Страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

29.13. Найдите значение тригонометрической функции:

1) tga, если $2\operatorname{tg}a - \sin a + 5\cos a = 10$;

2) ctga, если $3\operatorname{ctg}a + 4\sin a - \cos a = 12$;

3) ctga, если $2\operatorname{tg}a - \sin a + 10\cos a = 20$;

4) tga, если $3\operatorname{ctg}a - 0.1\sin a - \cos a = -0.3$.

1) Дано уравнение $2\text{tg}\alpha - \sin\alpha + 5\cos\alpha = 10$.

Предположим, что $\cos\alpha \neq 0$, иначе $\text{tg}\alpha$ не был бы определен. Перенесем члены уравнения, чтобы сгруппировать $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$:

$2\text{tg}\alpha - 10 = \sin\alpha - 5\cos\alpha$.

Разделим обе части уравнения на $\cos\alpha$:

$\frac{2\text{tg}\alpha - 10}{\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - 5$.

$\frac{2\text{tg}\alpha - 10}{\cos\alpha} = \text{tg}\alpha - 5$.

Пусть $t = \text{tg}\alpha$. Тогда уравнение примет вид:

$\frac{2t - 10}{\cos\alpha} = t - 5$.

$\frac{2(t - 5)}{\cos\alpha} = t - 5$.

Это уравнение можно рассматривать как $(t-5) \cdot (\frac{2}{\cos\alpha} - 1) = 0$. Оно выполняется в двух случаях:

Случай 1: $t - 5 = 0$.

Отсюда $t = \text{tg}\alpha = 5$. Проверим, является ли это решением исходного уравнения. Если $\text{tg}\alpha = 5$, то $2\text{tg}\alpha = 10$. Подставим в исходное уравнение:

$10 - \sin\alpha + 5\cos\alpha = 10$.

$-\sin\alpha + 5\cos\alpha = 0$.

$5\cos\alpha = \sin\alpha$.

Разделив на $\cos\alpha$ (мы уже предположили, что он не равен нулю), получаем $\text{tg}\alpha = 5$. Это совпадает с нашим предположением, значит, это верное решение.

Случай 2: $\frac{2}{\cos\alpha} - 1 = 0$.

Отсюда $\frac{2}{\cos\alpha} = 1$, что означает $\cos\alpha = 2$. Это невозможно, так как значения косинуса лежат в диапазоне $[-1, 1]$.

Таким образом, единственное возможное значение для $\text{tg}\alpha$ равно 5.

Ответ: 5.

2) Дано уравнение $3\text{ctg}\alpha + 4\sin\alpha - \cos\alpha = 12$.

Предположим, что $\sin\alpha \neq 0$, иначе $\text{ctg}\alpha$ не был бы определен. Используем основное тригонометрическое соотношение $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, откуда $\cos\alpha = \text{ctg}\alpha \cdot \sin\alpha$.

Пусть $c = \text{ctg}\alpha$. Тогда $\cos\alpha = c \cdot \sin\alpha$. Подставим это в исходное уравнение:

$3c + 4\sin\alpha - (c \cdot \sin\alpha) = 12$.

$3c + (4-c)\sin\alpha = 12$.

Выразим член с $\sin\alpha$:

$(4-c)\sin\alpha = 12 - 3c$.

$(4-c)\sin\alpha = 3(4-c)$.

Это уравнение можно представить в виде $(4-c)(\sin\alpha - 3) = 0$. Оно выполняется в двух случаях:

Случай 1: $4 - c = 0$.

Отсюда $c = \text{ctg}\alpha = 4$. Проверим это решение. Если $\text{ctg}\alpha = 4$, то $3\text{ctg}\alpha = 12$. Подставляем в исходное уравнение:

$12 + 4\sin\alpha - \cos\alpha = 12$.

$4\sin\alpha - \cos\alpha = 0$.

$4\sin\alpha = \cos\alpha$.

Разделив на $\sin\alpha$ (не равный нулю), получаем $4 = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, то есть $\text{ctg}\alpha = 4$. Решение подтверждается.

Случай 2: $\sin\alpha - 3 = 0$.

Отсюда $\sin\alpha = 3$. Это невозможно, так как значения синуса лежат в диапазоне $[-1, 1]$.

Следовательно, единственное возможное значение для $\text{ctg}\alpha$ равно 4.

Ответ: 4.

3) Дано уравнение $2\text{tg}\alpha - \sin\alpha + 10\cos\alpha = 20$.

Задача аналогична пункту 1. Предположим, что $\cos\alpha \neq 0$. Перегруппируем члены уравнения:

$2\text{tg}\alpha - 20 = \sin\alpha - 10\cos\alpha$.

Разделим обе части на $\cos\alpha$:

$\frac{2\text{tg}\alpha - 20}{\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - 10$.

Пусть $t = \text{tg}\alpha$. Уравнение примет вид:

$\frac{2t - 20}{\cos\alpha} = t - 10$.

$\frac{2(t - 10)}{\cos\alpha} = t - 10$.

$(t-10) \cdot (\frac{2}{\cos\alpha} - 1) = 0$.

Случай 1: $t - 10 = 0$.

$t = \text{tg}\alpha = 10$. Проверяем: если $\text{tg}\alpha = 10$, то $2\text{tg}\alpha = 20$. Исходное уравнение:

$20 - \sin\alpha + 10\cos\alpha = 20$.

