Страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. Что означает символ $n!$?

2. Что означают записи $(x_1, x_2)$ и $\{x_1, x_2\}$?

3. В чем сходство и различие перестановок и размещений без повторений?

4. В каких случаях используют перестановки без повторений?

5. В каких случаях используют размещения без повторений?

1. Что означает символ n!?Символ $n!$ (читается как «эн факториал») обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно. Факториал является основной функцией в комбинаторике, особенно при вычислении числа перестановок.
Формула для вычисления факториала:$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n$.
Например, факториал числа 5 вычисляется так: $5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$.
По определению, факториал нуля равен единице: $0! = 1$.
Ответ: Символ $n!$ обозначает факториал числа $n$ — произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

2. Что означают записи $(x_1, x_2)$ и $\{x_1, x_2\}$?Запись $(x_1, x_2)$ — это упорядоченная пара или кортеж. В такой записи важен порядок следования элементов. Это означает, что в общем случае кортеж $(x_1, x_2)$ не равен кортежу $(x_2, x_1)$, если $x_1 \neq x_2$. Упорядоченные пары используются для обозначения размещений, координат на плоскости и в других случаях, где порядок имеет значение.
Запись $\{x_1, x_2\}$ — это множество, состоящее из двух элементов. В множестве порядок элементов не имеет значения, важен только сам факт наличия элемента в множестве. Поэтому множество $\{x_1, x_2\}$ всегда равно множеству $\{x_2, x_1\}$. Множества используются для обозначения сочетаний и в других ситуациях, где порядок не важен.
Ответ: $(x_1, x_2)$ — это упорядоченная пара (кортеж), где важен порядок элементов, а $\{x_1, x_2\}$ — это множество, где порядок элементов не важен.

3. В чем сходство и различие перестановок и размещений без повторений?Сходство: И перестановки, и размещения без повторений являются комбинаторными соединениями, в которых важен порядок расположения элементов. Оба понятия оперируют с множествами, элементы которых не повторяются (каждый элемент можно использовать только один раз).
Различие: Ключевое различие заключается в количестве используемых элементов из исходного множества.
Перестановки — это комбинации, которые включают все $n$ элементов исходного множества. Они отличаются друг от друга только порядком следования этих $n$ элементов. Число перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$.
Размещения — это комбинации, которые составляются из части исходного множества, то есть из $k$ элементов, выбранных из $n$ доступных (где $k \le n$). Размещения отличаются как составом выбранных $k$ элементов, так и их порядком. Число размещений из $n$ по $k$ вычисляется по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
Таким образом, перестановки являются частным случаем размещений, когда выбираются все элементы, то есть $k=n$. В этом случае $A_n^n = \frac{n!}{(n-n)!} = \frac{n!}{0!} = n! = P_n$.
Ответ: Сходство — в обоих случаях важен порядок элементов и элементы не повторяются. Различие — в перестановках используются все элементы множества ($n$ из $n$), а в размещениях — только их часть ($k$ из $n$).

4. В каких случаях используют перестановки без повторений?Перестановки без повторений используют в задачах, где необходимо найти количество способов, которыми можно упорядочить все элементы некоторого конечного множества. Главные условия для применения формулы перестановок: в каждой комбинации участвуют все элементы исходного множества и комбинации отличаются только порядком следования элементов.
Примеры задач:
- Сколькими способами можно расставить 7 разных книг на полке? (Ответ: $P_7 = 7! = 5040$)
- Сколько различных "слов" можно составить, переставляя буквы в слове "МЕТОД"? (Все 5 букв разные, поэтому ответ: $P_5 = 5! = 120$)
- Сколькими способами 5 человек могут выстроиться в очередь в кассу? (Ответ: $P_5 = 5! = 120$)
Ответ: Перестановки без повторений используются, когда нужно найти число всех возможных упорядочиваний (расположений) для полного набора различных объектов.

5. В каких случаях используют размещения без повторений?Размещения без повторений используют в задачах, где из множества, содержащего $n$ различных элементов, нужно выбрать $k$ элементов и расположить их в определённом порядке. Ключевые условия для применения формулы размещений: выбирается подмножество (часть элементов), и для этого подмножества важен порядок расположения элементов.
Примеры задач:
- Из 10 спортсменов нужно выбрать троих для награждения золотой, серебряной и бронзовой медалями. (Выбираем 3 из 10, и порядок важен, так как "Иванов-золото, Петров-серебро" — не то же самое, что "Петров-золото, Иванов-серебро". Ответ: $A_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$)
- Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если цифры в числе не должны повторяться? (Выбираем 3 цифры из 5, и их порядок важен, так как 123 и 321 — разные числа. Ответ: $A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$)
- В классе 25 учеников. Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя? (Выбираем 2 из 25, порядок важен, так как "Анна-староста, Борис-заместитель" — это один вариант, а "Борис-староста, Анна-заместитель" — другой. Ответ: $A_{25}^2 = \frac{25!}{(25-2)!} = 25 \cdot 24 = 600$)
Ответ: Размещения без повторений используются, когда из $n$ объектов нужно выбрать $k$ и расположить их по $k$ разным местам, то есть когда важен не только состав выборки, но и порядок элементов в ней.

