Страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

27.16. Вычислите:

1) $tg9^\circ - tg27^\circ - tg63^\circ + tg81^\circ;$

2) $ctg7.5^\circ - tg7.5^\circ + tg67.5^\circ - ctg 67.5^\circ;$

3) $4 \cdot (\cos24^\circ - \cos12^\circ + \cos48^\circ - \cos 84^\circ);$

4) $\cos^2 3^\circ + \cos^2 117^\circ + \cos^2 123^\circ.$

1) $\text{tg}9^\circ - \text{tg}27^\circ - \text{tg}63^\circ + \text{tg}81^\circ$

Сгруппируем слагаемые и используем формулу приведения $\text{tg}(90^\circ - \alpha) = \text{ctg}\alpha$.

$\text{tg}81^\circ = \text{tg}(90^\circ - 9^\circ) = \text{ctg}9^\circ$

$\text{tg}63^\circ = \text{tg}(90^\circ - 27^\circ) = \text{ctg}27^\circ$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$(\text{tg}9^\circ + \text{tg}81^\circ) - (\text{tg}27^\circ + \text{tg}63^\circ) = (\text{tg}9^\circ + \text{ctg}9^\circ) - (\text{tg}27^\circ + \text{ctg}27^\circ)$

Используем тождество $\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{1}{\frac{1}{2}\sin(2\alpha)} = \frac{2}{\sin(2\alpha)}$.

Применим это тождество к нашему выражению:

$\frac{2}{\sin(2 \cdot 9^\circ)} - \frac{2}{\sin(2 \cdot 27^\circ)} = \frac{2}{\sin18^\circ} - \frac{2}{\sin54^\circ} = 2 \cdot \frac{\sin54^\circ - \sin18^\circ}{\sin18^\circ\sin54^\circ}$

Используем формулу разности синусов $\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$:

$\sin54^\circ - \sin18^\circ = 2\sin\frac{54^\circ-18^\circ}{2}\cos\frac{54^\circ+18^\circ}{2} = 2\sin18^\circ\cos36^\circ$

Подставляем обратно в выражение:

$2 \cdot \frac{2\sin18^\circ\cos36^\circ}{\sin18^\circ\sin54^\circ} = \frac{4\cos36^\circ}{\sin54^\circ}$

Так как $\sin54^\circ = \sin(90^\circ - 36^\circ) = \cos36^\circ$, получаем:

$\frac{4\cos36^\circ}{\cos36^\circ} = 4$

Ответ: 4

2) $\text{ctg}7,5^\circ - \text{tg}7,5^\circ + \text{tg}67,5^\circ - \text{ctg}67,5^\circ$

Сгруппируем слагаемые:

$(\text{ctg}7,5^\circ - \text{tg}7,5^\circ) - (\text{ctg}67,5^\circ - \text{tg}67,5^\circ)$

Используем тождество $\text{ctg}\alpha - \text{tg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\cos(2\alpha)}{\frac{1}{2}\sin(2\alpha)} = 2\text{ctg}(2\alpha)$.

Применим это тождество к нашему выражению:

$2\text{ctg}(2 \cdot 7,5^\circ) - 2\text{ctg}(2 \cdot 67,5^\circ) = 2\text{ctg}15^\circ - 2\text{ctg}135^\circ$

Найдем значения котангенсов:

$\text{ctg}135^\circ = \text{ctg}(180^\circ - 45^\circ) = -\text{ctg}45^\circ = -1$

$\text{ctg}15^\circ = \text{ctg}(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\text{ctg}45^\circ\text{ctg}30^\circ + 1}{\text{ctg}30^\circ - \text{ctg}45^\circ} = \frac{1 \cdot \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3+2\sqrt{3}+1}{3-1} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$

Подставим значения в выражение:

$2(2+\sqrt{3}) - 2(-1) = 4 + 2\sqrt{3} + 2 = 6 + 2\sqrt{3}$

Ответ: $6 + 2\sqrt{3}$

3) $4 \cdot (\cos24^\circ - \cos12^\circ + \cos48^\circ - \cos84^\circ)$

Сгруппируем слагаемые в скобках:

$4 \cdot [(\cos24^\circ + \cos48^\circ) - (\cos12^\circ + \cos84^\circ)]$

Используем формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$\cos24^\circ + \cos48^\circ = 2\cos\frac{24^\circ+48^\circ}{2}\cos\frac{48^\circ-24^\circ}{2} = 2\cos36^\circ\cos12^\circ$

$\cos12^\circ + \cos84^\circ = 2\cos\frac{12^\circ+84^\circ}{2}\cos\frac{84^\circ-12^\circ}{2} = 2\cos48^\circ\cos36^\circ$

Подставим в выражение:

$4 \cdot [2\cos36^\circ\cos12^\circ - 2\cos48^\circ\cos36^\circ] = 8\cos36^\circ(\cos12^\circ - \cos48^\circ)$

Используем формулу разности косинусов $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$\cos12^\circ - \cos48^\circ = -2\sin\frac{12^\circ+48^\circ}{2}\sin\frac{12^\circ-48^\circ}{2} = -2\sin30^\circ\sin(-18^\circ) = 2\sin30^\circ\sin18^\circ$

Так как $\sin30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем $\cos12^\circ - \cos48^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2}\sin18^\circ = \sin18^\circ$.

Выражение принимает вид:

$8\cos36^\circ\sin18^\circ$

Домножим и разделим на $\cos18^\circ$ и используем формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$:

$8\cos36^\circ\sin18^\circ = \frac{8\cos36^\circ\sin18^\circ\cos18^\circ}{\cos18^\circ} = \frac{4\cos36^\circ(2\sin18^\circ\cos18^\circ)}{\cos18^\circ} = \frac{4\cos36^\circ\sin36^\circ}{\cos18^\circ}$

Еще раз применим формулу синуса двойного угла:

$\frac{2(2\sin36^\circ\cos36^\circ)}{\cos18^\circ} = \frac{2\sin72^\circ}{\cos18^\circ}$

Используем формулу приведения $\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha$, откуда $\sin72^\circ = \sin(90^\circ-18^\circ) = \cos18^\circ$.

$\frac{2\cos18^\circ}{\cos18^\circ} = 2$

Ответ: 2

4) $\cos^2 3^\circ + \cos^2 117^\circ + \cos^2 123^\circ$

Представим углы $117^\circ$ и $123^\circ$ через $120^\circ$ и $3^\circ$:

$117^\circ = 120^\circ - 3^\circ$

$123^\circ = 120^\circ + 3^\circ$

Используем формулы косинуса разности и суммы:

$\cos117^\circ = \cos(120^\circ - 3^\circ) = \cos120^\circ\cos3^\circ + \sin120^\circ\sin3^\circ = -\frac{1}{2}\cos3^\circ + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin3^\circ$

$\cos123^\circ = \cos(120^\circ + 3^\circ) = \cos120^\circ\cos3^\circ - \sin120^\circ\sin3^\circ = -\frac{1}{2}\cos3^\circ - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin3^\circ$

Теперь найдем сумму квадратов этих косинусов:

$\cos^2 117^\circ + \cos^2 123^\circ = \left(-\frac{1}{2}\cos3^\circ + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin3^\circ\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\cos3^\circ - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin3^\circ\right)^2$

Раскроем квадраты. Смешанные произведения $(2ab)$ сократятся:

$\left(\frac{1}{4}\cos^2 3^\circ - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos3^\circ\sin3^\circ + \frac{3}{4}\sin^2 3^\circ\right) + \left(\frac{1}{4}\cos^2 3^\circ + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos3^\circ\sin3^\circ + \frac{3}{4}\sin^2 3^\circ\right)$

$= 2 \cdot \frac{1}{4}\cos^2 3^\circ + 2 \cdot \frac{3}{4}\sin^2 3^\circ = \frac{1}{2}\cos^2 3^\circ + \frac{3}{2}\sin^2 3^\circ$

Теперь добавим первый член исходного выражения $\cos^2 3^\circ$:

$\cos^2 3^\circ + \left(\frac{1}{2}\cos^2 3^\circ + \frac{3}{2}\sin^2 3^\circ\right) = \left(1+\frac{1}{2}\right)\cos^2 3^\circ + \frac{3}{2}\sin^2 3^\circ = \frac{3}{2}\cos^2 3^\circ + \frac{3}{2}\sin^2 3^\circ$

Вынесем общий множитель и используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$:

$\frac{3}{2}(\cos^2 3^\circ + \sin^2 3^\circ) = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$

27.17. Найдите:

1) $cos\beta$, если $sin\beta = 0.6$ и $90^\circ < \beta < 180^\circ$;

2) $sin\beta$, если $cos\beta = -0.2$ и $180^\circ < \beta < 270^\circ$;

3) $tg\beta$, если $cos\beta = -0.4$ и $90^\circ < \beta < 180^\circ$;

4) $ctg\beta$, если $sin\beta = -0.3$ и $270^\circ < \beta < 360^\circ$.

1) Для нахождения $cos\beta$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2\beta + cos^2\beta = 1$.

Отсюда $cos^2\beta = 1 - sin^2\beta$.

Подставим известное значение $sin\beta = 0,6$:

$cos^2\beta = 1 - (0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$.

Следовательно, $cos\beta = \pm\sqrt{0,64} = \pm0,8$.

По условию, угол $\beta$ находится в интервале $90^\circ < \beta < 180^\circ$, что соответствует второй четверти координатной плоскости. Во второй четверти косинус принимает отрицательные значения, поэтому выбираем знак минус.

Ответ: $cos\beta = -0,8$.

2) Для нахождения $sin\beta$ используем основное тригонометрическое тождество: $sin^2\beta + cos^2\beta = 1$.

Отсюда $sin^2\beta = 1 - cos^2\beta$.

Подставим известное значение $cos\beta = -0,2$:

$sin^2\beta = 1 - (-0,2)^2 = 1 - 0,04 = 0,96$.

Следовательно, $sin\beta = \pm\sqrt{0,96} = \pm\sqrt{\frac{96}{100}} = \pm\frac{\sqrt{16 \cdot 6}}{10} = \pm\frac{4\sqrt{6}}{10} = \pm\frac{2\sqrt{6}}{5}$.

По условию, угол $\beta$ находится в интервале $180^\circ < \beta < 270^\circ$, что соответствует третьей четверти. В третьей четверти синус принимает отрицательные значения, поэтому выбираем знак минус.

Ответ: $sin\beta = -\frac{2\sqrt{6}}{5}$.

3) Для нахождения $tg\beta$ воспользуемся определением тангенса: $tg\beta = \frac{sin\beta}{cos\beta}$.

Сначала найдем $sin\beta$ из основного тригонометрического тождества $sin^2\beta + cos^2\beta = 1$.

$sin^2\beta = 1 - cos^2\beta = 1 - (-0,4)^2 = 1 - 0,16 = 0,84$.

$sin\beta = \pm\sqrt{0,84}$.

Угол $\beta$ находится в интервале $90^\circ < \beta < 180^\circ$ (вторая четверть), где синус положителен. Значит, $sin\beta = \sqrt{0,84} = \sqrt{\frac{84}{100}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 21}}{10} = \frac{2\sqrt{21}}{10} = \frac{\sqrt{21}}{5}$.

Теперь можем найти тангенс:

$tg\beta = \frac{sin\beta}{cos\beta} = \frac{\frac{\sqrt{21}}{5}}{-0,4} = \frac{\frac{\sqrt{21}}{5}}{-\frac{4}{10}} = \frac{\frac{\sqrt{21}}{5}}{-\frac{2}{5}} = -\frac{\sqrt{21}}{2}$.

Ответ: $tg\beta = -\frac{\sqrt{21}}{2}$.

4) Для нахождения $ctg\beta$ воспользуемся определением котангенса: $ctg\beta = \frac{cos\beta}{sin\beta}$.

Сначала найдем $cos\beta$ из основного тригонометрического тождества $sin^2\beta + cos^2\beta = 1$.

$cos^2\beta = 1 - sin^2\beta = 1 - (-0,3)^2 = 1 - 0,09 = 0,91$.

$cos\beta = \pm\sqrt{0,91}$.