$-\sin\alpha + 10\cos\alpha = 0 \implies 10\cos\alpha = \sin\alpha \implies \text{tg}\alpha = 10$. Решение верное.

Случай 2: $\frac{2}{\cos\alpha} - 1 = 0$.

$\cos\alpha = 2$, что невозможно.

Единственное решение для тангенса: $\text{tg}\alpha = 10$. Нам нужно найти котангенс.

$\text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha} = \frac{1}{10}$.

Ответ: 0,1.

4) Дано уравнение $3\text{ctg}\alpha - 0,1\sin\alpha - \cos\alpha = -0,3$.

Задача аналогична пункту 2. Предположим, что $\sin\alpha \neq 0$. Пусть $c = \text{ctg}\alpha$. Тогда $\cos\alpha = c \sin\alpha$. Подставляем в уравнение:

$3c - 0,1\sin\alpha - c\sin\alpha = -0,3$.

$3c - (0,1+c)\sin\alpha = -0,3$.

$(c+0,1)\sin\alpha = 3c + 0,3$.

$(c+0,1)\sin\alpha = 3(c+0,1)$.

$(c+0,1)(\sin\alpha - 3) = 0$.

Случай 1: $c + 0,1 = 0$.

$c = \text{ctg}\alpha = -0,1$. Проверяем: если $\text{ctg}\alpha = -0,1$, то $3\text{ctg}\alpha = -0,3$. Исходное уравнение:

$-0,3 - 0,1\sin\alpha - \cos\alpha = -0,3$.

$-0,1\sin\alpha - \cos\alpha = 0 \implies -\cos\alpha = 0,1\sin\alpha \implies \text{ctg}\alpha = -0,1$. Решение верное.

Случай 2: $\sin\alpha - 3 = 0$.

$\sin\alpha = 3$, что невозможно.

Единственное решение для котангенса: $\text{ctg}\alpha = -0,1$. Нам нужно найти тангенс.

$\text{tg}\alpha = \frac{1}{\text{ctg}\alpha} = \frac{1}{-0,1} = -10$.

Ответ: -10.

29.14. Упростите выражение:

1) $\cos^2\alpha + \cos^2\beta - \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta);$

2) $\sin^2\alpha + \sin^2\beta + \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta);$

3) $\cos^2\left(\alpha - \frac{5\pi}{8}\right) - \sin^2\left(\alpha - \frac{3\pi}{8}\right);$

4) $\sin^2\left(\beta - \frac{5\pi}{12}\right) - \cos^2\left(\beta + \frac{7\pi}{12}\right).$

1) Для упрощения выражения $cos^2\alpha + cos^2\beta - cos(\alpha + \beta)cos(\alpha - \beta)$ воспользуемся формулой произведения косинусов, которая также известна как формула разности квадратов для косинусов: $cos(\alpha + \beta)cos(\alpha - \beta) = cos^2\alpha - sin^2\beta$.
Подставим это в исходное выражение:
$cos^2\alpha + cos^2\beta - (cos^2\alpha - sin^2\beta) = cos^2\alpha + cos^2\beta - cos^2\alpha + sin^2\beta$
Сократим подобные члены:
$(cos^2\alpha - cos^2\alpha) + (cos^2\beta + sin^2\beta) = 0 + cos^2\beta + sin^2\beta$
Применим основное тригонометрическое тождество $sin^2\beta + cos^2\beta = 1$.
В результате получаем: $1$.
Ответ: $1$

2) Для упрощения выражения $sin^2\alpha + sin^2\beta + cos(\alpha + \beta)cos(\alpha - \beta)$ также используем формулу $cos(\alpha + \beta)cos(\alpha - \beta) = cos^2\alpha - sin^2\beta$.
Подставим ее в выражение:
$sin^2\alpha + sin^2\beta + (cos^2\alpha - sin^2\beta) = sin^2\alpha + sin^2\beta + cos^2\alpha - sin^2\beta$
Сократим подобные члены:
$(sin^2\alpha + cos^2\alpha) + (sin^2\beta - sin^2\beta) = sin^2\alpha + cos^2\alpha + 0$
Применим основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.
В результате получаем: $1$.
Ответ: $1$

3) Упростим выражение $cos^2(\alpha - \frac{5\pi}{8}) - sin^2(\alpha - \frac{3\pi}{8})$.
Воспользуемся формулой приведения $sin(x) = cos(\frac{\pi}{2} - x)$, тогда $sin^2(x) = cos^2(\frac{\pi}{2} - x)$.
Преобразуем второй член выражения:
$sin^2(\alpha - \frac{3\pi}{8}) = cos^2(\frac{\pi}{2} - (\alpha - \frac{3\pi}{8})) = cos^2(\frac{4\pi}{8} - \alpha + \frac{3\pi}{8}) = cos^2(\frac{7\pi}{8} - \alpha)$.
Теперь выражение имеет вид: $cos^2(\alpha - \frac{5\pi}{8}) - cos^2(\frac{7\pi}{8} - \alpha)$.
Применим формулу разности квадратов косинусов: $cos^2(A) - cos^2(B) = -sin(A+B)sin(A-B)$.
Пусть $A = \alpha - \frac{5\pi}{8}$ и $B = \frac{7\pi}{8} - \alpha$.
Найдем сумму и разность аргументов:
$A+B = (\alpha - \frac{5\pi}{8}) + (\frac{7\pi}{8} - \alpha) = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$.
$A-B = (\alpha - \frac{5\pi}{8}) - (\frac{7\pi}{8} - \alpha) = 2\alpha - \frac{12\pi}{8} = 2\alpha - \frac{3\pi}{2}$.
Подставим найденные значения в формулу:
$-sin(\frac{\pi}{4})sin(2\alpha - \frac{3\pi}{2})$.
Мы знаем, что $sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Для второго синуса применим формулу приведения $sin(x - \frac{3\pi}{2}) = cos(x)$:
$sin(2\alpha - \frac{3\pi}{2}) = cos(2\alpha)$.
Тогда все выражение равно:
$-\frac{\sqrt{2}}{2}cos(2\alpha)$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}cos(2\alpha)$

