Номер 28.18, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28.18. Докажите тождество:

1)

$4\cos3a \cdot \cos5a \cdot \cos6a = \cos8a + \cos4a + 2\cos5a \cdot \cos3a;$

2)

$8\sin^3a \cdot \cos^2a = \sin a - 0.5\sin^3a.$

1) $4\cos(3\alpha) \cdot \cos(5\alpha) \cdot \cos(6\alpha) = \cos(8\alpha) + \cos(4\alpha) + 2\cos(5\alpha) \cdot \cos(3\alpha)$

Для доказательства тождества преобразуем обе его части, используя формулу произведения косинусов: $2\cos(x)\cos(y) = \cos(x+y) + \cos(x-y)$.

Преобразуем левую часть (ЛЧ):

ЛЧ $= 4\cos(3\alpha)\cos(5\alpha)\cos(6\alpha) = 2\cos(6\alpha) \cdot [2\cos(5\alpha)\cos(3\alpha)]$.

Сначала преобразуем выражение в скобках:

$2\cos(5\alpha)\cos(3\alpha) = \cos(5\alpha+3\alpha) + \cos(5\alpha-3\alpha) = \cos(8\alpha) + \cos(2\alpha)$.

Теперь подставим это обратно в выражение для левой части:

ЛЧ $= 2\cos(6\alpha)[\cos(8\alpha) + \cos(2\alpha)] = 2\cos(6\alpha)\cos(8\alpha) + 2\cos(6\alpha)\cos(2\alpha)$.

Снова применяем формулу произведения косинусов:

$2\cos(6\alpha)\cos(8\alpha) = \cos(8\alpha+6\alpha) + \cos(8\alpha-6\alpha) = \cos(14\alpha) + \cos(2\alpha)$.

$2\cos(6\alpha)\cos(2\alpha) = \cos(6\alpha+2\alpha) + \cos(6\alpha-2\alpha) = \cos(8\alpha) + \cos(4\alpha)$.

Складывая эти два результата, получаем окончательное выражение для левой части:

ЛЧ $= (\cos(14\alpha) + \cos(2\alpha)) + (\cos(8\alpha) + \cos(4\alpha)) = \cos(14\alpha) + \cos(8\alpha) + \cos(4\alpha) + \cos(2\alpha)$.

Теперь преобразуем правую часть (ПЧ):

ПЧ $= \cos(8\alpha) + \cos(4\alpha) + 2\cos(5\alpha)\cos(3\alpha)$.

Мы уже знаем, что $2\cos(5\alpha)\cos(3\alpha) = \cos(8\alpha) + \cos(2\alpha)$.

Подставляем это в правую часть:

ПЧ $= \cos(8\alpha) + \cos(4\alpha) + (\cos(8\alpha) + \cos(2\alpha)) = 2\cos(8\alpha) + \cos(4\alpha) + \cos(2\alpha)$.

Сравнивая преобразованные левую и правую части, видим, что они не равны:

$\cos(14\alpha) + \cos(8\alpha) + \cos(4\alpha) + \cos(2\alpha) \neq 2\cos(8\alpha) + \cos(4\alpha) + \cos(2\alpha)$,

так как это было бы равносильно $\cos(14\alpha) = \cos(8\alpha)$, что не является тождеством.

Чтобы убедиться в неверности тождества, приведем контрпример. Пусть $\alpha = \frac{\pi}{2}$:

ЛЧ $= 4\cos(\frac{3\pi}{2})\cos(\frac{5\pi}{2})\cos(3\pi) = 4 \cdot 0 \cdot 0 \cdot (-1) = 0$.

ПЧ $= \cos(4\pi) + \cos(2\pi) + 2\cos(\frac{5\pi}{2})\cos(\frac{3\pi}{2}) = 1 + 1 + 2 \cdot 0 \cdot 0 = 2$.

Поскольку $0 \neq 2$, тождество неверно.

Примечание: Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Если бы тождество выглядело так:

$4\cos(3\alpha)\cos(5\alpha)\cos(6\alpha) = \cos(14\alpha) + \cos(4\alpha) + 2\cos(5\alpha)\cos(3\alpha)$,

то оно было бы верным. Покажем это:

ЛЧ $= \cos(14\alpha) + \cos(8\alpha) + \cos(4\alpha) + \cos(2\alpha)$.

ПЧ (исправленная) $= \cos(14\alpha) + \cos(4\alpha) + 2\cos(5\alpha)\cos(3\alpha) = \cos(14\alpha) + \cos(4\alpha) + (\cos(8\alpha) + \cos(2\alpha))$.

В этом случае ЛЧ = ПЧ.

Ответ: Исходное тождество неверно.

2) $8\sin^3(\alpha) \cdot \cos^2(\alpha) = \sin(\alpha) - 0,5\sin^3(\alpha)$

Для проверки этого тождества преобразуем левую часть, выразив $\cos^2(\alpha)$ через $\sin^2(\alpha)$ с помощью основного тригонометрического тождества $\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)$.

ЛЧ $= 8\sin^3(\alpha) \cos^2(\alpha) = 8\sin^3(\alpha) (1 - \sin^2(\alpha)) = 8\sin^3(\alpha) - 8\sin^5(\alpha)$.

Теперь приравняем полученное выражение для левой части к правой части исходного равенства:

$8\sin^3(\alpha) - 8\sin^5(\alpha) = \sin(\alpha) - 0,5\sin^3(\alpha)$.

Перенесем все члены в левую часть:

$(8\sin^3(\alpha) + 0,5\sin^3(\alpha)) - 8\sin^5(\alpha) - \sin(\alpha) = 0$.

$8,5\sin^3(\alpha) - 8\sin^5(\alpha) - \sin(\alpha) = 0$.

Вынесем $\sin(\alpha)$ за скобки:

$\sin(\alpha)(8,5\sin^2(\alpha) - 8\sin^4(\alpha) - 1) = 0$.

Это равенство должно выполняться для любого значения $\alpha$, чтобы быть тождеством. Однако оно выполняется только в двух случаях:

1. $\sin(\alpha) = 0$, то есть $\alpha = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $8,5\sin^2(\alpha) - 8\sin^4(\alpha) - 1 = 0$. Сделаем замену $x = \sin^2(\alpha)$. Получаем квадратное уравнение относительно $x$: $8x^2 - 8,5x + 1 = 0$. Это уравнение имеет конкретные корни, а значит, выполняется не для всех $\alpha$.

Поскольку равенство выполняется не для всех значений $\alpha$, оно не является тождеством.

Приведем контрпример. Пусть $\alpha = \frac{\pi}{2}$:

ЛЧ $= 8\sin^3(\frac{\pi}{2})\cos^2(\frac{\pi}{2}) = 8 \cdot 1^3 \cdot 0^2 = 0$.

ПЧ $= \sin(\frac{\pi}{2}) - 0,5\sin^3(\frac{\pi}{2}) = 1 - 0,5 \cdot 1^3 = 1 - 0,5 = 0,5$.

Поскольку $0 \neq 0,5$, тождество неверно.

Ответ: Данное тождество неверно.