Номер 28.19, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28.19. Вычислите:

1) $\cos5^\circ \cdot \cos55^\circ \cdot \cos65^\circ$;

2) $\cos12^\circ \cdot \cos24^\circ \cdot \cos36^\circ \cdot \cos48^\circ \cdot \cos72^\circ \cdot \cos84^\circ$.

1) Вычислим произведение $\cos(5^\circ) \cdot \cos(55^\circ) \cdot \cos(65^\circ)$. Заметим, что углы $55^\circ$ и $65^\circ$ можно представить как $55^\circ = 60^\circ - 5^\circ$ и $65^\circ = 60^\circ + 5^\circ$. Воспользуемся известным тригонометрическим тождеством: $\cos(\alpha) \cos(60^\circ - \alpha) \cos(60^\circ + \alpha) = \frac{1}{4}\cos(3\alpha)$. Применив это тождество для $\alpha = 5^\circ$, получаем:$\cos(5^\circ) \cos(55^\circ) \cos(65^\circ) = \cos(5^\circ) \cos(60^\circ - 5^\circ) \cos(60^\circ + 5^\circ) = \frac{1}{4}\cos(3 \cdot 5^\circ) = \frac{1}{4}\cos(15^\circ)$.Теперь найдем точное значение $\cos(15^\circ)$, используя формулу косинуса разности:$\cos(15^\circ) = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos(45^\circ)\cos(30^\circ) + \sin(45^\circ)\sin(30^\circ)$.Подставим известные значения:$\cos(15^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.Таким образом, искомое произведение равно:$\frac{1}{4}\cos(15^\circ) = \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{16}$.Ответ: $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{16}$.

2) Вычислим произведение $P = \cos(12^\circ) \cdot \cos(24^\circ) \cdot \cos(36^\circ) \cdot \cos(48^\circ) \cdot \cos(72^\circ) \cdot \cos(84^\circ)$.Сгруппируем множители так, чтобы можно было применить тождество из предыдущего пункта: $\cos(\alpha)\cos(60^\circ - \alpha)\cos(60^\circ + \alpha) = \frac{1}{4}\cos(3\alpha)$.$P = [\cos(12^\circ) \cos(48^\circ) \cos(72^\circ)] \cdot [\cos(24^\circ) \cos(36^\circ) \cos(84^\circ)]$.Рассмотрим первую группу множителей. Пусть $\alpha = 12^\circ$. Тогда $48^\circ = 60^\circ - 12^\circ$ и $72^\circ = 60^\circ + 12^\circ$. Следовательно:$\cos(12^\circ) \cos(48^\circ) \cos(72^\circ) = \frac{1}{4}\cos(3 \cdot 12^\circ) = \frac{1}{4}\cos(36^\circ)$.Рассмотрим вторую группу множителей. Пусть $\alpha = 24^\circ$. Тогда $36^\circ = 60^\circ - 24^\circ$ и $84^\circ = 60^\circ + 24^\circ$. Следовательно:$\cos(24^\circ) \cos(36^\circ) \cos(84^\circ) = \frac{1}{4}\cos(3 \cdot 24^\circ) = \frac{1}{4}\cos(72^\circ)$.Теперь перемножим результаты для двух групп:$P = \left(\frac{1}{4}\cos(36^\circ)\right) \cdot \left(\frac{1}{4}\cos(72^\circ)\right) = \frac{1}{16}\cos(36^\circ)\cos(72^\circ)$.Используем известные точные значения для $\cos(36^\circ)$ и $\cos(72^\circ)$:$\cos(36^\circ) = \frac{1+\sqrt{5}}{4}$$\cos(72^\circ) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$Подставляем эти значения в наше выражение:$P = \frac{1}{16} \cdot \left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right) = \frac{1}{16} \cdot \frac{(\sqrt{5})^2 - 1^2}{16} = \frac{1}{16} \cdot \frac{5-1}{16} = \frac{1}{16} \cdot \frac{4}{16} = \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{64}$.Ответ: $\frac{1}{64}$.