4) Упростим выражение $sin^2(\beta - \frac{5\pi}{12}) - cos^2(\beta + \frac{7\pi}{12})$.
Обозначим $x = \beta - \frac{5\pi}{12}$.
Тогда второй аргумент можно выразить через $x$:
$\beta + \frac{7\pi}{12} = \beta - \frac{5\pi}{12} + \frac{5\pi}{12} + \frac{7\pi}{12} = (\beta - \frac{5\pi}{12}) + \frac{12\pi}{12} = x + \pi$.
Выражение принимает вид: $sin^2(x) - cos^2(x + \pi)$.
Используя формулу приведения $cos(x + \pi) = -cos(x)$, получаем:
$cos^2(x + \pi) = (-cos(x))^2 = cos^2(x)$.
Подставим это обратно в выражение:
$sin^2(x) - cos^2(x) = -(cos^2(x) - sin^2(x))$.
По формуле косинуса двойного угла $cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$, получаем:
$-(cos(2x)) = -cos(2x)$.
Теперь подставим обратно значение $x = \beta - \frac{5\pi}{12}$:
$-cos(2(\beta - \frac{5\pi}{12})) = -cos(2\beta - \frac{10\pi}{12}) = -cos(2\beta - \frac{5\pi}{6})$.
Для упрощения вида ответа воспользуемся свойством $cos(y - \pi) = -cos(y)$, откуда $-cos(y) = cos(y-\pi)$ или $-cos(y) = cos(y+\pi)$.
Пусть $y = 2\beta - \frac{5\pi}{6}$. Тогда $-cos(2\beta - \frac{5\pi}{6}) = cos((2\beta - \frac{5\pi}{6}) + \pi) = cos(2\beta - \frac{5\pi}{6} + \frac{6\pi}{6}) = cos(2\beta + \frac{\pi}{6})$.
Ответ: $cos(2\beta + \frac{\pi}{6})$

29.15. Докажите, что верно равенство:

$tg30^\circ + tg40^\circ + tg50^\circ + tg60^\circ = \frac{8\cos20^\circ}{\sqrt{3}}$.

Для доказательства равенства преобразуем его левую часть. Обозначим ее как Л.

$Л = \text{tg}30^\circ + \text{tg}40^\circ + \text{tg}50^\circ + \text{tg}60^\circ$

Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$Л = (\text{tg}30^\circ + \text{tg}60^\circ) + (\text{tg}40^\circ + \text{tg}50^\circ)$

Вычислим значение первой скобки, используя известные значения тангенсов:

$\text{tg}30^\circ + \text{tg}60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3} = \frac{1 + (\sqrt{3})^2}{\sqrt{3}} = \frac{1+3}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$

Теперь преобразуем вторую скобку. Для этого представим тангенсы как отношение синуса к косинусу и приведем к общему знаменателю:

$\text{tg}40^\circ + \text{tg}50^\circ = \frac{\sin40^\circ}{\cos40^\circ} + \frac{\sin50^\circ}{\cos50^\circ} = \frac{\sin40^\circ\cos50^\circ + \cos40^\circ\sin50^\circ}{\cos40^\circ\cos50^\circ}$

В числителе используем формулу синуса суммы $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$:

$\sin40^\circ\cos50^\circ + \cos40^\circ\sin50^\circ = \sin(40^\circ + 50^\circ) = \sin90^\circ = 1$

Знаменатель преобразуем, используя формулу приведения $\cos50^\circ = \cos(90^\circ - 40^\circ) = \sin40^\circ$ и формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$:

$\cos40^\circ\cos50^\circ = \cos40^\circ\sin40^\circ = \frac{1}{2}(2\sin40^\circ\cos40^\circ) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 40^\circ) = \frac{1}{2}\sin80^\circ$

Таким образом, вторая скобка равна:

$\text{tg}40^\circ + \text{tg}50^\circ = \frac{1}{\frac{1}{2}\sin80^\circ} = \frac{2}{\sin80^\circ}$

Теперь сложим результаты преобразования обеих групп:

$Л = \frac{4}{\sqrt{3}} + \frac{2}{\sin80^\circ}$

Наша цель — показать, что это выражение равно $\frac{8\cos20^\circ}{\sqrt{3}}$. Для этого докажем вспомогательное тождество:

$\frac{4(2\cos20^\circ-1)}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sin80^\circ}$

Это равносильно доказательству того, что $2\sqrt{3} = 4\sin80^\circ(2\cos20^\circ-1)$, или $\sqrt{3} = 4\sin80^\circ\cos20^\circ - 2\sin80^\circ$.

