Номер 28.8, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28.8. Верно ли равенство:

1) $\cos100^\circ \cos110^\circ + \cos20^\circ \cos10^\circ = \cos10^\circ$;

2) $2\cos47^\circ \cos73^\circ - \sin64^\circ = -0,5?$;

1) Для проверки верности равенства $ \cos100^\circ \cos110^\circ + \cos20^\circ \cos10^\circ = \cos10^\circ $ преобразуем его левую часть.
Используем формулы приведения для углов $100^\circ$ и $110^\circ$:
$ \cos100^\circ = \cos(90^\circ + 10^\circ) = -\sin10^\circ $
$ \cos110^\circ = \cos(90^\circ + 20^\circ) = -\sin20^\circ $
Подставим эти выражения в левую часть исходного равенства:
$ (-\sin10^\circ)(-\sin20^\circ) + \cos20^\circ \cos10^\circ = \sin10^\circ \sin20^\circ + \cos10^\circ \cos20^\circ $
Полученное выражение соответствует формуле косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $.
Применим эту формулу, где $ \alpha = 20^\circ $ и $ \beta = 10^\circ $:
$ \cos10^\circ \cos20^\circ + \sin10^\circ \sin20^\circ = \cos(20^\circ - 10^\circ) = \cos10^\circ $
В результате преобразований мы получили, что левая часть равенства равна правой: $ \cos10^\circ = \cos10^\circ $.
Ответ: да, равенство верно.

2) Для проверки верности равенства $ 2\cos47^\circ \cos73^\circ - \sin64^\circ = -0,5 $ преобразуем его левую часть.
Для произведения косинусов $ 2\cos47^\circ \cos73^\circ $ применим формулу преобразования произведения в сумму: $ 2\cos\alpha \cos\beta = \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) $.
$ 2\cos47^\circ \cos73^\circ = \cos(73^\circ + 47^\circ) + \cos(73^\circ - 47^\circ) = \cos120^\circ + \cos26^\circ $
Теперь подставим это в левую часть исходного равенства:
$ (\cos120^\circ + \cos26^\circ) - \sin64^\circ $
Вычислим значение $ \cos120^\circ $:
$ \cos120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos60^\circ = - \frac{1}{2} = -0,5 $
Теперь преобразуем $ \sin64^\circ $ с помощью формулы приведения:
$ \sin64^\circ = \sin(90^\circ - 26^\circ) = \cos26^\circ $
Подставим полученные значения обратно в выражение:
$ -0,5 + \cos26^\circ - \cos26^\circ = -0,5 $
В результате преобразований мы получили, что левая часть равенства равна правой: $ -0,5 = -0,5 $.
Ответ: да, равенство верно.