Номер 28.13, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28.13. Докажите тождество:

1) $ \sin^2 2x - \cos \left( \frac{\pi}{3} - 2x \right) \cdot \sin \left( 2x - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{4} $;

2) $ 1 + 2\cos 2x - 4\cos \left( \frac{\pi}{6} + x \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{6} - x \right) = 0 $.

1) Докажем тождество $\sin^2{2x} - \cos(\frac{\pi}{3} - 2x) \cdot \sin(2x - \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{4}$, преобразовав его левую часть.

Сначала используем формулу приведения для косинуса, чтобы выразить его через синус: $\cos \alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.

Применим эту формулу к члену $\cos(\frac{\pi}{3} - 2x)$:

$\cos(\frac{\pi}{3} - 2x) = \sin(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{3} - 2x)) = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2x) = \sin(\frac{3\pi - 2\pi}{6} + 2x) = \sin(\frac{\pi}{6} + 2x)$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в левую часть исходного тождества. Она примет вид:

$\sin^2{2x} - \sin(\frac{\pi}{6} + 2x) \cdot \sin(2x - \frac{\pi}{6})$

Далее воспользуемся формулой произведения синусов, которая является следствием формулы косинуса разности: $\sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta) = \sin^2\alpha - \sin^2\beta$.

В нашем случае $\alpha = 2x$ и $\beta = \frac{\pi}{6}$. Применяя формулу, получаем:

$\sin(2x + \frac{\pi}{6}) \cdot \sin(2x - \frac{\pi}{6}) = \sin^2(2x) - \sin^2(\frac{\pi}{6})$.

Подставим это в наше выражение:

$\sin^2{2x} - (\sin^2(2x) - \sin^2(\frac{\pi}{6})) = \sin^2{2x} - \sin^2(2x) + \sin^2(\frac{\pi}{6}) = \sin^2(\frac{\pi}{6})$.

Осталось вычислить значение $\sin^2(\frac{\pi}{6})$:

Поскольку $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, то $\sin^2(\frac{\pi}{6}) = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна $\frac{1}{4}$, что совпадает с правой частью.

Ответ: Тождество $\sin^2{2x} - \cos(\frac{\pi}{3} - 2x) \cdot \sin(2x - \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{4}$ доказано.

2) Докажем тождество $1 + 2\cos{2x} - 4\cos(\frac{\pi}{6} + x) \cdot \cos(\frac{\pi}{6} - x) = 0$, преобразовав его левую часть.

Рассмотрим произведение косинусов $4\cos(\frac{\pi}{6} + x) \cdot \cos(\frac{\pi}{6} - x)$.

Используем формулу преобразования произведения косинусов в сумму: $\cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$.

Пусть $\alpha = \frac{\pi}{6} + x$ и $\beta = \frac{\pi}{6} - x$. Тогда:

$\alpha - \beta = (\frac{\pi}{6} + x) - (\frac{\pi}{6} - x) = 2x$

$\alpha + \beta = (\frac{\pi}{6} + x) + (\frac{\pi}{6} - x) = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$

Подставляем найденные значения в формулу произведения:

$\cos(\frac{\pi}{6} + x) \cdot \cos(\frac{\pi}{6} - x) = \frac{1}{2}(\cos(2x) + \cos(\frac{\pi}{3}))$.

Теперь подставим это выражение в левую часть исходного тождества:

$1 + 2\cos{2x} - 4 \cdot \left[ \frac{1}{2}(\cos(2x) + \cos(\frac{\pi}{3})) \right]$

Упростим полученное выражение:

$1 + 2\cos{2x} - 2(\cos(2x) + \cos(\frac{\pi}{3}))$

Мы знаем значение косинуса: $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$. Подставим его:

$1 + 2\cos{2x} - 2(\cos(2x) + \frac{1}{2})$

Раскроем скобки:

$1 + 2\cos{2x} - 2\cos{2x} - 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 + 2\cos{2x} - 2\cos{2x} - 1$

Приведем подобные слагаемые:

$(1 - 1) + (2\cos{2x} - 2\cos{2x}) = 0 + 0 = 0$.

Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна $0$, что совпадает с правой частью.

Ответ: Тождество $1 + 2\cos{2x} - 4\cos(\frac{\pi}{6} + x) \cdot \cos(\frac{\pi}{6} - x) = 0$ доказано.