Рассмотрим выражение $4\sin80^\circ\cos20^\circ$. Применим формулу произведения синуса на косинус $2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)$:

$4\sin80^\circ\cos20^\circ = 2(2\sin80^\circ\cos20^\circ) = 2(\sin(80^\circ+20^\circ) + \sin(80^\circ-20^\circ)) = 2(\sin100^\circ + \sin60^\circ)$

Используем формулу приведения $\sin100^\circ = \sin(180^\circ-80^\circ) = \sin80^\circ$ и табличное значение $\sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$2(\sin100^\circ + \sin60^\circ) = 2(\sin80^\circ + \frac{\sqrt{3}}{2}) = 2\sin80^\circ + \sqrt{3}$

Подставим полученный результат в правую часть доказываемого тождества:

$(2\sin80^\circ + \sqrt{3}) - 2\sin80^\circ = \sqrt{3}$

Так как левая часть тождества также равна $\sqrt{3}$, оно доказано. Следовательно, верно и равенство $\frac{2}{\sin80^\circ} = \frac{4(2\cos20^\circ-1)}{\sqrt{3}}$.

Вернемся к выражению для Л и подставим в него доказанное соотношение:

$Л = \frac{4}{\sqrt{3}} + \frac{2}{\sin80^\circ} = \frac{4}{\sqrt{3}} + \frac{4(2\cos20^\circ-1)}{\sqrt{3}} = \frac{4 + 8\cos20^\circ - 4}{\sqrt{3}} = \frac{8\cos20^\circ}{\sqrt{3}}$

Мы показали, что левая часть исходного равенства равна его правой части.

Ответ: Равенство $\text{tg}30^\circ + \text{tg}40^\circ + \text{tg}50^\circ + \text{tg}60^\circ = \frac{8\cos20^\circ}{\sqrt{3}}$ доказано.

29.16. Докажите тождество:

1) sina + sin2a + sin3a + ... + sinna = $\frac{\sin \frac{n \alpha}{2} \sin \frac{(n+1) \alpha}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2}};$

2) cosa + cos2a + cos3a + ... + cosna = $\frac{\sin \frac{n \alpha}{2} \cos \frac{(n+1) \alpha}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2}}.$

1) Докажем тождество $ \sin\alpha + \sin2\alpha + \sin3\alpha + \dots + \sin n\alpha = \frac{\sin\frac{n\alpha}{2}\sin\frac{(n+1)\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}} $.

Обозначим сумму в левой части через $S_n$:$S_n = \sin\alpha + \sin2\alpha + \dots + \sin n\alpha$.

Домножим обе части равенства на $2\sin\frac{\alpha}{2}$. Будем предполагать, что $\sin\frac{\alpha}{2} \neq 0$, то есть $\alpha \neq 2\pi k$ для любого целого $k$. Если $\alpha = 2\pi k$, то все слагаемые в левой части равны нулю, и сумма равна нулю. Правая часть в этом случае не определена.

$2S_n \sin\frac{\alpha}{2} = 2\sin\alpha\sin\frac{\alpha}{2} + 2\sin2\alpha\sin\frac{\alpha}{2} + \dots + 2\sin n\alpha\sin\frac{\alpha}{2}$.

Воспользуемся тригонометрической формулой произведения синусов: $2\sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$.Применим эту формулу к каждому слагаемому в правой части равенства. Для слагаемого с номером $k$ ($1 \le k \le n$) имеем:$2\sin k\alpha \sin\frac{\alpha}{2} = \cos(k\alpha - \frac{\alpha}{2}) - \cos(k\alpha + \frac{\alpha}{2}) = \cos\frac{(2k-1)\alpha}{2} - \cos\frac{(2k+1)\alpha}{2}$.

Тогда сумма примет вид:

$2S_n \sin\frac{\alpha}{2} = \left(\cos\frac{\alpha}{2} - \cos\frac{3\alpha}{2}\right) + \left(\cos\frac{3\alpha}{2} - \cos\frac{5\alpha}{2}\right) + \left(\cos\frac{5\alpha}{2} - \cos\frac{7\alpha}{2}\right) + \dots + \left(\cos\frac{(2n-1)\alpha}{2} - \cos\frac{(2n+1)\alpha}{2}\right)$.

Эта сумма является телескопической. Все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются:

$2S_n \sin\frac{\alpha}{2} = \cos\frac{\alpha}{2} - \cos\frac{(2n+1)\alpha}{2}$.

Теперь применим формулу разности косинусов: $\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$.

$2S_n \sin\frac{\alpha}{2} = -2\sin\frac{\frac{\alpha}{2} + \frac{(2n+1)\alpha}{2}}{2} \sin\frac{\frac{\alpha}{2} - \frac{(2n+1)\alpha}{2}}{2}$$ = -2\sin\frac{\frac{(2n+2)\alpha}{2}}{2} \sin\frac{\frac{-2n\alpha}{2}}{2}$$ = -2\sin\frac{(n+1)\alpha}{2} \sin\frac{-n\alpha}{2}$.

