Номер 27.18, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.18. Вычислите:

1) $\frac{5}{6 + 7\sin2\beta}$, если $\operatorname{tg}\beta = 0,2;$

2) $\frac{4}{3 + 4\cos2\beta}$, если $\operatorname{tg}\beta = 0,2;$

3) $\frac{1}{2 + 3\sin2\beta}$, если $\operatorname{tg}\beta = 0,1;$

4) $\frac{2}{5 - \cos2\beta}$, если $\operatorname{tg}\beta = 0,3.$

1) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{5}{6 + 7\sin(2\beta)}$ при $\tan\beta = 0,2$, воспользуемся формулой синуса двойного угла через тангенс:$\sin(2\beta) = \frac{2\tan\beta}{1 + \tan^2\beta}$.Подставим известное значение $\tan\beta = 0,2$:$\sin(2\beta) = \frac{2 \cdot 0,2}{1 + (0,2)^2} = \frac{0,4}{1 + 0,04} = \frac{0,4}{1,04} = \frac{40}{104} = \frac{5}{13}$.Теперь подставим найденное значение $\sin(2\beta)$ в исходное выражение:$\frac{5}{6 + 7\sin(2\beta)} = \frac{5}{6 + 7 \cdot \frac{5}{13}} = \frac{5}{6 + \frac{35}{13}} = \frac{5}{\frac{6 \cdot 13 + 35}{13}} = \frac{5}{\frac{78 + 35}{13}} = \frac{5}{\frac{113}{13}} = 5 \cdot \frac{13}{113} = \frac{65}{113}$.
Ответ: $\frac{65}{113}$.

2) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{4}{3 + 4\cos(2\beta)}$ при $\tan\beta = 0,2$, воспользуемся формулой косинуса двойного угла через тангенс:$\cos(2\beta) = \frac{1 - \tan^2\beta}{1 + \tan^2\beta}$.Подставим известное значение $\tan\beta = 0,2$:$\cos(2\beta) = \frac{1 - (0,2)^2}{1 + (0,2)^2} = \frac{1 - 0,04}{1 + 0,04} = \frac{0,96}{1,04} = \frac{96}{104} = \frac{12}{13}$.Теперь подставим найденное значение $\cos(2\beta)$ в исходное выражение:$\frac{4}{3 + 4\cos(2\beta)} = \frac{4}{3 + 4 \cdot \frac{12}{13}} = \frac{4}{3 + \frac{48}{13}} = \frac{4}{\frac{3 \cdot 13 + 48}{13}} = \frac{4}{\frac{39 + 48}{13}} = \frac{4}{\frac{87}{13}} = 4 \cdot \frac{13}{87} = \frac{52}{87}$.
Ответ: $\frac{52}{87}$.

3) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{1}{2 + 3\sin(2\beta)}$ при $\tan\beta = 0,1$, воспользуемся формулой синуса двойного угла через тангенс:$\sin(2\beta) = \frac{2\tan\beta}{1 + \tan^2\beta}$.Подставим известное значение $\tan\beta = 0,1$:$\sin(2\beta) = \frac{2 \cdot 0,1}{1 + (0,1)^2} = \frac{0,2}{1 + 0,01} = \frac{0,2}{1,01} = \frac{20}{101}$.Теперь подставим найденное значение $\sin(2\beta)$ в исходное выражение:$\frac{1}{2 + 3\sin(2\beta)} = \frac{1}{2 + 3 \cdot \frac{20}{101}} = \frac{1}{2 + \frac{60}{101}} = \frac{1}{\frac{2 \cdot 101 + 60}{101}} = \frac{1}{\frac{202 + 60}{101}} = \frac{1}{\frac{262}{101}} = \frac{101}{262}$.
Ответ: $\frac{101}{262}$.

4) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{2}{5 - \cos(2\beta)}$ при $\tan\beta = 0,3$, воспользуемся формулой косинуса двойного угла через тангенс:$\cos(2\beta) = \frac{1 - \tan^2\beta}{1 + \tan^2\beta}$.Подставим известное значение $\tan\beta = 0,3$:$\cos(2\beta) = \frac{1 - (0,3)^2}{1 + (0,3)^2} = \frac{1 - 0,09}{1 + 0,09} = \frac{0,91}{1,09} = \frac{91}{109}$.Теперь подставим найденное значение $\cos(2\beta)$ в исходное выражение:$\frac{2}{5 - \cos(2\beta)} = \frac{2}{5 - \frac{91}{109}} = \frac{2}{\frac{5 \cdot 109 - 91}{109}} = \frac{2}{\frac{545 - 91}{109}} = \frac{2}{\frac{454}{109}} = 2 \cdot \frac{109}{454} = \frac{218}{454} = \frac{109}{227}$.
Ответ: $\frac{109}{227}$.