Номер 28.3, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28.3. Вычислите:

1) $2\sin22^\circ30' \cdot \cos7^\circ30'$

2) $2\cos7^\circ30' \cdot \sin52^\circ30'$

3) $\cos\frac{\pi}{4} \cdot \cos\frac{\pi}{12}$

4) $\sin\frac{\pi}{4} \cdot \sin\frac{\pi}{12}$

1) Для вычисления значения выражения $2\sin22^\circ30' \cdot \cos7^\circ30'$ воспользуемся формулой преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: $2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)$.
В данном случае $\alpha = 22^\circ30'$ и $\beta = 7^\circ30'$.
Найдем сумму и разность углов:
$\alpha + \beta = 22^\circ30' + 7^\circ30' = 29^\circ60' = 30^\circ$.
$\alpha - \beta = 22^\circ30' - 7^\circ30' = 15^\circ$.
Подставим значения в формулу:
$2\sin22^\circ30' \cdot \cos7^\circ30' = \sin(30^\circ) + \sin(15^\circ)$.
Значение $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.
Значение $\sin(15^\circ)$ можно найти, используя формулу синуса разности: $\sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) - \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.
Следовательно, искомое значение:
$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{2}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{2 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.
Ответ: $\frac{2 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.

2) Для вычисления значения выражения $2\cos7^\circ30' \cdot \sin52^\circ30'$ воспользуемся формулой преобразования произведения в сумму: $2\cos\alpha\sin\beta = \sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta)$.
В данном случае $\alpha = 7^\circ30'$ и $\beta = 52^\circ30'$.
Найдем сумму и разность углов:
$\alpha + \beta = 7^\circ30' + 52^\circ30' = 59^\circ60' = 60^\circ$.
$\alpha - \beta = 7^\circ30' - 52^\circ30' = -45^\circ$.
Подставим значения в формулу:
$2\cos7^\circ30' \cdot \sin52^\circ30' = \sin(60^\circ) - \sin(-45^\circ)$.
Так как синус — нечетная функция, $\sin(-45^\circ) = -\sin(45^\circ)$.
Выражение принимает вид: $\sin(60^\circ) + \sin(45^\circ)$.
Знаем табличные значения: $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Следовательно, искомое значение:
$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2}$.

3) Для вычисления значения выражения $\cos\frac{\pi}{4} \cdot \cos\frac{\pi}{12}$ воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму: $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta))$.
В данном случае $\alpha = \frac{\pi}{4}$ и $\beta = \frac{\pi}{12}$.
Найдем сумму и разность углов:
$\alpha + \beta = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3}$.
$\alpha - \beta = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} - \frac{\pi}{12} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$.
Подставим значения в формулу:
$\cos\frac{\pi}{4} \cdot \cos\frac{\pi}{12} = \frac{1}{2}(\cos\frac{\pi}{3} + \cos\frac{\pi}{6})$.
Знаем табличные значения: $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, искомое значение:
$\frac{1}{2}(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{2} = \frac{1 + \sqrt{3}}{4}$.
Ответ: $\frac{1 + \sqrt{3}}{4}$.

4) Для вычисления значения выражения $\sin\frac{\pi}{4} \cdot \sin\frac{\pi}{12}$ воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в сумму: $\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$.
В данном случае $\alpha = \frac{\pi}{4}$ и $\beta = \frac{\pi}{12}$.
Сумма и разность углов были найдены в предыдущем пункте:
$\alpha - \beta = \frac{\pi}{6}$.
$\alpha + \beta = \frac{\pi}{3}$.
Подставим значения в формулу:
$\sin\frac{\pi}{4} \cdot \sin\frac{\pi}{12} = \frac{1}{2}(\cos\frac{\pi}{6} - \cos\frac{\pi}{3})$.
Знаем табличные значения: $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
Следовательно, искомое значение:
$\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} - 1}{2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3} - 1}{4}$.