8.1. 1) По какой формуле вычисляется число перестановок без повторений из $n$ элементов?

2) По какой формуле вычисляется число размещений без повторений из $n$ элементов по $k$?

1)Число перестановок без повторений из $n$ элементов — это количество различных упорядоченных наборов, которые можно составить из всех $n$ элементов данного множества. При этом каждый элемент используется ровно один раз. Обозначается это число как $P_n$.
Для нахождения этого числа рассуждают следующим образом: на первое место в упорядоченном наборе можно поставить любой из $n$ элементов. На второе место — любой из оставшихся $n-1$ элементов. На третье — любой из $n-2$ элементов, и так далее. На последнее, $n$-е место, можно поставить только один оставшийся элемент. По правилу умножения в комбинаторике, общее количество таких способов равно произведению:
$n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1$
Это произведение называется факториалом числа $n$ и обозначается как $n!$. Таким образом, формула для вычисления числа перестановок без повторений из $n$ элементов имеет вид:
$P_n = n!$

Ответ: $P_n = n!$

2)Число размещений без повторений из $n$ элементов по $k$ — это количество способов выбрать $k$ элементов из $n$ имеющихся и расположить их в определённом порядке. Здесь, в отличие от перестановок, выбирается только подмножество из $k$ элементов ($k \le n$), и важен порядок их следования. Обозначается это число как $A_n^k$.
Рассуждения для вывода формулы аналогичны: на первое место можно выбрать любой из $n$ элементов. На второе — любой из $n-1$ оставшихся, и так далее. На $k$-е место можно выбрать любой из $n-(k-1) = n-k+1$ элементов. Общее число способов равно произведению:
$A_n^k = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot (n-k+1)$
Эту же формулу можно записать в более компактном виде с использованием факториалов. Для этого умножим и разделим выражение на $(n-k)!$:
$A_n^k = \frac{n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot (n-k+1) \cdot (n-k)!}{(n-k)!} = \frac{n!}{(n-k)!}$
Таким образом, формула для вычисления числа размещений без повторений из $n$ элементов по $k$ следующая:

Ответ: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

8.2. Вычислите:

1) $P_4$;

2) $P_6$;

3) $\frac{P_7}{P_5}$;

4) $\frac{P_6}{P_8}$;

5) $\frac{P_8}{P_7} + \frac{P_5}{P_6}$;

6) $\frac{P_9}{P_7} - \frac{P_7}{P_5}$.

В данной задаче $P_n$ обозначает число перестановок из $n$ элементов, которое вычисляется по формуле $P_n = n!$, где $n!$ (n-факториал) – это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно ($n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$).

1) $P_4$

Для вычисления $P_4$ используем формулу факториала:

$P_4 = 4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$.

Ответ: 24.

2) $P_6$

Аналогично, для $P_6$:

$P_6 = 6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720$.

Ответ: 720.

3) $\frac{P_7}{P_5}$

Подставим значения перестановок в виде факториалов и сократим дробь:

$\frac{P_7}{P_5} = \frac{7!}{5!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = 6 \cdot 7 = 42$.

Ответ: 42.

4) $\frac{P_6}{P_8}$

Подставим значения и сократим. Учтем, что $8! = 6! \cdot 7 \cdot 8$:

$\frac{P_6}{P_8} = \frac{6!}{8!} = \frac{6!}{6! \cdot 7 \cdot 8} = \frac{1}{7 \cdot 8} = \frac{1}{56}$.

Ответ: $\frac{1}{56}$.

5) $\frac{P_8}{P_7} + \frac{P_5}{P_6}$

Вычислим каждое слагаемое отдельно:

$\frac{P_8}{P_7} = \frac{8!}{7!} = \frac{7! \cdot 8}{7!} = 8$.

$\frac{P_5}{P_6} = \frac{5!}{6!} = \frac{5!}{5! \cdot 6} = \frac{1}{6}$.

