cdot (-4) = 25 + 16p$.

Решим неравенство $D < 0$:
$25 + 16p < 0$
$16p < -25$
$p < -\frac{25}{16}$.

Мы рассматриваем случай, когда $p < 0$. Полученное условие $p < -\frac{25}{16}$ удовлетворяет этому требованию, так как $-\frac{25}{16}$ меньше нуля. Таким образом, это и есть искомые значения параметра.

Ответ: $p < -\frac{25}{16}$.

16.34.
1) Найдите значение суммы всех натуральных чисел, не превосходящих 200, которые не кратны 5.

2) Найдите значение суммы всех натуральных чисел, больших 100 и не превосходящих 200, которые не кратны 3.

1) Чтобы найти значение суммы всех натуральных чисел, не превосходящих 200, которые не кратны 5, мы сначала найдем сумму всех натуральных чисел от 1 до 200, а затем вычтем из нее сумму тех чисел, которые кратны 5.

Сумма всех натуральных чисел от 1 до 200 представляет собой сумму арифметической прогрессии, где первый член $a_1 = 1$, последний член $a_{200} = 200$, а количество членов $n = 200$.

Формула суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Сумма всех чисел от 1 до 200:

$S_{1-200} = \frac{1 + 200}{2} \cdot 200 = \frac{201}{2} \cdot 200 = 201 \cdot 100 = 20100$.

Теперь найдем сумму натуральных чисел от 1 до 200, которые кратны 5. Эти числа также образуют арифметическую прогрессию: 5, 10, 15, ..., 200. Первый член этой прогрессии $b_1 = 5$, последний член $b_m = 200$. Количество членов $m = 200 / 5 = 40$.

Сумма чисел, кратных 5:

$S_5 = \frac{5 + 200}{2} \cdot 40 = \frac{205}{2} \cdot 40 = 205 \cdot 20 = 4100$.

Искомая сумма равна разности этих двух сумм:

$S = S_{1-200} - S_5 = 20100 - 4100 = 16000$.

Ответ: 16000.

2) Чтобы найти значение суммы всех натуральных чисел, больших 100 и не превосходящих 200, которые не кратны 3, мы сначала найдем сумму всех натуральных чисел от 101 до 200, а затем вычтем из нее сумму тех чисел из этого диапазона, которые кратны 3.

Сумма всех натуральных чисел от 101 до 200 является суммой арифметической прогрессии, где $a_1 = 101$, $a_n = 200$, а количество членов $n = 200 - 101 + 1 = 100$.

Сумма всех чисел от 101 до 200:

$S_{101-200} = \frac{101 + 200}{2} \cdot 100 = \frac{301}{2} \cdot 100 = 301 \cdot 50 = 15050$.

Теперь найдем сумму чисел в диапазоне от 101 до 200, которые кратны 3. Эти числа образуют арифметическую прогрессию. Первое такое число — это 102 ($3 \cdot 34$), а последнее — 198 ($3 \cdot 66$).

Первый член этой прогрессии $b_1 = 102$, последний $b_m = 198$. Количество членов можно найти как $m = 66 - 34 + 1 = 33$.

Сумма чисел, кратных 3:

$S_3 = \frac{102 + 198}{2} \cdot 33 = \frac{300}{2} \cdot 33 = 150 \cdot 33 = 4950$.

Искомая сумма равна разности этих двух сумм:

$S = S_{101-200} - S_3 = 15050 - 4950 = 10100$.

Ответ: 10100.

16.35. Постройте график функции:

1) $y = 2x^2 - 3x;$

2) $y = 2x^2 + 5x;$

3) $y = -x^2 + 4x;$

4) $y = -2x^2 - 6x.$

1) $y = 2x^2 - 3x$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=2$, $b=-3$, $c=0$. Графиком является парабола.
1. Так как коэффициент $a=2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.
Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4} = 0.75$.
Ордината вершины: $y_v = 2(\frac{3}{4})^2 - 3(\frac{3}{4}) = 2 \cdot \frac{9}{16} - \frac{9}{4} = \frac{9}{8} - \frac{18}{8} = -\frac{9}{8} = -1.125$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0.75; -1.125)$.
3. Найдем точки пересечения графика с осями координат.
С осью OY: при $x=0$, $y = 2 \cdot 0^2 - 3 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения — $(0; 0)$.
С осью OX: при $y=0$, имеем уравнение $2x^2 - 3x = 0$, или $x(2x-3)=0$. Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{3}{2} = 1.5$. Точки пересечения — $(0; 0)$ и $(1.5; 0)$.
4. Для точности построения найдем еще несколько точек.
При $x=-1$, $y = 2(-1)^2 - 3(-1) = 2+3=5$. Точка $(-1; 5)$.
При $x=2$, $y = 2(2)^2 - 3(2) = 8-6=2$. Точка $(2; 2)$.
При $x=3$, $y = 2(3)^2 - 3(3) = 18-9=9$. Точка $(3; 9)$.
5. Построим график, используя найденные точки. Ось симметрии параболы — прямая $x = 0.75$.