Угол $\beta$ находится в интервале $270^\circ < \beta < 360^\circ$ (четвертая четверть), где косинус положителен. Значит, $cos\beta = \sqrt{0,91} = \frac{\sqrt{91}}{10}$.

Теперь можем найти котангенс:

$ctg\beta = \frac{cos\beta}{sin\beta} = \frac{\frac{\sqrt{91}}{10}}{-0,3} = \frac{\frac{\sqrt{91}}{10}}{-\frac{3}{10}} = -\frac{\sqrt{91}}{3}$.

Ответ: $ctg\beta = -\frac{\sqrt{91}}{3}$.

27.18. Вычислите:

1) $\frac{5}{6 + 7\sin2\beta}$, если $\operatorname{tg}\beta = 0,2;$

2) $\frac{4}{3 + 4\cos2\beta}$, если $\operatorname{tg}\beta = 0,2;$

3) $\frac{1}{2 + 3\sin2\beta}$, если $\operatorname{tg}\beta = 0,1;$

4) $\frac{2}{5 - \cos2\beta}$, если $\operatorname{tg}\beta = 0,3.$

1) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{5}{6 + 7\sin(2\beta)}$ при $\tan\beta = 0,2$, воспользуемся формулой синуса двойного угла через тангенс:$\sin(2\beta) = \frac{2\tan\beta}{1 + \tan^2\beta}$.Подставим известное значение $\tan\beta = 0,2$:$\sin(2\beta) = \frac{2 \cdot 0,2}{1 + (0,2)^2} = \frac{0,4}{1 + 0,04} = \frac{0,4}{1,04} = \frac{40}{104} = \frac{5}{13}$.Теперь подставим найденное значение $\sin(2\beta)$ в исходное выражение:$\frac{5}{6 + 7\sin(2\beta)} = \frac{5}{6 + 7 \cdot \frac{5}{13}} = \frac{5}{6 + \frac{35}{13}} = \frac{5}{\frac{6 \cdot 13 + 35}{13}} = \frac{5}{\frac{78 + 35}{13}} = \frac{5}{\frac{113}{13}} = 5 \cdot \frac{13}{113} = \frac{65}{113}$.
Ответ: $\frac{65}{113}$.

2) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{4}{3 + 4\cos(2\beta)}$ при $\tan\beta = 0,2$, воспользуемся формулой косинуса двойного угла через тангенс:$\cos(2\beta) = \frac{1 - \tan^2\beta}{1 + \tan^2\beta}$.Подставим известное значение $\tan\beta = 0,2$:$\cos(2\beta) = \frac{1 - (0,2)^2}{1 + (0,2)^2} = \frac{1 - 0,04}{1 + 0,04} = \frac{0,96}{1,04} = \frac{96}{104} = \frac{12}{13}$.Теперь подставим найденное значение $\cos(2\beta)$ в исходное выражение:$\frac{4}{3 + 4\cos(2\beta)} = \frac{4}{3 + 4 \cdot \frac{12}{13}} = \frac{4}{3 + \frac{48}{13}} = \frac{4}{\frac{3 \cdot 13 + 48}{13}} = \frac{4}{\frac{39 + 48}{13}} = \frac{4}{\frac{87}{13}} = 4 \cdot \frac{13}{87} = \frac{52}{87}$.
Ответ: $\frac{52}{87}$.

3) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{1}{2 + 3\sin(2\beta)}$ при $\tan\beta = 0,1$, воспользуемся формулой синуса двойного угла через тангенс:$\sin(2\beta) = \frac{2\tan\beta}{1 + \tan^2\beta}$.Подставим известное значение $\tan\beta = 0,1$:$\sin(2\beta) = \frac{2 \cdot 0,1}{1 + (0,1)^2} = \frac{0,2}{1 + 0,01} = \frac{0,2}{1,01} = \frac{20}{101}$.Теперь подставим найденное значение $\sin(2\beta)$ в исходное выражение:$\frac{1}{2 + 3\sin(2\beta)} = \frac{1}{2 + 3 \cdot \frac{20}{101}} = \frac{1}{2 + \frac{60}{101}} = \frac{1}{\frac{2 \cdot 101 + 60}{101}} = \frac{1}{\frac{202 + 60}{101}} = \frac{1}{\frac{262}{101}} = \frac{101}{262}$.
Ответ: $\frac{101}{262}$.

4) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{2}{5 - \cos(2\beta)}$ при $\tan\beta = 0,3$, воспользуемся формулой косинуса двойного угла через тангенс:$\cos(2\beta) = \frac{1 - \tan^2\beta}{1 + \tan^2\beta}$.Подставим известное значение $\tan\beta = 0,3$:$\cos(2\beta) = \frac{1 - (0,3)^2}{1 + (0,3)^2} = \frac{1 - 0,09}{1 + 0,09} = \frac{0,91}{1,09} = \frac{91}{109}$.Теперь подставим найденное значение $\cos(2\beta)$ в исходное выражение:$\frac{2}{5 - \cos(2\beta)} = \frac{2}{5 - \frac{91}{109}} = \frac{2}{\frac{5 \cdot 109 - 91}{109}} = \frac{2}{\frac{545 - 91}{109}} = \frac{2}{\frac{454}{109}} = 2 \cdot \frac{109}{454} = \frac{218}{454} = \frac{109}{227}$.
Ответ: $\frac{109}{227}$.

27.19. Упростите выражение:

1) $\sin(\pi + x) \cdot \sin(4\pi + x) - \cos(6\pi - 2x);$

2) $\sin(2\pi + 2x) + 4 \sin x \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right).$

1) Для упрощения выражения $sin(\pi + x) \cdot sin(4\pi + x) - cos(6\pi - 2x)$ воспользуемся формулами приведения и свойством периодичности тригонометрических функций.

По формулам приведения:

$sin(\pi + x) = -sin(x)$, так как угол $(\pi+x)$ находится в III четверти, где синус отрицателен, а при прибавлении $\pi$ название функции не меняется.

В силу периодичности функции синус (период равен $2\pi$):

$sin(4\pi + x) = sin(2 \cdot 2\pi + x) = sin(x)$.

В силу периодичности функции косинус (период равен $2\pi$) и ее четности ($cos(-\alpha) = cos(\alpha)$):

$cos(6\pi - 2x) = cos(3 \cdot 2\pi - 2x) = cos(-2x) = cos(2x)$.

Теперь подставим упрощенные выражения в исходное:

$(-sin(x)) \cdot sin(x) - cos(2x) = -sin^2(x) - cos(2x)$.

Далее используем формулу косинуса двойного угла $cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$:

$-sin^2(x) - (cos^2(x) - sin^2(x)) = -sin^2(x) - cos^2(x) + sin^2(x) = -cos^2(x)$.

Другой способ — использовать формулу $cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)$:

$-sin^2(x) - (1 - 2sin^2(x)) = -sin^2(x) - 1 + 2sin^2(x) = sin^2(x) - 1$.

Из основного тригонометрического тождества $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$ следует, что $sin^2(x) - 1 = -cos^2(x)$.

Ответ: $-cos^2(x)$.

2) Упростим выражение $sin(2\pi + 2x) + 4 \cdot sinx \cdot sin(\frac{3\pi}{2} + x)$.

Используем свойство периодичности функции синус:

$sin(2\pi + 2x) = sin(2x)$.

Применим формулу приведения:

$sin(\frac{3\pi}{2} + x) = -cos(x)$, так как угол $(\frac{3\pi}{2}+x)$ находится в IV четверти, где синус отрицателен, а при прибавлении $\frac{3\pi}{2}$ название функции меняется на кофункцию.

Подставим полученные выражения в исходное:

$sin(2x) + 4 \cdot sinx \cdot (-cos(x)) = sin(2x) - 4sinx \cdot cosx$.

Используем формулу синуса двойного угла $sin(2x) = 2sinx \cdot cosx$:

$sin(2x) - 2 \cdot (2sinx \cdot cosx) = sin(2x) - 2sin(2x) = -sin(2x)$.

Ответ: $-sin(2x)$.

