Номер 27.14, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.14. Докажите тождество:

1) $ \frac{3 - 4\cos2x + \cos4x}{3 + 4\cos2x + \cos4x} = \text{tg}^4x; $

2) $ \frac{\cos\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) + \sin(3\pi - 4x) - \cos\left(\frac{5\pi}{2} + 6x\right)}{4\sin(5\pi - 3x) \cdot \cos(x - 4\pi)} = \cos2x. $

1) Докажем тождество $ \frac{3 - 4\cos2x + \cos4x}{3 + 4\cos2x + \cos4x} = \tg^4x $.
Преобразуем левую часть равенства. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $ \cos4x = 2\cos^22x - 1 $.
Подставим это выражение в числитель и знаменатель дроби:
$ \frac{3 - 4\cos2x + (2\cos^22x - 1)}{3 + 4\cos2x + (2\cos^22x - 1)} = \frac{2\cos^22x - 4\cos2x + 2}{2\cos^22x + 4\cos2x + 2} $
Вынесем общий множитель 2 за скобки в числителе и знаменателе:
$ \frac{2(\cos^22x - 2\cos2x + 1)}{2(\cos^22x + 2\cos2x + 1)} $
Сократим на 2 и воспользуемся формулами квадрата разности и квадрата суммы:
$ \frac{(\cos2x - 1)^2}{(\cos2x + 1)^2} = \left(\frac{1 - \cos2x}{1 + \cos2x}\right)^2 $
Применим формулы половинного угла (или, что то же самое, формулы косинуса двойного угла, выраженные иначе):
$ 1 - \cos2x = 2\sin^2x $
$ 1 + \cos2x = 2\cos^2x $
Подставим эти выражения в скобки:
$ \left(\frac{2\sin^2x}{2\cos^2x}\right)^2 = \left(\frac{\sin^2x}{\cos^2x}\right)^2 = (\tg^2x)^2 = \tg^4x $
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество $ \frac{3 - 4\cos2x + \cos4x}{3 + 4\cos2x + \cos4x} = \tg^4x $ доказано.

2) Докажем тождество $ \frac{\cos(\frac{\pi}{2} - 2x) + \sin(3\pi - 4x) - \cos(\frac{5\pi}{2} + 6x)}{4\sin(5\pi - 3x) \cdot \cos(x - 4\pi)} = \cos2x $.
Преобразуем левую часть, упростив каждый тригонометрический член с помощью формул приведения и периодичности.
Упростим числитель:
$ \cos(\frac{\pi}{2} - 2x) = \sin2x $ (по формуле приведения)
$ \sin(3\pi - 4x) = \sin(2\pi + \pi - 4x) = \sin(\pi - 4x) = \sin4x $ (по периодичности синуса и формуле приведения)
$ \cos(\frac{5\pi}{2} + 6x) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{2} + 6x) = \cos(\frac{\pi}{2} + 6x) = -\sin6x $ (по периодичности косинуса и формуле приведения)
Таким образом, числитель равен: $ \sin2x + \sin4x - (-\sin6x) = \sin2x + \sin4x + \sin6x $.
Упростим знаменатель:
$ \sin(5\pi - 3x) = \sin(4\pi + \pi - 3x) = \sin(\pi - 3x) = \sin3x $ (по периодичности синуса и формуле приведения)
$ \cos(x - 4\pi) = \cos x $ (по периодичности косинуса)
Таким образом, знаменатель равен: $ 4\sin3x \cos x $.
Запишем преобразованную дробь:
$ \frac{\sin2x + \sin4x + \sin6x}{4\sin3x \cos x} $
Сгруппируем слагаемые в числителе и применим формулу суммы синусов $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:
$ (\sin6x + \sin2x) + \sin4x = 2\sin\frac{6x+2x}{2}\cos\frac{6x-2x}{2} + \sin4x = 2\sin4x\cos2x + \sin4x $
Вынесем общий множитель $ \sin4x $ за скобки: $ \sin4x(2\cos2x + 1) $.
Теперь преобразуем знаменатель, используя формулу тройного угла для синуса $ \sin3x = 3\sin x - 4\sin^3x = \sin x(3-4\sin^2x) $ и основное тригонометрическое тождество:
$ 4\sin3x \cos x = 4\sin x(3-4\sin^2x)\cos x = 4\sin x \cos x(3-4(1-\cos^2x)) = 2(2\sin x \cos x)(4\cos^2x-1) $
Используя формулы двойного угла $ \sin2x = 2\sin x \cos x $ и $ \cos2x = 2\cos^2x-1 \implies 2\cos^2x = \cos2x+1 \implies 4\cos^2x = 2\cos2x+2 $:
$ 2\sin2x(2\cos2x+2-1) = 2\sin2x(2\cos2x+1) $
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь:
$ \frac{\sin4x(2\cos2x + 1)}{2\sin2x(2\cos2x + 1)} $
Сократим общий множитель $ (2\cos2x + 1) $ (при условии, что он не равен нулю):
$ \frac{\sin4x}{2\sin2x} $
Применим формулу синуса двойного угла $ \sin4x = 2\sin2x\cos2x $:
$ \frac{2\sin2x\cos2x}{2\sin2x} = \cos2x $
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество $ \frac{\cos(\frac{\pi}{2} - 2x) + \sin(3\pi - 4x) - \cos(\frac{5\pi}{2} + 6x)}{4\sin(5\pi - 3x) \cdot \cos(x - 4\pi)} = \cos2x $ доказано.