Теперь сложим полученные значения:

$8 + \frac{1}{6} = 8\frac{1}{6}$.

Ответ: $8\frac{1}{6}$.

6) $\frac{P_9}{P_7} - \frac{P_7}{P_5}$

Вычислим уменьшаемое и вычитаемое отдельно:

$\frac{P_9}{P_7} = \frac{9!}{7!} = \frac{7! \cdot 8 \cdot 9}{7!} = 8 \cdot 9 = 72$.

$\frac{P_7}{P_5} = \frac{7!}{5!} = \frac{5! \cdot 6 \cdot 7}{5!} = 6 \cdot 7 = 42$.

Теперь найдем их разность:

$72 - 42 = 30$.

Ответ: 30.

8.3. Найдите:

1) число перестановок цифр, изменяющих число 3334;

2) число перестановок цифр, не изменяющих число 3334;

3) число перестановок букв, не изменяющих слово комбинаторика.

1) число перестановок цифр, изменяющих число 3334

Чтобы найти число перестановок цифр, изменяющих число 3334, сначала найдем общее число перестановок четырех цифр, а затем вычтем из него число перестановок, которые не изменяют число.

Общее число перестановок четырех элементов (если бы они все были различны) равно $4!$.
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

Перестановка не изменяет число, если переставляются только тождественные элементы. В числе 3334 есть три одинаковые цифры «3». Число перестановок, которые можно совершить только между этими тремя цифрами, равно $3!$.
$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
Эти 6 перестановок не изменяют исходное число 3334.

Число перестановок, которые изменяют число, равно разности общего числа перестановок и числа перестановок, не изменяющих его:
$N_{изм} = 4! - 3! = 24 - 6 = 18$.

Ответ: 18

2) число перестановок цифр, не изменяющих число 3334

Перестановка цифр не изменяет число, если мы меняем местами только одинаковые цифры.

В числе 3334 имеются три одинаковые цифры «3» и одна цифра «4».

Чтобы число не изменилось, мы можем переставлять только три цифры «3» между собой. Число способов сделать это равно числу перестановок из трех элементов, то есть $3!$.
$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Цифра «4» всего одна, поэтому для нее существует только $1! = 1$ перестановка (она остается на своем месте).

Общее число перестановок, не изменяющих число 3334, равно $3! \times 1! = 6$.

Ответ: 6

3) число перестановок букв, не изменяющих слово комбинаторика

Задача аналогична предыдущей. Перестановка букв не изменяет слово, если мы переставляем местами только одинаковые буквы.

Сначала подсчитаем количество каждой буквы в слове «комбинаторика» (всего в слове 13 букв):
«к» – 2 раза
«о» – 2 раза
«м» – 1 раз
«б» – 1 раз
«и» – 2 раза
«н» – 1 раз
«а» – 2 раза
«т» – 1 раз
«р» – 1 раз

Число перестановок, не изменяющих слово, равно произведению факториалов количеств каждой повторяющейся буквы.
Для буквы «к» (2 шт.): $2! = 2$ перестановки.
Для буквы «о» (2 шт.): $2! = 2$ перестановки.
Для буквы «и» (2 шт.): $2! = 2$ перестановки.
Для буквы «а» (2 шт.): $2! = 2$ перестановки.
Для букв «м», «б», «н», «т», «р», которые встречаются по одному разу, число перестановок для каждой равно $1! = 1$.

Общее число перестановок, не изменяющих слово, равно произведению этих значений:
$N = 2! \times 2! \times 2! \times 2! \times 1! \times 1! \times 1! \times 1! \times 1! = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$.

Ответ: 16

8.4. 1) Найдите число четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 6, 7, 8, 9, при условии, что ни одна цифра не повторяется дважды.

2) Найдите число способов раскрасить треугольник, круг и квадрат тремя различными цветами: синим, красным, желтым.

3) Найдите число способов распределения семи мест среди 7 участников соревнований.