Используя свойство нечетности синуса $\sin(-x) = -\sin x$, получаем:$2S_n \sin\frac{\alpha}{2} = 2\sin\frac{(n+1)\alpha}{2} \sin\frac{n\alpha}{2}$.

Разделим обе части на $2\sin\frac{\alpha}{2}$:

$S_n = \frac{\sin\frac{n\alpha}{2}\sin\frac{(n+1)\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}$.

Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $ \cos\alpha + \cos2\alpha + \cos3\alpha + \dots + \cos n\alpha = \frac{\sin\frac{n\alpha}{2}\cos\frac{(n+1)\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}} $.

Обозначим сумму в левой части через $C_n$:$C_n = \cos\alpha + \cos2\alpha + \dots + \cos n\alpha$.

Домножим обе части равенства на $2\sin\frac{\alpha}{2}$ (также предполагая, что $\sin\frac{\alpha}{2} \neq 0$):

$2C_n \sin\frac{\alpha}{2} = 2\cos\alpha\sin\frac{\alpha}{2} + 2\cos2\alpha\sin\frac{\alpha}{2} + \dots + 2\cos n\alpha\sin\frac{\alpha}{2}$.

Воспользуемся тригонометрической формулой произведения синуса на косинус: $2\cos A \sin B = \sin(A+B) - \sin(A-B)$.Применим эту формулу к каждому слагаемому в правой части. Для слагаемого с номером $k$ ($1 \le k \le n$) имеем:$2\cos k\alpha \sin\frac{\alpha}{2} = \sin(k\alpha + \frac{\alpha}{2}) - \sin(k\alpha - \frac{\alpha}{2}) = \sin\frac{(2k+1)\alpha}{2} - \sin\frac{(2k-1)\alpha}{2}$.

Тогда сумма примет вид:

$2C_n \sin\frac{\alpha}{2} = \left(\sin\frac{3\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2}\right) + \left(\sin\frac{5\alpha}{2} - \sin\frac{3\alpha}{2}\right) + \left(\sin\frac{7\alpha}{2} - \sin\frac{5\alpha}{2}\right) + \dots + \left(\sin\frac{(2n+1)\alpha}{2} - \sin\frac{(2n-1)\alpha}{2}\right)$.

Эта сумма также является телескопической. Промежуточные слагаемые сокращаются:

$2C_n \sin\frac{\alpha}{2} = \sin\frac{(2n+1)\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2}$.

Теперь применим формулу разности синусов: $\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$.

$2C_n \sin\frac{\alpha}{2} = 2\cos\frac{\frac{(2n+1)\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2}}{2} \sin\frac{\frac{(2n+1)\alpha}{2} - \frac{\alpha}{2}}{2}$$ = 2\cos\frac{\frac{(2n+2)\alpha}{2}}{2} \sin\frac{\frac{2n\alpha}{2}}{2}$$ = 2\cos\frac{(n+1)\alpha}{2} \sin\frac{n\alpha}{2}$.

Разделим обе части на $2\sin\frac{\alpha}{2}$:

$C_n = \frac{\sin\frac{n\alpha}{2}\cos\frac{(n+1)\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}$.

Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

29.17. Найдите значение выражения $\frac{\sin 4\alpha}{\sin \alpha}$, если известно, что $4\sin^2\alpha - 9\cos\alpha - 6 = 0$.

Для начала решим данное уравнение $4\sin^2\alpha - 9\cos\alpha - 6 = 0$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$. Подставим это выражение в уравнение:

$4(1 - \cos^2\alpha) - 9\cos\alpha - 6 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно $\cos\alpha$:

$4 - 4\cos^2\alpha - 9\cos\alpha - 6 = 0$

$-4\cos^2\alpha - 9\cos\alpha - 2 = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$:

$4\cos^2\alpha + 9\cos\alpha + 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos\alpha$, где $-1 \le t \le 1$. Уравнение примет вид $4t^2 + 9t + 2 = 0$.

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = 9^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49$

$t_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-9 \pm 7}{8}$

Получаем два корня: $t_1 = \frac{-9-7}{8} = -2$ и $t_2 = \frac{-9+7}{8} = -\frac{1}{4}$.

Возвращаясь к замене $t = \cos\alpha$, видим, что корень $t_1 = -2$ является посторонним, так как значение косинуса не может быть меньше $-1$. Следовательно, единственное возможное значение: $\cos\alpha = -\frac{1}{4}$.

Теперь преобразуем выражение $\frac{\sin4\alpha}{\sin\alpha}$. Используем формулу синуса двойного угла $\sin2x = 2\sin x \cos x$:

$\frac{\sin4\alpha}{\sin\alpha} = \frac{2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)}{\sin\alpha} = \frac{2(2\sin\alpha\cos\alpha)\cos(2\alpha)}{\sin\alpha}$

Поскольку $\cos\alpha = -\frac{1}{4}$, то $\sin\alpha \ne 0$, и мы можем сократить дробь на $\sin\alpha$. Также используем формулу косинуса двойного угла $\cos2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$:

$4\cos\alpha\cos(2\alpha) = 4\cos\alpha(2\cos^2\alpha - 1)$

Подставим найденное значение $\cos\alpha = -\frac{1}{4}$ в полученное выражение:

$4\left(-\frac{1}{4}\right)\left(2\left(-\frac{1}{4}\right)^2 - 1\right) = -1\left(2\cdot\frac{1}{16} - 1\right) = -1\left(\frac{1}{8} - 1\right) = -1\left(-\frac{7}{8}\right) = \frac{7}{8}$.