27.20. Решите систему неравенств:

1)

$\begin{cases} x^2 - 6x - 16 \le 0, \\ |4x^2 - 3| > 1; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x^2 - x - 2 \ge 0, \\ |2x^2 - 5| < 3. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 - 6x - 16 \le 0 \\ |4x^2 - 3| > 1 \end{cases}$

Сначала решим первое неравенство $x^2 - 6x - 16 \le 0$. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x - 16 = 0$. Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{6 - 10}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{6 + 10}{2} = 8$. Графиком функции $y = x^2 - 6x - 16$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - 6x - 16 \le 0$ выполняется при $x$, находящихся между корнями, включая сами корни. Решение первого неравенства: $x \in [-2, 8]$.

Теперь решим второе неравенство $|4x^2 - 3| > 1$. Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:$\left[ \begin{array}{l} 4x^2 - 3 > 1 \\ 4x^2 - 3 < -1 \end{array} \right.$

Решим первое неравенство совокупности: $4x^2 - 3 > 1 \implies 4x^2 > 4 \implies x^2 > 1$. Решением является $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Решим второе неравенство совокупности: $4x^2 - 3 < -1 \implies 4x^2 < 2 \implies x^2 < \frac{1}{2}$. Решением является $x \in (-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$, или $x \in (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

Объединяя решения совокупности, получаем решение второго неравенства системы: $x \in (-\infty, -1) \cup (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (1, \infty)$.

Наконец, найдем пересечение решений обоих неравенств. Мы ищем значения $x$, которые удовлетворяют условиям $x \in [-2, 8]$ и $x \in (-\infty, -1) \cup (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (1, \infty)$.Пересечение множества $[-2, 8]$ с каждым из интервалов второго решения дает:

• $[-2, 8] \cap (-\infty, -1) = [-2, -1)$
• $[-2, 8] \cap (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) = (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$
• $[-2, 8] \cap (1, \infty) = (1, 8]$

Ответ: $x \in [-2, -1) \cup (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (1, 8]$.

2) Решим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 - x - 2 \ge 0 \\ |2x^2 - 5| < 3 \end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 - x - 2 \ge 0$. Корнями уравнения $x^2 - x - 2 = 0$ являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$ (по теореме Виета). Так как ветви параболы $y=x^2 - x - 2$ направлены вверх, неравенство $x^2 - x - 2 \ge 0$ выполняется для $x$, находящихся вне интервала между корнями, включая сами корни. Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -1] \cup [2, \infty)$.

Решим второе неравенство $|2x^2 - 5| < 3$. Это неравенство равносильно двойному неравенству $-3 < 2x^2 - 5 < 3$.

Прибавим 5 ко всем частям неравенства: $-3 + 5 < 2x^2 < 3 + 5$, что дает $2 < 2x^2 < 8$.

Разделим все части на 2: $1 < x^2 < 4$.

Это двойное неравенство эквивалентно системе $\begin{cases} x^2 > 1 \\ x^2 < 4 \end{cases}$.

Решением неравенства $x^2 > 1$ является $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Решением неравенства $x^2 < 4$ является $x \in (-2, 2)$.

Пересечение этих двух множеств дает решение второго неравенства системы: $x \in (-2, -1) \cup (1, 2)$.

Теперь найдем пересечение решений исходной системы: $x \in (-\infty, -1] \cup [2, \infty)$ и $x \in (-2, -1) \cup (1, 2)$.

Пересечение $(-\infty, -1] \cup [2, \infty)$ с $(-2, -1) \cup (1, 2)$ дает в результате только интервал $(-2, -1)$, поскольку интервал $(1, 2)$ не имеет общих точек с множеством $(-\infty, -1] \cup [2, \infty)$.

Ответ: $x \in (-2, -1)$.