1) Эта задача заключается в нахождении количества перестановок из 4 различных элементов (цифр 6, 7, 8, 9), так как нужно составить четырехзначные числа без повторения цифр. Число перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$.
На место тысяч можно поставить любую из 4-х данных цифр.
На место сотен — любую из 3-х оставшихся цифр.
На место десятков — любую из 2-х оставшихся цифр.
На место единиц — последнюю оставшуюся цифру.
Общее число комбинаций равно произведению числа вариантов для каждой позиции:
$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
Таким образом, можно составить 24 различных четырехзначных числа.
Ответ: 24

2) Необходимо найти число способов раскрасить 3 разные фигуры (треугольник, круг, квадрат) в 3 разных цвета (синий, красный, желтый). Каждая фигура должна иметь свой уникальный цвет. Это задача на нахождение числа перестановок.
Первую фигуру, например, треугольник, можно раскрасить одним из 3-х цветов.
Вторую фигуру, круг, можно раскрасить одним из 2-х оставшихся цветов.
Третью фигуру, квадрат, можно раскрасить последним оставшимся цветом.
Число способов равно числу перестановок из 3 элементов:
$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
Существует 6 способов раскрасить фигуры.
Ответ: 6

3) В данном случае требуется найти количество способов, которыми можно распределить 7 призовых мест между 7 участниками. Поскольку все участники и все места различны, эта задача сводится к нахождению числа перестановок из 7 элементов.
Первое место может занять любой из 7 участников.
Второе место — любой из 6 оставшихся.
Третье место — любой из 5 оставшихся, и так далее.
Общее число способов распределения мест равно числу перестановок из 7:
$P_7 = 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$.
Существует 5040 способов распределить места.
Ответ: 5040

8.5. Найдите:

1) $A_7^4$;

2) $A_5^4$.

В данной задаче требуется найти число размещений, которое обозначается как $A_n^k$. Размещениями из $n$ элементов по $k$ называются упорядоченные наборы из $k$ различных элементов, выбранных из множества, содержащего $n$ элементов. Число размещений вычисляется по формуле:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot (n-k+1)$.

1) Вычислим $A_7^4$.
В этом случае $n=7$ и $k=4$. Подставляем значения в формулу:
$A_7^4 = \frac{7!}{(7-4)!} = \frac{7!}{3!}$.
Распишем факториалы и сократим дробь:
$A_7^4 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4$.
Выполним умножение:
$A_7^4 = 42 \cdot 20 = 840$.
Ответ: 840

2) Вычислим $A_5^4$.
В этом случае $n=5$ и $k=4$. Подставляем значения в формулу:
$A_5^4 = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{5!}{1!}$.
Поскольку $1! = 1$, получаем:
$A_5^4 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$.
Выполним умножение:
$A_5^4 = 20 \cdot 6 = 120$.
Ответ: 120

8.6. Решите уравнение:

1) $A_x^1 = 2$;

2) $A_x^1 = 2x$;

3) $A_x^2 = 2x$;

4) $A_x^2 = 3x + 12$.

Для решения данных уравнений используется формула числа размещений из $x$ элементов по $k$: $A_x^k = \frac{x!}{(x-k)!}$. Важным условием является область определения: $x$ должен быть целым числом и $x \ge k$.

1) $A_x^1 = 2$

По определению, $A_x^1 = \frac{x!}{(x-1)!} = x$.

Уравнение принимает вид: $x = 2$.

Область допустимых значений для $A_x^1$ — $x$ целое, $x \ge 1$. Корень $x=2$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: $2$

2) $A_x^1 = 2x$

Используя формулу $A_x^1 = x$, получаем уравнение: $x = 2x$.

Решая это уравнение, получаем $x=0$.

Однако, область допустимых значений для $A_x^1$ требует, чтобы $x \ge 1$. Поскольку $0 < 1$, корень $x=0$ не является решением исходного уравнения.

Ответ: нет решений

3) $A_x^2 = 2x$

Формула для числа размещений по 2: $A_x^2 = \frac{x!}{(x-2)!} = x(x-1)$.

Подставляем в уравнение: $x(x-1) = 2x$.

Область допустимых значений: $x$ — целое число, $x \ge 2$.

Решаем уравнение:

$x^2 - x = 2x$

$x^2 - 3x = 0$

$x(x-3) = 0$

Корни уравнения: $x_1=0$ и $x_2=3$.

Проверяем корни по области допустимых значений. $x_1=0$ не удовлетворяет условию $x \ge 2$. $x_2=3$ удовлетворяет условию $x \ge 2$.

Ответ: $3$

4) $A_x^2 = 3x + 12$

Используем формулу $A_x^2 = x(x-1)$.

Уравнение принимает вид: $x(x-1) = 3x + 12$.

Область допустимых значений: $x$ — целое число, $x \ge 2$.

Решаем уравнение:

$x^2 - x = 3x + 12$

$x^2 - 4x - 12 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 4$, $x_1 \cdot x_2 = -12$. Корни: $x_1=6$ и $x_2=-2$.

Проверяем корни по области допустимых значений. $x_1=6$ удовлетворяет условию $x \ge 2$. $x_2=-2$ не удовлетворяет условию $x \ge 2$.

Ответ: $6$