Номер 27.22, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.22. Преобразуйте выражение:

1)

$\sin(2a + \beta) - \sin(2a) \cdot \cos\beta;$

2)

$\sin(3a + 2\beta) + \cos(3a) \cdot \sin(2\beta).$

1) Для преобразования выражения $sin(2\alpha + \beta) - sin(2\alpha) \cdot cos(\beta)$ воспользуемся формулой синуса суммы двух углов: $sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)$.

Применим эту формулу к первому слагаемому, где $x = 2\alpha$, а $y = \beta$:

$sin(2\alpha + \beta) = sin(2\alpha)cos(\beta) + cos(2\alpha)sin(\beta)$

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$(sin(2\alpha)cos(\beta) + cos(2\alpha)sin(\beta)) - sin(2\alpha)cos(\beta)$

Сокращаем одинаковые члены с противоположными знаками $sin(2\alpha)cos(\beta)$ и $-sin(2\alpha)cos(\beta)$:

$sin(2\alpha)cos(\beta) + cos(2\alpha)sin(\beta) - sin(2\alpha)cos(\beta) = cos(2\alpha)sin(\beta)$

Ответ: $cos(2\alpha)sin(\beta)$

2) Для преобразования выражения $sin(3\alpha + 2\beta) + cos(3\alpha) \cdot sin(2\beta)$ так же воспользуемся формулой синуса суммы двух углов: $sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)$.

Разложим первое слагаемое $sin(3\alpha + 2\beta)$, где $x = 3\alpha$, а $y = 2\beta$:

$sin(3\alpha + 2\beta) = sin(3\alpha)cos(2\beta) + cos(3\alpha)sin(2\beta)$

Подставим это разложение в исходное выражение:

$(sin(3\alpha)cos(2\beta) + cos(3\alpha)sin(2\beta)) + cos(3\alpha)sin(2\beta)$

Приведем подобные слагаемые, сложив $cos(3\alpha)sin(2\beta)$ и $cos(3\alpha)sin(2\beta)$:

$sin(3\alpha)cos(2\beta) + 2cos(3\alpha)sin(2\beta)$

Ответ: $sin(3\alpha)cos(2\beta) + 2cos(3\alpha)sin(2\beta)$