Ответ: $\frac{7}{8}$

29.18. Сократите дробь: $ \frac{4\cos^2 2\alpha - 4\cos^2 \alpha + 3\sin^2 \alpha}{4\cos^2 \left(\frac{5\pi}{2} - \alpha\right) - \sin^2 (2\alpha - 2\pi)} $.

Для сокращения дроби $\frac{4\cos^2 2\alpha - 4\cos^2 \alpha + 3\sin^2 \alpha}{4\cos^2(\frac{5\pi}{2} - \alpha) - \sin^2(2\alpha - 2\pi)}$ необходимо упростить её числитель и знаменатель по отдельности.

Сначала упростим знаменатель дроби: $4\cos^2(\frac{5\pi}{2} - \alpha) - \sin^2(2\alpha - 2\pi)$.
Используем формулы приведения. Учитывая, что $\frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$, получаем:
$\cos(\frac{5\pi}{2} - \alpha) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha$.
Также, функция синус имеет период $2\pi$, поэтому $\sin(2\alpha - 2\pi) = \sin(2\alpha)$.
Подставляя эти результаты в выражение для знаменателя, получаем:
$4\sin^2 \alpha - \sin^2(2\alpha)$.
Теперь применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin \alpha \cos \alpha$ и основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, из которого следует, что $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$:
$4\sin^2 \alpha - (2\sin \alpha \cos \alpha)^2 = 4\sin^2 \alpha - 4\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 4\sin^2 \alpha (1 - \cos^2 \alpha) = 4\sin^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha = 4\sin^4 \alpha$.

Далее упростим числитель дроби: $4\cos^2 2\alpha - 4\cos^2 \alpha + 3\sin^2 \alpha$.
Для удобства выразим все тригонометрические функции через $\sin \alpha$. Используем тождество $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$ и формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$.
Возводим в квадрат выражение для косинуса двойного угла: $\cos^2 2\alpha = (1 - 2\sin^2 \alpha)^2 = 1 - 4\sin^2 \alpha + 4\sin^4 \alpha$.
Подставляем полученные выражения в числитель:
$4(1 - 4\sin^2 \alpha + 4\sin^4 \alpha) - 4(1 - \sin^2 \alpha) + 3\sin^2 \alpha$.
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
$4 - 16\sin^2 \alpha + 16\sin^4 \alpha - 4 + 4\sin^2 \alpha + 3\sin^2 \alpha = 16\sin^4 \alpha - 9\sin^2 \alpha$.
Выносим общий множитель $\sin^2 \alpha$ за скобки: $\sin^2 \alpha(16\sin^2 \alpha - 9)$.

Теперь, когда числитель и знаменатель упрощены, подставим их обратно в дробь:
$\frac{\sin^2 \alpha (16\sin^2 \alpha - 9)}{4\sin^4 \alpha}$.
Область допустимых значений исходного выражения требует, чтобы знаменатель не был равен нулю, то есть $4\sin^4 \alpha \neq 0$, что означает $\sin \alpha \neq 0$. Это позволяет нам сократить дробь на $\sin^2 \alpha$:
$\frac{16\sin^2 \alpha - 9}{4\sin^2 \alpha}$.

Ответ: $\frac{16\sin^2 \alpha - 9}{4\sin^2 \alpha}$

29.19. Упростите выражение:

1) $0,125\cos4\alpha + \sin^2\alpha\cos^2\alpha;$

2) $\sin^2\beta\text{tg}\beta - \cos^2\beta\text{ctg}\beta + 2\text{ctg}2\beta;$

3) $\frac{1}{\text{tg}^2\alpha} - \frac{2\cos2\alpha}{1 + \sin(2\alpha + 1,5\pi)};$

4) $\frac{1}{1 - \text{tg}\beta} - \frac{\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4} + \beta\right)\sin\beta}{\cos2\beta}.$

1) Упростим выражение $0,125\cos4\alpha + \sin^2\alpha\cos^2\alpha$.
Сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,125 = \frac{1}{8}$.
Далее, используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Из этой формулы следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.
Тогда второе слагаемое в выражении можно переписать так: $\sin^2\alpha\cos^2\alpha = (\sin\alpha\cos\alpha)^2 = (\frac{1}{2}\sin(2\alpha))^2 = \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha)$.
Теперь наше выражение имеет вид: $\frac{1}{8}\cos4\alpha + \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha)$.
Применим формулу косинуса двойного угла в виде $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta$. Положив $\theta = 2\alpha$, получим $\cos(4\alpha) = 1 - 2\sin^2(2\alpha)$.
Подставим это в наше выражение: $\frac{1}{8}(1 - 2\sin^2(2\alpha)) + \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha) = \frac{1}{8} - \frac{2}{8}\sin^2(2\alpha) + \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha) = \frac{1}{8} - \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha) + \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha) = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$

