Страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

9.11. Решите уравнение с помощью замены переменной:

1) $x^4 - 7x^2 - 18 = 0;$

2) $x^4 + 4x^2 - 45 = 0;$

3) $x^2 - 4x - 3\sqrt{(x-2)^2} = 14;$

4) $x - 5 + 2\sqrt{x-5} = 8.$

1) $x^4 - 7x^2 - 18 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

Подставим $t$ в исходное уравнение:

$(x^2)^2 - 7x^2 - 18 = 0$

$t^2 - 7t - 18 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно переменной $t$. Решим его с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121 = 11^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 11}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 11}{2} = \frac{18}{2} = 9$

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = -2$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Корень $t_2 = 9$ удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$x^2 = t_2$

$x^2 = 9$

$x_1 = 3$, $x_2 = -3$

Ответ: $-3; 3$.

2) $x^4 + 4x^2 - 45 = 0$

Это также биквадратное уравнение. Введем замену переменной $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Уравнение примет вид:

$t^2 + 4t - 45 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна $-4$, а их произведение равно $-45$. Подбором находим корни $t_1 = -9$ и $t_2 = 5$.

Либо решим через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196 = 14^2$

$t_1 = \frac{-4 - 14}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

$t_2 = \frac{-4 + 14}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Корень $t_1 = -9$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Корень $t_2 = 5$ удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену:

$x^2 = 5$

$x_1 = \sqrt{5}$, $x_2 = -\sqrt{5}$

Ответ: $-\sqrt{5}; \sqrt{5}$.

3) $x^2 - 4x - 3\sqrt{(x-2)^2} = 14$

Упростим выражение под корнем: $\sqrt{(x-2)^2} = |x-2|$.

Уравнение принимает вид: $x^2 - 4x - 3|x-2| = 14$.

Выделим полный квадрат в выражении $x^2 - 4x$:

$x^2 - 4x = x^2 - 4x + 4 - 4 = (x-2)^2 - 4$.

Подставим это в уравнение:

$(x-2)^2 - 4 - 3|x-2| = 14$

$(x-2)^2 - 3|x-2| - 18 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = |x-2|$. Так как модуль числа всегда неотрицателен, то $t \ge 0$. Заметим, что $(x-2)^2 = |x-2|^2 = t^2$.

Уравнение с новой переменной:

$t^2 - 3t - 18 = 0$

Решим это квадратное уравнение:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81 = 9^2$

$t_1 = \frac{3 - 9}{2} = -3$

$t_2 = \frac{3 + 9}{2} = 6$

Корень $t_1 = -3$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Корень $t_2 = 6$ подходит.

Вернемся к переменной $x$:

$|x-2| = 6$

Это уравнение равносильно двум уравнениям:

1. $x-2 = 6 \implies x = 8$

2. $x-2 = -6 \implies x = -4$

Ответ: $-4; 8$.

4) $x - 5 + 2\sqrt{x-5} = 8$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x-5 \ge 0$, откуда $x \ge 5$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x-5}$. По определению арифметического корня, $t \ge 0$.

Тогда $t^2 = (\sqrt{x-5})^2 = x-5$.

Подставим $t$ и $t^2$ в исходное уравнение:

$t^2 + 2t = 8$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 + 2t - 8 = 0$

Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а произведение $-8$. Корни: $t_1 = -4$ и $t_2 = 2$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = -4$ не удовлетворяет условию, является посторонним.

Корень $t_2 = 2$ подходит.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{x-5} = 2$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x-5 = 4$

$x = 9$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($x \ge 5$). $9 \ge 5$, значит, корень подходит.

Ответ: $9$.

9.12. 1) Найдите число четных четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, при условии, что ни одна цифра не повторяется дважды.

2) Найдите число способов распределения 10 мест среди 10 участников соревнований.

1) Чтобы найти количество четных четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 0, 1, 3, 5 без повторения, нужно учесть несколько условий.
Четырехзначное число имеет вид $ABCD$, где $A, B, C, D$ — это цифры.
1. Четность числа: Число является четным, если его последняя цифра — четная. Из предложенного набора {0, 1, 3, 5} единственная четная цифра — это 0. Следовательно, последняя цифра ($D$) нашего числа должна быть 0.
2. Четырехзначность: Первая цифра ($A$) не может быть 0.
3. Уникальность цифр: Каждая цифра может быть использована только один раз.

Начнем составлять число с учетом этих ограничений, определяя количество вариантов для каждой позиции:
- Позиция D (последняя цифра): Должна быть 0 для четности. Есть только 1 вариант.
- Позиция A (первая цифра): Не может быть 0. Так как 0 уже занят на последней позиции, это условие выполняется. Для первой позиции остаются цифры {1, 3, 5}. Таким образом, есть 3 варианта.
- Позиция B (вторая цифра): Мы уже использовали две цифры (одну для A и 0 для D). Из четырех исходных цифр осталось две. Значит, для второй позиции есть 2 варианта.
- Позиция C (третья цифра): Использовано уже три цифры. Осталась только одна. Для третьей позиции есть 1 вариант.

Чтобы найти общее количество возможных чисел, перемножим количество вариантов для каждой позиции:
$N = 3 \times 2 \times 1 \times 1 = 6$
Таким образом, существует 6 таких чисел.
Ответ: 6.

2) Требуется найти число способов распределения 10 мест среди 10 участников соревнований.
Это задача о перестановках, так как важен порядок распределения мест, и каждый участник занимает ровно одно место. Мы должны найти количество всех возможных упорядоченных наборов из 10 различных элементов (участников).
- Для первого места есть 10 кандидатов (любой из 10 участников).
- После того как первое место занято, на второе место претендуют оставшиеся 9 участников.
- На третье место — 8 участников, и так далее, пока для последнего, десятого, места не останется только 1 участник.

Общее число способов равно произведению числа вариантов для каждого места. Это число перестановок из 10 элементов, которое вычисляется как факториал числа 10 ($10!$).
$P_{10} = 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$
Вычислим значение:
$10! = 3 628 800$
Следовательно, существует 3 628 800 способов распределить места.
Ответ: 3 628 800.

9.13. Сколько разных комплектов одежды, состоящих из блузки и брюк, можно составить из 4 разных блузок и 6 разных брюк, если они все подходят друг другу?

Для решения этой задачи применяется основное правило комбинаторики — правило умножения. Согласно этому правилу, если один элемент (блузку) можно выбрать $n$ способами, а другой независимый элемент (брюки) можно выбрать $m$ способами, то составить пару из этих двух элементов можно $n \times m$ способами.

В нашем случае даны:

• Количество разных блузок: $n = 4$
• Количество разных брюк: $m = 6$

По условию, все блузки подходят ко всем брюкам, поэтому выбор блузки и выбор брюк являются независимыми событиями. Чтобы найти общее количество возможных комплектов одежды, нужно перемножить количество доступных блузок на количество доступных брюк.

Общее количество комплектов = (Количество блузок) × (Количество брюк)

Выполним вычисление: $4 \times 6 = 24$

Таким образом, из 4 разных блузок и 6 разных брюк можно составить 24 разных комплекта одежды.

Ответ: 24.