Ответ: График функции построен.

2) $y = 2x^2 + 5x$

Это квадратичная функция $y = ax^2 + bx + c$ с коэффициентами $a=2$, $b=5$, $c=0$. Графиком является парабола.
1. Коэффициент $a=2 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.
2. Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2 \cdot 2} = -\frac{5}{4} = -1.25$.
$y_v = 2(-\frac{5}{4})^2 + 5(-\frac{5}{4}) = 2 \cdot \frac{25}{16} - \frac{25}{4} = \frac{25}{8} - \frac{50}{8} = -\frac{25}{8} = -3.125$.
Вершина находится в точке $(-1.25; -3.125)$.
3. Точки пересечения с осями координат:
С осью OY: при $x=0$, $y = 0$. Точка $(0; 0)$.
С осью OX: при $y=0$, $2x^2 + 5x = 0 \implies x(2x+5)=0$. Корни $x_1 = 0$ и $x_2 = -\frac{5}{2} = -2.5$. Точки $(0; 0)$ и $(-2.5; 0)$.
4. Дополнительные точки:
При $x=1$, $y = 2(1)^2 + 5(1) = 7$. Точка $(1; 7)$.
При $x=-1$, $y = 2(-1)^2 + 5(-1) = 2 - 5 = -3$. Точка $(-1; -3)$.
При $x=-3$, $y = 2(-3)^2 + 5(-3) = 18 - 15 = 3$. Точка $(-3; 3)$.
5. Ось симметрии параболы — $x = -1.25$. Строим график.

Ответ: График функции построен.

3) $y = -x^2 + 4x$

Это квадратичная функция $y = ax^2 + bx + c$, где $a=-1$, $b=4$, $c=0$. Графиком является парабола.
1. Так как $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Координаты вершины $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$.
$y_v = -(2)^2 + 4(2) = -4 + 8 = 4$.
Вершина находится в точке $(2; 4)$.
3. Точки пересечения с осями:
С осью OY: при $x=0$, $y=0$. Точка $(0; 0)$.
С осью OX: при $y=0$, $-x^2 + 4x = 0 \implies -x(x-4)=0$. Корни $x_1=0$ и $x_2=4$. Точки $(0; 0)$ и $(4; 0)$.
4. Дополнительные точки:
При $x=-1$, $y = -(-1)^2 + 4(-1) = -1 - 4 = -5$. Точка $(-1; -5)$.
При $x=1$, $y = -(1)^2 + 4(1) = -1 + 4 = 3$. Точка $(1; 3)$.
При $x=5$, $y = -(5)^2 + 4(5) = -25 + 20 = -5$. Точка $(5; -5)$.
5. Ось симметрии параболы — $x=2$. Строим график.

Ответ: График функции построен.

4) $y = -2x^2 - 6x$

Это квадратичная функция $y = ax^2 + bx + c$, где $a=-2$, $b=-6$, $c=0$. Графиком является парабола.
1. Коэффициент $a=-2 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз.
2. Координаты вершины $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot (-2)} = -\frac{6}{4} = -1.5$.
$y_v = -2(-1.5)^2 - 6(-1.5) = -2(2.25) + 9 = -4.5 + 9 = 4.5$.
Вершина находится в точке $(-1.5; 4.5)$.
3. Точки пересечения с осями:
С осью OY: при $x=0$, $y=0$. Точка $(0; 0)$.
С осью OX: при $y=0$, $-2x^2 - 6x = 0 \implies -2x(x+3)=0$. Корни $x_1=0$ и $x_2=-3$. Точки $(0; 0)$ и $(-3; 0)$.
4. Дополнительные точки:
При $x=1$, $y = -2(1)^2 - 6(1) = -2 - 6 = -8$. Точка $(1; -8)$.
При $x=-1$, $y = -2(-1)^2 - 6(-1) = -2 + 6 = 4$. Точка $(-1; 4)$.
При $x=-4$, $y = -2(-4)^2 - 6(-4) = -32 + 24 = -8$. Точка $(-4; -8)$.
5. Ось симметрии — прямая $x=-1.5$. Строим график.

Ответ: График функции построен.