2) Упростим выражение $\sin^2\beta\tg\beta - \cos^2\beta\ctg\beta + 2\ctg2\beta$.
Запишем тангенс и котангенс через синус и косинус: $\tg\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$, $\ctg\beta = \frac{\cos\beta}{\sin\beta}$, $\ctg2\beta = \frac{\cos2\beta}{\sin2\beta}$.
Выражение принимает вид: $\sin^2\beta\frac{\sin\beta}{\cos\beta} - \cos^2\beta\frac{\cos\beta}{\sin\beta} + 2\frac{\cos2\beta}{\sin2\beta}$.
Упростим первые два слагаемых и используем формулу синуса двойного угла $\sin2\beta = 2\sin\beta\cos\beta$ для третьего слагаемого: $\frac{\sin^3\beta}{\cos\beta} - \frac{\cos^3\beta}{\sin\beta} + 2\frac{\cos2\beta}{2\sin\beta\cos\beta} = \frac{\sin^4\beta - \cos^4\beta}{\sin\beta\cos\beta} + \frac{\cos2\beta}{\sin\beta\cos\beta}$.
Разложим числитель первой дроби как разность квадратов: $\sin^4\beta - \cos^4\beta = (\sin^2\beta - \cos^2\beta)(\sin^2\beta + \cos^2\beta)$.
Так как $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$ и $\cos^2\beta - \sin^2\beta = \cos2\beta$, то $\sin^2\beta - \cos^2\beta = -\cos2\beta$.
Подставим это в выражение: $\frac{-\cos2\beta}{\sin\beta\cos\beta} + \frac{\cos2\beta}{\sin\beta\cos\beta} = 0$.
Ответ: $0$

3) Упростим выражение $\frac{1}{\tg^2\alpha} - \frac{2\cos2\alpha}{1 + \sin(2\alpha + 1,5\pi)}$.
Сначала упростим знаменатель второй дроби. Используем формулу приведения: $\sin(x + \frac{3\pi}{2}) = -\cos x$.
Тогда $\sin(2\alpha + 1,5\pi) = \sin(2\alpha + \frac{3\pi}{2}) = -\cos(2\alpha)$.
Знаменатель становится $1 - \cos2\alpha$.
Теперь выражение выглядит так: $\frac{1}{\tg^2\alpha} - \frac{2\cos2\alpha}{1 - \cos2\alpha}$.
Заменим $\frac{1}{\tg^2\alpha}$ на $\ctg^2\alpha = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$ и используем формулу $1 - \cos2\alpha = 2\sin^2\alpha$:
$\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} - \frac{2\cos2\alpha}{2\sin^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha - \cos2\alpha}{\sin^2\alpha}$.
Применим формулу косинуса двойного угла $\cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ к числителю:
$\frac{\cos^2\alpha - (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)}{\sin^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha - \cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} = 1$.
Ответ: $1$

4) Упростим выражение $\frac{1}{1 - \tg\beta} - \frac{\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{4} + \beta)\sin\beta}{\cos2\beta}$.
Раскроем синус суммы в числителе второй дроби: $\sin(\frac{\pi}{4} + \beta) = \sin\frac{\pi}{4}\cos\beta + \cos\frac{\pi}{4}\sin\beta = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\beta + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\beta = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\beta + \sin\beta)$.
Тогда числитель второй дроби равен: $\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\beta + \sin\beta)\sin\beta = (\cos\beta + \sin\beta)\sin\beta$.
Вся вторая дробь: $\frac{(\cos\beta + \sin\beta)\sin\beta}{\cos2\beta}$.
Используем формулу $\cos2\beta = \cos^2\beta - \sin^2\beta = (\cos\beta - \sin\beta)(\cos\beta + \sin\beta)$.
Вторая дробь становится $\frac{(\cos\beta + \sin\beta)\sin\beta}{(\cos\beta - \sin\beta)(\cos\beta + \sin\beta)} = \frac{\sin\beta}{\cos\beta - \sin\beta}$ (при условии $\cos\beta + \sin\beta \neq 0$).
Теперь преобразуем первую дробь: $\frac{1}{1 - \tg\beta} = \frac{1}{1 - \frac{\sin\beta}{\cos\beta}} = \frac{1}{\frac{\cos\beta - \sin\beta}{\cos\beta}} = \frac{\cos\beta}{\cos\beta - \sin\beta}$.
Подставим всё в исходное выражение:
$\frac{\cos\beta}{\cos\beta - \sin\beta} - \frac{\sin\beta}{\cos\beta - \sin\beta} = \frac{\cos\beta - \sin\beta}{\cos\beta - \sin\beta} = 1$.
Ответ: $1$

29.20. Докажите тождество:

$\sin x + \sin 3x + \sin 5x + \sin 7x = 4 \cos x \cos 2x \sin 4x.$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала сгруппируем слагаемые следующим образом:

$(\sin x + \sin 7x) + (\sin 3x + \sin 5x)$

Для преобразования суммы синусов в произведение воспользуемся формулой суммы синусов:

$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$

Применим эту формулу к каждой паре слагаемых.

