Номер 27.21, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.21. Преобразуйте тригонометрическое выражение:

1) $ \cos (\alpha + 2\beta) + \sin\alpha \cdot \sin2\beta; $

2) $ \cos(3\alpha - 2\beta) - \sin3\alpha \cdot \sin2\beta. $

1) Для преобразования данного выражения $cos(\alpha + 2\beta) + \sin\alpha \cdot \sin2\beta$ мы используем формулу косинуса суммы. Формула косинуса суммы двух углов выглядит следующим образом:
$cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$.
Применим эту формулу к первому слагаемому нашего выражения, где $x = \alpha$ и $y = 2\beta$:
$cos(\alpha + 2\beta) = \cos\alpha \cos2\beta - \sin\alpha \sin2\beta$.
Теперь подставим это разложение обратно в исходное выражение:
$(\cos\alpha \cos2\beta - \sin\alpha \sin2\beta) + \sin\alpha \sin2\beta$.
Как мы видим, второе и третье слагаемые $(-\sin\alpha \sin2\beta$ и $+\sin\alpha \sin2\beta)$ являются противоположными и в сумме дают ноль. Таким образом, они взаимно уничтожаются:
$\cos\alpha \cos2\beta - \sin\alpha \sin2\beta + \sin\alpha \sin2\beta = \cos\alpha \cos2\beta$.
Ответ: $\cos\alpha \cos2\beta$.

2) Для преобразования выражения $cos(3\alpha - 2\beta) - \sin3\alpha \cdot \sin2\beta$ мы используем формулу косинуса разности. Формула косинуса разности двух углов выглядит так:
$cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$.
Применим эту формулу к первому члену нашего выражения, приняв $x = 3\alpha$ и $y = 2\beta$:
$cos(3\alpha - 2\beta) = \cos3\alpha \cos2\beta + \sin3\alpha \sin2\beta$.
Теперь подставим это разложение обратно в исходное выражение:
$(\cos3\alpha \cos2\beta + \sin3\alpha \sin2\beta) - \sin3\alpha \sin2\beta$.
В получившемся выражении слагаемые $+\sin3\alpha \sin2\beta$ и $-\sin3\alpha \sin2\beta$ взаимно уничтожаются, так как их сумма равна нулю.
$\cos3\alpha \cos2\beta + \sin3\alpha \sin2\beta - \sin3\alpha \sin2\beta = \cos3\alpha \cos2\beta$.
Ответ: $\cos3\alpha \cos2\beta$.