27.21. Преобразуйте тригонометрическое выражение:

1) $ \cos (\alpha + 2\beta) + \sin\alpha \cdot \sin2\beta; $

2) $ \cos(3\alpha - 2\beta) - \sin3\alpha \cdot \sin2\beta. $

1) Для преобразования данного выражения $cos(\alpha + 2\beta) + \sin\alpha \cdot \sin2\beta$ мы используем формулу косинуса суммы. Формула косинуса суммы двух углов выглядит следующим образом:
$cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$.
Применим эту формулу к первому слагаемому нашего выражения, где $x = \alpha$ и $y = 2\beta$:
$cos(\alpha + 2\beta) = \cos\alpha \cos2\beta - \sin\alpha \sin2\beta$.
Теперь подставим это разложение обратно в исходное выражение:
$(\cos\alpha \cos2\beta - \sin\alpha \sin2\beta) + \sin\alpha \sin2\beta$.
Как мы видим, второе и третье слагаемые $(-\sin\alpha \sin2\beta$ и $+\sin\alpha \sin2\beta)$ являются противоположными и в сумме дают ноль. Таким образом, они взаимно уничтожаются:
$\cos\alpha \cos2\beta - \sin\alpha \sin2\beta + \sin\alpha \sin2\beta = \cos\alpha \cos2\beta$.
Ответ: $\cos\alpha \cos2\beta$.

2) Для преобразования выражения $cos(3\alpha - 2\beta) - \sin3\alpha \cdot \sin2\beta$ мы используем формулу косинуса разности. Формула косинуса разности двух углов выглядит так:
$cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$.
Применим эту формулу к первому члену нашего выражения, приняв $x = 3\alpha$ и $y = 2\beta$:
$cos(3\alpha - 2\beta) = \cos3\alpha \cos2\beta + \sin3\alpha \sin2\beta$.
Теперь подставим это разложение обратно в исходное выражение:
$(\cos3\alpha \cos2\beta + \sin3\alpha \sin2\beta) - \sin3\alpha \sin2\beta$.
В получившемся выражении слагаемые $+\sin3\alpha \sin2\beta$ и $-\sin3\alpha \sin2\beta$ взаимно уничтожаются, так как их сумма равна нулю.
$\cos3\alpha \cos2\beta + \sin3\alpha \sin2\beta - \sin3\alpha \sin2\beta = \cos3\alpha \cos2\beta$.
Ответ: $\cos3\alpha \cos2\beta$.

27.22. Преобразуйте выражение:

1)

$\sin(2a + \beta) - \sin(2a) \cdot \cos\beta;$

2)

$\sin(3a + 2\beta) + \cos(3a) \cdot \sin(2\beta).$

1) Для преобразования выражения $sin(2\alpha + \beta) - sin(2\alpha) \cdot cos(\beta)$ воспользуемся формулой синуса суммы двух углов: $sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)$.

Применим эту формулу к первому слагаемому, где $x = 2\alpha$, а $y = \beta$:

$sin(2\alpha + \beta) = sin(2\alpha)cos(\beta) + cos(2\alpha)sin(\beta)$

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$(sin(2\alpha)cos(\beta) + cos(2\alpha)sin(\beta)) - sin(2\alpha)cos(\beta)$

Сокращаем одинаковые члены с противоположными знаками $sin(2\alpha)cos(\beta)$ и $-sin(2\alpha)cos(\beta)$:

$sin(2\alpha)cos(\beta) + cos(2\alpha)sin(\beta) - sin(2\alpha)cos(\beta) = cos(2\alpha)sin(\beta)$

Ответ: $cos(2\alpha)sin(\beta)$

2) Для преобразования выражения $sin(3\alpha + 2\beta) + cos(3\alpha) \cdot sin(2\beta)$ так же воспользуемся формулой синуса суммы двух углов: $sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)$.

Разложим первое слагаемое $sin(3\alpha + 2\beta)$, где $x = 3\alpha$, а $y = 2\beta$:

$sin(3\alpha + 2\beta) = sin(3\alpha)cos(2\beta) + cos(3\alpha)sin(2\beta)$

Подставим это разложение в исходное выражение:

$(sin(3\alpha)cos(2\beta) + cos(3\alpha)sin(2\beta)) + cos(3\alpha)sin(2\beta)$

Приведем подобные слагаемые, сложив $cos(3\alpha)sin(2\beta)$ и $cos(3\alpha)sin(2\beta)$:

$sin(3\alpha)cos(2\beta) + 2cos(3\alpha)sin(2\beta)$

Ответ: $sin(3\alpha)cos(2\beta) + 2cos(3\alpha)sin(2\beta)$