Для первой пары $(\sin x + \sin 7x)$:

$\sin x + \sin 7x = 2 \sin \frac{x + 7x}{2} \cos \frac{7x - x}{2} = 2 \sin \frac{8x}{2} \cos \frac{6x}{2} = 2 \sin 4x \cos 3x$

Для второй пары $(\sin 3x + \sin 5x)$:

$\sin 3x + \sin 5x = 2 \sin \frac{3x + 5x}{2} \cos \frac{5x - 3x}{2} = 2 \sin \frac{8x}{2} \cos \frac{2x}{2} = 2 \sin 4x \cos x$

Теперь подставим полученные произведения обратно в исходное выражение:

$2 \sin 4x \cos 3x + 2 \sin 4x \cos x$

Вынесем за скобки общий множитель $2 \sin 4x$:

$2 \sin 4x (\cos 3x + \cos x)$

К выражению в скобках применим формулу суммы косинусов:

$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$

Получаем:

$\cos 3x + \cos x = 2 \cos \frac{3x + x}{2} \cos \frac{3x - x}{2} = 2 \cos \frac{4x}{2} \cos \frac{2x}{2} = 2 \cos 2x \cos x$

Подставим это обратно в наше выражение:

$2 \sin 4x (2 \cos 2x \cos x)$

Раскрыв скобки и перегруппировав множители, получаем правую часть исходного тождества:

$4 \cos x \cos 2x \sin 4x$

Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано путем преобразования левой части к виду правой с использованием формул суммы синусов и суммы косинусов.

29.21. Найдите множество значений выражения:

1) $tgxcosx + ctgxsinx$;

2) $tgxcosx - ctgxsinx$.

1) tgxcosx + ctgxsinx;

Для того чтобы выражение имело смысл, должны быть определены функции тангенса и котангенса. Область определения функции $y=\tg x$ — все $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Область определения функции $y=\ctg x$ — все $x$, кроме $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Таким образом, для нашего выражения область допустимых значений (ОДЗ) — это все $x$, для которых одновременно $\cos x \neq 0$ и $\sin x \neq 0$. Это эквивалентно условию $\sin(2x) \neq 0$, то есть $2x \neq \pi k$, или $x \neq \frac{\pi k}{2}$ для любого целого $k$.
Упростим данное выражение, учитывая ОДЗ:
$\tg x \cos x + \ctg x \sin x = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x + \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin x = \sin x + \cos x$.
Теперь задача сводится к нахождению множества значений функции $y = \sin x + \cos x$ при условии, что $x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Преобразуем выражение $\sin x + \cos x$ с помощью метода вспомогательного угла:
$\sin x + \cos x = \sqrt{1^2+1^2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x \right) = \sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{4}\sin x + \sin\frac{\pi}{4}\cos x \right) = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$.
Множество значений функции синус — это отрезок $[-1; 1]$. Следовательно, для функции $y = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ множество значений на всей числовой прямой — это отрезок $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$.
Однако мы должны учесть ОДЗ. Найдем, какие значения принимает выражение $\sin x + \cos x$ в точках, которые исключены из ОДЗ, то есть при $x = \frac{\pi k}{2}$.
Если $x = \pi k$ (например, $0, \pi, 2\pi, ...$), то $\sin x = 0$, а $\cos x = \pm 1$. Тогда $\sin x + \cos x = \pm 1$.
Если $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ (например, $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, ...$), то $\cos x = 0$, а $\sin x = \pm 1$. Тогда $\sin x + \cos x = \pm 1$.
Поскольку в этих точках исходное выражение не определено, значения $1$ и $-1$ не могут быть достигнуты. Функция $y = \sin x + \cos x$ непрерывна, и на интервалах, составляющих ОДЗ, она принимает все значения из отрезка $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$, кроме $1$ и $-1$.
Таким образом, множество значений исходного выражения есть объединение интервалов $[-\sqrt{2}; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; \sqrt{2}]$.
Ответ: $[-\sqrt{2}; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; \sqrt{2}]$.

2) tgxcosx - ctgxsinx.

Область допустимых значений для этого выражения такая же, как и в предыдущем пункте: $x \neq \frac{\pi k}{2}$ для любого целого $k$, так как должны быть определены и $\tg x$, и $\ctg x$.
Упростим выражение:
$\tg x \cos x - \ctg x \sin x = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x - \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin x = \sin x - \cos x$.
Задача сводится к нахождению множества значений функции $y = \sin x - \cos x$ при условии $x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Используем метод вспомогательного угла:
$\sin x - \cos x = \sqrt{1^2+(-1)^2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x \right) = \sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{4}\sin x - \sin\frac{\pi}{4}\cos x \right) = \sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.
Множество значений функции $y = \sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ на всей числовой прямой — это отрезок $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$.
Теперь учтем ОДЗ, проверив значения выражения $\sin x - \cos x$ в исключенных точках $x = \frac{\pi k}{2}$.
Если $x = \pi k$, то $\sin x = 0$, а $\cos x = \pm 1$. Тогда $\sin x - \cos x = 0 - (\pm 1) = \mp 1$. То есть значения равны $1$ или $-1$.
Если $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, то $\cos x = 0$, а $\sin x = \pm 1$. Тогда $\sin x - \cos x = \pm 1 - 0 = \pm 1$.
Таким образом, значения $1$ и $-1$ достигаются только в точках, исключенных из ОДЗ. Следовательно, эти значения не входят в искомое множество значений.
Множество значений исходного выражения есть $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}] \setminus \{-1, 1\}$.
Ответ: $[-\sqrt{2}; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; \sqrt{2}]$.